届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学六试题.docx
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届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学六试题
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学
（六）试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
2
1．已知集合Px|x2k,k2,kZ，Qx|x29，则PIQ（）
A．4,2,0,1B．4,2,0
C．x|4x1D．x|4x5
2．已知复数z满足z1iz，在复平面内对应的点为x,y，则（）
A．y
x
1
B．yx
C．yx2
D．
yx
3．已知
a
log11,b
log1,c
1
33，则a,b,c的大小关系是（
）
156
133
A．b
a
c
B．acb
C．cba
D．
bca
4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图
（2），在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，
扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为51时，扇面的形状较为美观，则此时2
扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为（）
lnx
5．函数f（x）sinx的部分图象大致是（）x
A．
B．
C．
B．6
C．7D．8
rrr
1,1，则a与rabr的夹角为（）
A．
B．4π
C．
2π
D．
3
6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分
下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点A处走出一步，只
M,N（点M,N不考虑
能到点B或点C或点D或点E.设马从点A出发，必须经过点先后顺序）到达点P，则至少需走的步数为（）
rrrr
7．已知ar，br是单位向量，且ab
8．执行如图所示的程序框图，则输出的
A．414B．325
C．256
D．75
9．已知等差数列
an的前n项和为Sn，满足a3
3，Sn
Sn2
2Sn12n3，
则（）
A．an
C．an
2Snn
n
2Sn1
n
B．an
D．an
2Snn
n
2Sn1
n
2x10．已知双曲线C:
x2a2
2
y321（a
2
0）的右焦点为F，圆x2
y2c2（c为双曲线的
半焦距）与双曲线C的一条渐近线交于A,B两点，且线段AF的中点M落在另一条渐
近线上，
则双曲线
C的方程是（
）
2
2
2
2
A．
x
y
1
B．
x
y21
4
3
3
3
2
2
2
C．
x
y
1
D．
2x
y21
2
3
3
11
．在三棱锥
P
ABC中，PA
平面ABC,AB
BC，且AB2.若三棱锥PABC
的外接球体积为36，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为（）
A．6+63
B．863
C．885
D．685
12．已知函数
fx2sinxπ
的图象的一条对称轴为x
π，其中为常数，
6
且0,1，给出下述四个结论：
1函数fx的最小正周期为3π；π
2将函数fx的图象向左平移所得图象关于原点对称；
6
ππ
3函数fx在区间,，上单调递增；
62
④函数fx在区间0,100π上有67个零点．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
x
13．函数f（x）2（x0）的最大值为.
14．已知等比数列
an中，a1a3a5
3，a4
13，则
a2a4a4a6
a1a3a3a5
15．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，
检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为；恰好在第一次检
验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为
2
x
16．椭圆2
a
2
by21（ab
b0）的左焦点为F，
过点F且斜率为2的直线l与椭圆
2
交于A,B两点（点B在第一象限），与y轴交于
uuur
E点，若AF
uuur
EB，
则椭圆的离心率
为.
17．已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设acosBbcosAc．
2若a5，VABC的面积为1，求以a，2b，2c为边的△A1B1C1的面积．
18．在长方体ABCDA1B1C1D1中，EF//AD,AA12,AF1,AB3,AD6.
（1）求证：
平面C1EF平面D1EF.
（2）求二面角C1D1FE的大小.
2
19．已知抛物线C:
y2px（pN）的焦点为F，点P在抛物线C上，其纵坐标为
1p,|PF|，且M（0,2）,N（1,0）.
4
（1）求抛物线C的方程；
（2）过M的直线l与抛物线C交于A,B两点，若ANBN，求直线l的斜率.
20．已知函数
x
xxsinx，gxefx
3π
1求证：
函数gx是0,32π上的增函数．
xπ
2若不等式exafx对xπ,恒成立，求实数a的取值范围．
2
21．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是
1
否借阅时政类图书的概率均为1，市民之间选择意愿相互独立.
2
（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；
2）（i）若从问卷市民中随机抽取
m（m
N）人，记总分恰为
m分的概率为Am，求
数列Am的前10项和；
（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的
概率为Bn（比如：
B1表示累计得分为1分的概率，B2表示累计得分为2分的概率，
nN），试探求Bn与Bn1之间的关系，并求数列Bn的通项公式
x2tcos
（t
ytsin
C的极坐标方程为
22．在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，直线l的参数方程为为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线
22
213cos24．
π
1当时，判断直线l与曲线C的位置关系；
2
2若直线l与曲线C相切于点B，求AB的值．
23．已知a，b，cR，a2b2c21．
1
1证明：
abbcca1．
2
2证明：
a2b2c2b2c2a2c2a2b22．
3
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
可求出P4,2,0,2,4，Qx|5x1，然后进行交集的运算即可【详解】
解：
Px|x2k,k2,kZ4,2,0,2,4，
2
Qx|x29x|5x1，
所以PIQ4,2,0．
故选：
B.
