一次函数动点问题.docx
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一次函数动点问题
一次函数动点问题
1．模型介绍：
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：
古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：
如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB= ，C′B=
∴AC+CB=AC+CB′= ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：
解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段 的长度，EF+FB的最小值是 ．
如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：
PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．
4．已知：
一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．
5．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：
设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；
（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为 ．
（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）
6．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：
设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：
已知直线l与直线y=﹣
x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；
（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．
一次函数动点问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共6小题）
1．模型介绍：
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：
古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题
如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：
如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB= CB' ，C′B= C'B'
∴AC+CB=AC+CB′= AB' ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：
解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段 DE 的长度，EF+FB的最小值是
．
如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是
的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是 2
；
如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：
PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．
【解答】解：
（1）理由：
如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上
∴CB=CB'，C′B=C'B'
∴AC+CB=AC+CB′=AB'．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小
故答案为：
CB'，C'B'，AB'；
（2）模型应用
①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F
则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是
．
在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°
∵点E是AB中点，
∴AE=1，
根据勾股定理得，DE=
，
即：
EF+FB的最小值
，
故答案为：
DE，
；
②如图⑤，
由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，
∴∠AOD=∠A'OD=60°
∵点B是
的中点，
∴∠AOB=∠BOD=
∠AOD=30°，
∴∠A'OB=90°
∵⊙O的直径为4，
∴OA=OA'=OB=2，
在Rt△A'OB中，A'B=2
，
∴BP+AP的最小值是2
．
故答案为2
，
③如图⑥，
由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，
∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴C（1，0），D（1，2），
∵C与C'关于直径y轴对称，
∴C'（﹣1，0），
∴C'D=
=2
，
∴PC+PD的最小值为2
，
∵C'（﹣1，0），D（1，2），
∴直线C'D的解析式为y=x+1，
∴P（0，1）．
2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，
①求此一次函数的解析式；
②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．
③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．
【解答】解：
①设一次函数解析式为y=kx+b，
依题意，得
，
解得
，
∴一次函数解析式为y=2x﹣1；
②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，
解得a=
；
③由y=2x﹣1，令y=0得x=
，
∴C（
，0），
又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，
∴n=2m﹣1，
∴S=
×
×|n|=
|（2m﹣1）|=|
m﹣
|．
3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上
（1）求此一次函数的表达式和m的值？
（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．
【解答】解：
（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，
∴
，解得：
，
∴一次函数的表达式为y=x﹣1．
当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，
∴m的值为1．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B′的坐标为（2，﹣1）．
设直线AB′的表达式为y=ax+c，
将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，
，解得：
，
∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．
当y=0时，2x﹣5=0，
解得：
x=
，
∴当点P的横坐标为
时，PA+PB的值最小．
4．已知：
一次函数图象如图：
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP=2，求点P的坐标．
【解答】解：
（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得
，解得
，
所以一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），
设P（t，﹣t+1），
因为S△OAP=2，
所以
×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，
所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．
5．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：
设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；
（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为 Q（0，
） ．
（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）
【解答】解：
（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，
把P（1，3）代入得：
3=﹣1+b，即b=4，
则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；
（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，
对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，
∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=
=4
，且ON为斜边上的中线，
∴ON=
AB=2
，
则l1和l2两平行线之间的距离为2
；
（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，
设直线B′P的解析式为y=mx+n，
把B′和P坐标代入得：
，
解得：
m=
，n=
，
∴直线B′P的解析式为y=
x+
，
令x=0，得到y=
，即Q（0，
）；
故答案为：
Q（0，
）；
（4）如图2所示，分三种情况考虑：
当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；
当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，
∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），
∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，
令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；
当PB=M3B=
=3
时，OM3=OB+BM3=4+3
，此时M3（4﹣3
，0），M3（4+3
，0）．
综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3
，0）或（4+3
，0）．
6．阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：
设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：
已知直线l与直线y=﹣
x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．
（1）求直线l的函数表达式；
（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；
（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．
【解答】解：
（1）设直线l的解析式为y=kx+b，
∵直线l与直线y=﹣
x﹣1互相垂直，
∴﹣
k=﹣1，解得k=2，
∵直线l的图象过点P（﹣1，4），
∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，
∴直线l的解析式为y=2x+6；
（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，
此时线段OC的长度最小，
在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，
∴A（0，6），B（﹣3，0），
∴OA=6，OB=3
∴AB=
=3
，
∵
AB•OC=
OA•OB，
∴3
OC=3×6，
∴OC=
，
即线段OC长度的最小值为
；
（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G⊥x轴于点G，
则PQ=P″Q，
∴PQ+BQ=BQ+QP″，
∵点B、Q、P″三点在一条线上，
∴BQ+PQ最小，
∵P（﹣1，4），
∴P″（1，4），
∴P″G=4，OG=1，
∴BG=BO+OG=4=P″G，
∴∠OBQ=45°，BP″=4
，
∴OQ=BO=3，
∴Q点坐标为（0，3），
又BP=
=2
，
此时△BPQ的周长=BP+BP″=4
+2
；
（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，
∴∠PQA=∠P″QA=45°，
∴PQ⊥BQ，
如图3，延长PQ到点P′，使PQ=P′Q，则P′即为点P关于BQ的对称点，过P′作P′H⊥y轴于点H，
由（3）可知PQ=QP′=
，
∴QH=HP′=1，
∴OH=OQ﹣QH=3﹣1=2，
∴S四边形ABOP′=S△AOB+S△AOP′=
×6×3+
×6×1=12，
即四边形ABOP′的面积为12．
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