压轴题正方形多选题10题教师版.docx

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压轴题正方形多选题10题教师版

001（2015•柳州）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：

①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH

其中，正确的结论有（）

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，

∵AG=CE，

∴BG=BE，

由勾股定理得：

BE=GE，∴①错误；

∵BG=BE，∠B=90°，

∴∠BGE=∠BEG=45°，

∴∠AGE=135°，

∴∠GAE+∠AEG=45°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∵∠BEG=45°，

∴∠AEG+∠FEC=45°，

∴∠GAE=∠FEC，

在△GAE和△CEF中

∴△GAE≌△CEF，∴②正确；

∴∠AGE=∠ECF=135°，

∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；

∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，

∴∠FEC＜45°，

∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；

即正确的有2个．

故选B．

002如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：

①△ABE≌△DCF；②；③DP2=PH•PB；④．

其中正确的是________ ．（写出所有正确结论的序号）①③④．

解：

∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，

∴∠ABE=∠DCF=30°.

在△ABE与△DCF中，

∵∠A=∠ADC，∠ABE=∠DCF，AB=CD，

∴△ABE≌△DCF，故①正确；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°.

∵∠DBC=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD.

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH，

∴PF/PH=DF/PB=DF/CD=故②错误；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC=∠PDC，

∴△DPH∽△CPD，

∴PD/CD=PH/PD

∴PD2=PH•CD.

∵PB=CD，

∴PD2=PH•PB.故③正确；

如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

故答案为①③④.

003如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：

①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；

③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH•PC

其中正确的是（填序号）

解：

∵△BPC是等边三角形，

∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，

在正方形ABCD中，

∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°

∴∠ABE＝∠DCF＝30°，

∴BE＝2AE；故①正确；

∵PC＝CD，∠PCD＝30°，

∴∠PDC＝75°，

∴∠FDP＝15°，

∵∠DBA＝45°，

∴∠PBD＝15°，

∴∠FDP＝∠PBD，

∵∠DFP＝∠BPC＝60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正确；

∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，

∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，

∴∠PFD≠∠PDB，

∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；

∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴＝，

∴DP2＝PH•PC，故④正确；

故答案是：

①②④．

004如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号）

①△CMP∽△BPA；

②四边形AMCB的面积最大值为10；

③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；

④线段AM的最小值为2；

⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4﹣4．

解：

∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，

∵∠CPN+∠NPB=180°，

∴2∠NPM+2∠APE=180°，

∴∠MPN+∠APE=90°，

∴∠APM=90°，

∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，

∴∠CPM=∠PAB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，

∴△CMP∽△BPA．故①正确，

设PB=x，则CP=4﹣x，

∵△CMP∽△BPA，

∴=，

∴CM=x（4﹣x），

∴S四边形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，

∴x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，

当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，

在RT△PCN中，（y+2）2=（4﹣y）2+22解得y=，

∴NE≠EP，故③错误，

作MG⊥AB于G，

∵AM==，

∴AG最小时AM最小，

∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=（x﹣1）2+3，

∴x=1时，AG最小值=3，

∴AM的最小值==5，故④错误．

∵△ABP≌△ADN时，

∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，

∴∠KPA=∠KAP=22.5°

∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，

∴∠BPK=∠BKP=45°，

∴PB=BK=z，AK=PK=z，

∴z+z=4，

∴z=4﹣4，

∴PB=4﹣4故⑤正确．

故答案为①②⑤．

005如图，正方形ABCD中，点EF分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连AC交EF于G，下列结论：

①∠BAE=∠DAF=15°；

②AG=GC；

③BE+DF=EF；

④S△CEF=2S△ABE，其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

解：

①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，即CE=CF，

∴AC是EF的垂直平分线，

∴AC平分∠EAF，

∴∠EAC=∠FAC=×60°=30°，

∵∠BAC=∠DAC=45°，

∴∠BAE=∠DAF=15°，

故①正确；

②设EC=x，则FC=x，

由勾股定理，得EF=x，CG=EF=x，

AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=2×CG，

∴AG=CG，

故②正确；

③由②知：

设EC=x，EF=x，AC=CG+AG=CG+CG=，

∴AB==，

∴BE=AB﹣CE=﹣x=，

∴BE+DF=2×=（﹣1）x≠x，

故③错误；

④S△CEF==CE2=x2，

S△ABE=BE•AB=•=，

∴S△CEF=2S△ABE，

故④正确，

所以本题正确的个数有3个，分别是①②④，

故选：

C．

006如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BH⊥CE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：

①＝；②点F是GB的中点；③AG＝AB；④S△AHG＝S△ABC．其中正确的结论的序号是．

解：

①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠HAB＝∠ABC＝90°，

∵CE⊥BH，

∴∠BFC＝∠BCF+∠CBF＝∠CBF+∠ABH＝90°，

∴∠BCF＝∠ABH，

∴△ABH≌△BCE，

∴AH＝BE，

∵E是正方形ABCD边AB的中点，

∴BE＝AB，

∴AH＝AD＝BC，

∴＝，

∵AH∥BC，

∴＝，

∴；

故①正确；

②tan∠ABH＝tan∠BCF＝＝设BF＝x，CF＝2x，则BC＝x，

∴AH＝x，

∴BH＝＝x，

∵＝，

∴HG＝＝，

∴FG＝BH﹣GH﹣BF＝﹣﹣x＝x≠BF，故②不正确；

③∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴AC＝AB，

∵，

∴，

∴AG＝AC＝AB，故③正确；

④∵＝，

∴，，

∴＝，

∴，

故④正确；

本题正确的结论是①③④；

007如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE与BF相交于点O，下列结论：

①AE=BF；②AO=OE；③AE⊥BF；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有

A1个B2个C3个D4个

解：

∵在正方形ABCD中，CE=DF，AB=AD，

∴AD-FD=DC-CE，

∴AF=DE.

∵AF=DE，AB=AD，∠EDA=∠FAB=90°，

∴△EDA≌△FAB，

∴AE=BF（①正确），∠DAE=∠ABF.

∵∠DAE+∠BAO=90°，∠DAE=∠ABF，

∴∠BAO+∠ABF=90°，

∵∠BOA=180°-（∠BAO+∠ABF），

∴∠BOA=90°，

∴AE⊥BF.（②正确）

∵△EDA≌△FAB，

∴S△EDA=S△FAB.

∵S△FAB=S△ABO+S△AFO，S△EDA=S四边形DEOF+S△AFO，

∴S△ABO=S四边形DEOF.（④正确）

假设AO=OE.

∵AE⊥BF，

∴AB=BE.

∵在Rt△BCE中，BE＞BC，

∴AB＞BC，

这与正方形的边长AB=BC相矛盾，

∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）.

综上所述，错误的是③.

故选A.

008如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：

①BE=DF，

②∠DAF=15°，

③AC垂直平分EF，

④BE+DF=EF，

⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．

A.4B.3C.2D.1

解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等边三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，①正确．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°②正确，

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

及CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．③正确．

设EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，AG=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，

∵S△CEF=，

S△ABE==，

∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．

综上所述，正确的有4个，故选C．

009如图，四边形ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：

①BE⊥GD；

②OH＝BG；

③∠AHD＝45°