【点睛】
本题考查交集的运算，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
22
由已知可列式子x12y12x2y2，整理化简即可.【详解】
解：
由z1iz，得x12y12x2y2，
化简整理得yx1．
故选：
A.
【点睛】
本题考查复数的模的求法和几何意义，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
1
1
alog1
56
log11,blog1log110,
55333
1
c333
01，则0c1，所以bca.
故选：
D.
【点睛】本题考查指对数值大小比较.指数函数值大小比较：
常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．
对数函数值大小比较：
（1）单调性法：
在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;
（2）中间量过渡法：
寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0，”“1或”其他特殊值进行“比较传递”;
（3）图象法：
根据图象观察得出大小关系.
4．B
【解析】
【分析】扇环形ABDC的面积S1等于扇形OAB的面积减扇形OCD的面积；设半径代入求解
详解】
设AOB
，半圆O的半径为
r，扇形OCD的半径为r1，
依题意，有
2
所以r1
2
r
12
35
2
r1
625
4
51，即
（521）2
22
rr1
2
r
51
2
51
2
故选：
B.
【点睛】
本题考查弧度制下扇形面积计算问题其解题策思路：
（1）明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解．
5．C
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解【详解】
ln|x|
因为x0,f（x）sin（x）f（x）,
x
lnx
f（x）sinx奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；
x
因为
f
（2）
2ln2
0，所以排除选项A；
因为f（）0ln0，所以排除选项B；因此选项C正确.
故选：
C.
【点睛】本题考查函数图象识别问题.
其解题思路：
由解析式确定函数图象：
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
函数图象识别有时常用特值法验证排除
6．B
【解析】
【分析】
分步计算，第一步从点A经过点M，第二步从点M经过点N，第三步从点N到达点P，
【详解】
由图可知，从N到P只需1步，从M到N至少需走2步，从A到M至少需走3步，从A
到N至少需走3步.所以要使得从点A经过点M,N到点P所走的步数最少，只需从点A先到点M，再到点N，最后到点P，这样走的步数为6.
故选：
B.
【点睛】本题考查分步乘法计数原理.
（1）利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．
（2）谨记分步必须满足的两个条件：
一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
7．B
【解析】
2rr
122，因为a，b是单位向
【分析】
由arbr1,1，两边平方，得：
量，所以求得rabr0，进而得出a
r
2，再利用两个向量的数量积的定义求得a与
【详解】
rr
由ab1,1，两边平方，得
因为ra，br是单位向量，所以1
arbr的夹角.
2
2rr
2r
2r
rr
2
r
2
r
2
rr
则
rrab
2，
r
r
r
rr
r
a
a
b
所以cos
a,a
b
r
r
r
a
a
b
r2rr
aab12
1222
所以ra与arbr的夹角为4π．
故选：
B.
【点睛】
本题考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题
8．A
【解析】
【分析】
根据题意n3m
mN，由n
2020，得m
1，
2，3，4，
5，6，分别算出相应值
即可得出结果.
【详解】
解：
n3mm
N，由n
2020，得m
1，
2，
3，
4，
5，
6．
所以S的值依次为
S16
11
5，S2
5
2
2
6，
S3
63
39，
S4944
20，S5
20
55
75，
S6
75
6
6
414．
故选：
A.
【点睛】本题主要考查程序框图和算法，属于基础题9．B
【解析】
【分析】
na1an
2
nan1
得an
2Snn
n
由已知得S3S12S22，
即2a1
a2
a3
2a2
2a2
2，进而求出公差d2，再利
用求和公式列式，化简得出结论
【详解】
解：
由已知得S3S12S2
2，即
2a1
a2
a3
2a2
2a22，
所以a2a321，则公差
da3
a2
2，
所以ana3n322n3，即a11，
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用，
求和公式的运用，考查运算能力和转化能力，属于基
建立方程组求解
y2c2，得xa，则
y3，所以A（a,3）,B（a,3）.易知点F（c,0）在圆
x2
y2c2上，所以AF
BF，
得kAFkBF1，即331①.因为线段AF的中点
c
M落在另一条渐近线上，
础题.
10．D
解析】
分析】渐近线过圆心，代入求出渐近线，点F（c,0）在圆x2y2c2上，得AFBF，由AB中
点O及线段AF的中点M，由中位线得渐近线与BF平行，
详解】
|OA||OF|c，所以，
AF与该渐近线垂直，所以该渐近线与
BF平行，
②.解①②组成的方程组，
2得a1,c2，所以双曲线C的方程为x2y
3
1.
故选：
D.
