全国卷13理科数学试题.docx
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全国卷13理科数学试题
2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷1）
理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分
1、已知集合Mx4x2,Nxx2x60，则MN（）
A、x4x3B、x4x2C、x2x2D、x2x3
2、设复数z满足zi1，z在复平面内对应的点为（x,y），则（）
22222222
A、（x1）2y21B、（x1）2y21C、x2（y1）21D、x2（y1）21
3、已知alog20.2,b20.2,c0.20.3，则（）
A、abcB、acbC、cabD、bc
4、古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51（510.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如22
51此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51.若
2某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）
5、函数f（x）sinxx2在,的图像大致为（）cosxx2
7、已知非零向量a，b满足∣a∣=2∣b∣，且（a－b）b，则a与b的夹角为
ABBF1，则C的方程为（
A、○1○2○4B、○2○4C、○1○4D、○1○3
12、已知三棱柱PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF900则球O的体积为（）
A、86B、46C、26D、6
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分
13、曲线y3（x2x）ex在点（0,0）处的切线方程为.
14、记Sn为等比数列an的前n项和，已知a11,a42a6，则S5.
3
15、甲，乙两队篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。
根据前期
比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的
概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队4:
1获胜的概率是
x2y2
16、已知双曲线C：
221（a0,b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条ab
渐近线交于A,B两点，若F1AAB，F1BF2B0，则C的离心率为.
三、解答题：
共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（一）必考题：
共60分。
22
17（.12分）AB的C内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设nis（BnisC）2nis2AnisBnisC.
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC.
18.（12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD600，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（2）求二面角AMA1N的正弦值.
23
19.（12分）已知抛物线C：
y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴
2
的交点为P.
（1）若AFBF4，求l的方程；
（2）若AP3PB，求AB.
2）f（x）有且仅有2个零点.
1）f（x）在区间（1,）存在唯一极大值点；
2
21.（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验，试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。
对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。
一轮的治疗结果得出来后，再安排下一轮试验。
当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数的药更有效。
为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的折刀未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以
甲药的折刀未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。
甲、乙两种的
治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始都赋予4分，Pi（i0,1,,8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为
甲药比乙药更有效”的概率，则P00，P81，PiaPi1bPicPi1（i1,2,,7），其中
aP（X1），bP（X0），cP（X1）.假设0.5，0.8.
（ⅰ）证明：
Pi1Pi（i0,1,2,,7）为等比数列；
（ⅱ）求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.
二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.
在直角坐标系
xOy中，曲线C的参数方程为
1t2
1t2
4t
1t2
t为参数）
.以坐标原点O为极点，
x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l的极坐标方程为2cos3sin110.
1）求C和l的直角坐标方程；
2）求C上的点到l距离的最小值
23.［选修4-5：
不等式选讲］（10分）
已知a,b,c为正数，且满足abc1.证明：
1）111a2b2c2；abc
2）（ab）2（bc）2（ca）224.
1．
4．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（卷
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．
2
设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=
A．（–∞，1）
B．（–2，1）
C．（–3，
–1）
5．
6．
7．
8．
设z=–3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限
已知AB=（2,3），
A．–3
2）
D．（3，+∞）
B．第二象限C．第三象限
AC=（3，t），|BC|=1，则AB
D．第四象限
B．–2
BC=
C．2
2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
我国航天事业取得又一重
大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．
题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
为解决这个问
L2点的轨道运行．L2点是平衡点，
位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为
M1M2
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
（RM1r）2Mr22
值很小，因此在近似计算中
345
33（134）2533，则r的近似值为
A．
MM12R
B．
2MM21R
从
C．33MM12R
演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，
个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．
A．中位数
B．平均数
若a>b，则
A．ln（a-b）>0
A．
C．
ab
3<3
α，β为两个平面，则
α内有无数条直线与
α∥β的充要条件是
β平行
α，β平行于同一条直线
2
若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
A．2
B．3
r
，由于的R
9个原始评分中去掉1
7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
C．方差
D．极差
33
a-b>0
B．
D．
D．│a│>│b│
α内有两条相交直线与β平行
α，β垂直于同一平面
22
xy
1
3pp
C．4
的一个焦点，则p=
D．8
9．下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是
242
C．2
8
x（,m]，都有f（x），则m的取值范围是
9
975
A．,B．,C．,
A．4B．3C．2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为．
14．已知f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）eax.若f（ln2）8，则a
2是一个棱数为48的半正多面体，它的
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但
南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正
多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱
长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为
．（本题第一空2分，第二空3分．）
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
一）必考题：
共60分。
17．（12分）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
1）证明：
BE⊥平面EB1C1；
2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
18．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:
10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球
时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:
10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19．（12分）已知数列｛an｝和｛bn｝满足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4.
1）证明：
{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式
2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线yex的切线.
1
21．（12分）已知点A（-2,0），B（2,0），动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲
2
线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长
交C于点G.（i）证明：
△PQG是直角三角形；
ii）求△PQG面积的最大值
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分
22．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M（0,0）（00）在曲线C:
4sin上，直线l过点A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）当0=时，求0及l的极坐标方程；
3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）已知f（x）|xa|x|x2|（xa）.
（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；
（2）若x（,1）时，f（x）0，求a的取值范围.
2019年高考新课标全国3卷理科数学
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
2
1．已知集合A{1,0,1,2}，B{xx21}，则AB
A．1,0,1B．0,1C．1,1D．0,1,2
2．若z（1i）2i，则z=
A．1iB．1+iC．1iD．1+i
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》
的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
4．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12B．16C．20D．24
5．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项为和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16B．8C．4D．2
6．已知曲线yaexxlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
11
A．ae，b1B．a=e，b=1C．ae1，b1D．ae1，b1
7．函数yx2xx在6,6的图象大致为
2x2x
①fx在（0,2）有且仅有3个极大值点；②fx在（0,2）有且仅有2个极小值点③fx在（0,）单调递增；④的取值范围是[12，29）其中所有正确结论的编号是
10510
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a，b为单位向量，且a·b=0，若c2a5b，则cosa,c
一）必考题：
共60分。
17．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：
将200只小鼠随机分成A、
B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数
据分别得到如下直方图：
记C为事件：
“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）
的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比
的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围。
19.（12分）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1,BEBF2,
FBC60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.
（1）证明：
图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC平面BCGE;
（2）求图2的二面角BCGA的大小。
32
20.（12分）已知函数fx2x3ax2b.
（1）讨论fx的单调性；
（2）是否存在a,b，使得fx在区间0,1的最小值为-1,且最大值为1？
若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由。
2
x
21（.12分）已知曲线C:
y,D为直线
2
y1上的动点，过D作C的两条切线,切点分别为A,B。
（1）
2
证明：
直线AB过定点；
（2）若以E0,5为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四
2
边形ADBE的面积。
二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，点P在M上，且OP3，
求P的极坐标。
222
23．［选修4-5：
不等式选讲］（10分）设x,y,zR,且xyz1。
（1）求x1y1z1的最小值；
（2）x2y1za1成立，证明：
a3或a1。
3
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