点睛】
本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程
求双曲线方程的思路:
（1）如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标
准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准
方程（求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解
）．
（2）当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种
22
是设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）求解．
11．C
解析】
分析】
不妨设双曲线C的一条渐近线方程为y3x，代入圆x2a
第一步确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解
详解】
因为PA平面ABC，所以PABC，
又因为ABBC，所以BC⊥平面PAB，所以BCPB，设PC的中点为O，则O到PABC的四个顶点的距离都相等，
所以点O是三棱锥外接球球心，
又由外接球的体积为
R336，得外接球半径R3，
所以PC6.设PA
a,BC
b，则PA2AB2
BC2
PC2，得a2b232，
所以VPABC
11
32
2ba
1ab,1
33
a2b2
16，
3
当且仅当
b4时，
VPABC取得最大值
16
此时PBAC422225，
所以，三棱锥的表面积S212
2
212
25
故选：
C.
点睛】本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积其解题规律：
（1）直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的
（2）正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．
（3）求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．
12．C
【解析】
【分析】
2
根据函数的一条对称轴是xπ，且
ππ
6,2
0,1，算出32，进而求出最小正周期，即可
π
判断①；写出将函数fx的图象向左平移个单位后的式子，即可判断②；当x6
2
π
5
π
ππ
2π
时，x
π,
，进而判断③；由fx
0，得xk
π，kZ，
3
6
18
6
22
36
解得x
3
kπ
π
由0
3
kπ
π
1
100π，得
k66.5，进而判断
④.
2
6
2
6
6
【详解】
π
π
π
解：
当x
π时，
x
π
kπ
，kZ，
6
6
2
2
k，kZ，又因为0,1，所以k0，
3
2π函数fx的最小正周期T2π3π，①正确；
fx2sin2xπ将函数fx的图象向左平移π，
366
π2ππ2π
得gxfxπ2sinxππ2sinxπ
6366318
当x
ππ
6,2
时，
5πππ
π,,，
18622
显然gx的图象不关于原点对称，②错误；
所以
ππ
fx在区间,
上单调递增，
③正确；
62
由f
x0，得2xπ
kπ，kZ，
解得x
3kππ
36
26
3π1
由0kπ100π，得k66.5，
266
因为kZ，所以k0，1，2，，66，
所以函数fx在区间0,100π上有67个零点，④正确．故选：
C.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查计算能力，属于中档题
解析】
分析】求导研究函数单调性，得函数在x2处取得最大值，代入可得
详解】
因为f（x）
2x22x2
（2x2）2
2x2
（2x2）2,令f（x）
0解得2x2，
又x0，所以f（x）在（0,2）上单增，在（2，+￥）上单减；
所以函数f（x）的最大值为f
（2）2.
4
故答案为：
2.
4
【点睛】
求函数最值的五种常用方法：
单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法：
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值
导数法：
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值换元法：
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值
1
14．33
【解析】
【分析】
11a1
利用等比数列性质求出a33，又因为a332，算出公比q436，进而求出结
34a3
果.
【详解】
311a1解：
由a1a3a53，得a333，所以a33，又因为a332，所以公比q436，
2
a2a4a4a6qa1a3a3a5
a1a3a3a5a1a3a3a5
1q233．
1
故答案为：
33.
【点睛】本题考查等比数列的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算能力，属于基础题
12
15．
2121
【解析】
【分析】
21第一次检验出次品的概率为2，不放回，则第二次检验出次品的概率为；第一次检验出正
76品而在第四次检验出最后一件次品包含两种可能：
正次正次，正正次次，分别计算即可.【详解】第一次和第二次都检验出次品的概率为P1211，
17621
恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，
有两种可能：
正次正次，正正次次，
概率为P2
524154212
7654765421.
故答案为：
1，2
2121
【点睛】
求复杂互斥事件概率的两种方法：
（1）直接法：
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；
（2）间接法：
先求该事件的对立事件的概率，再由PA＝1－PA求解．当题目涉及“至多”至“少”型问题时，多考虑间接法．
16．
解析】
a,b,c关系可解.
分析】点斜式设出线l的方程，与椭圆联立求解，用点差法计算得
详解】
直线l的方程为y2（xc），设FE的中点为M，则M（
c2c，
），24
uuuruuur
由AFEB知
uuuuruuur
AMMB，则M为AB的中点，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则
22bx1
22ay1
22
ab，
2222bx2ay2
a2b2，两式相减，得b2（x12x22）a2（y12
y22）
0，
整理得b2（x1
由中点公式得：
2
x2）（x1x2）a2（y1y2）（y1y2）0，
2
b（x1x2）（
c）a2（y1y2）22c0，
2
所以
y1y2
x1x2
cb2
22
ca
2
2
2，得
a22b22（a2c2），所以a22c2,e
故答案为：
2
2
点睛】
本题考查求椭圆离
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