第二章 224 平面与平面平行的性质.docx
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第二章224平面与平面平行的性质
2．2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．
知识点 平面与平面平行的性质
观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：
平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
答案 是的．
思考2 若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
答案 不一定，也可能异面．
思考3 过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？
答案 平行.
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
类型一 平面与平面平行的性质定理的应用
例1 平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，求CS.
解 有两种情况：
S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧．
（1）当S位于α、β之间时，
如图，连接AC，BD，AB∩CD＝S.
设AB，CD共面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.
因为α∥β，所以AC与BD无公共点，所以AC∥BD，所以△ACS∽△BSD，所以
＝
.
设CS＝x，则
＝
，所以x＝16.
当S位于α，β之间时，如上解答．
（2）当S位于α，β同侧时，如图，AB∩CD＝S，
设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD.
所以△SAC∽△SBD，
所以
＝
，
即
＝
，
所以SC＝272.
综上所述，SC＝16或272.
反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
跟踪训练1 如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．
答案
解析 AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线AB，A′B′，有AB∥A′B′，且
＝
＝
，同理可得
＝
＝
，
＝
＝
，所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4，又△ABC的面积为
，
所以△A′B′C′的面积为
.
类型二 平行关系的相互转化
例2 已知，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：
EF∥β，EF∥α.
证明 ①当AB，CD在同一平面内时，如图，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，
∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，
又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β.
②当AB与CD异面时，如图，
设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，
使DH＝AC.
∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，
∴AC∥DH，
∴四边形ACDH是平行四边形．
在AH上取一点G，
使AG∶GH＝CF∶FD，
又∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴GF∥HD，EG∥BH，
又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，
∴平面EFG∥平面β.
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.
综上①②知，EF∥β.
∵α∥β，EF∥β且EF⊄α，∴EF∥α.
反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：
解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行．
跟踪训练2 如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：
直线EE1∥平面FCC1.
证明 因为F为AB的中点，
所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以四边形AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，
AD⊂平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，
DD1⊂平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1⊂平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
1．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：
①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交．其中可能出现的情形有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
答案 C
解析 因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，
所以直线a与直线b无公共点．
当直线a与直线b共面时，a∥b；
当直线a与直线b异面时，
a与b所成的角大小可以是90°.
综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形．
2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
答案 平行四边形
解析 由面面平行的性质定理可得．
3．过正方体ABCD—A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
答案 平行
解析 因平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1（面面平行的性质定理）．
4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E＝C1F.求证：
EF∥平面ABCD.
证明 过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，
则
＝
.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴
＝
.
∴FG∥B1C1∥BC，
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF⊂平面EFG，EF⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
1．常用的面面平行的其他几个性质
（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
（2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
答案 A
解析 两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a、b平行．
2．有四个命题：
①若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；②c为直线，α，β为平面，若c∥α，c∥β，则α∥β；③若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∩b＝∅；④若a⊂α，α∥β，则a∥β.其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 ①②中的α，β可能平行，也可能相交，③④正确．故选C.
3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25B．4∶25
C．2∶5D．4∶5
答案 B
解析 ∵面α∥面ABC，
面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝（
）2＝（
）2＝
.
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是（ ）
①
⇒a∥b;②
⇒a∥b；
③
⇒α∥β；④
⇒α∥β；
⑤
⇒α∥a;⑥
⇒a∥α.
A．④⑥B．②③⑥
C．②③⑤⑥D．②③
答案 C
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
5．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C（ ）
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
答案 D
解析
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′，连接A′B，取A′B中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′.
则CE∥AA′，∴CE∥α.
又C′E∥BB′，∴C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E.∴平面CC′E∥平面α.
∴CC′∥α.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
6．下列命题中，错误的是（ ）
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一个平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
答案 C
解析 由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确．对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面．
二、填空题
7．给出四种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α.
④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.
其中正确说法的序号是________．
答案 ①②③
解析 ①正确，因平面α与γ没有公共点．
②正确．若直线a与平面β平行或a⊂β，
则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点，
这与直线a与α相交矛盾，
所以a与β相交．
③正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，
由α∥β得a∥b.
因为PQ∥β，PQ⊂γ，
所以PQ∥b.
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．
因为a⊂α，所以PQ⊂α.
④错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．
8.
如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则
＝________.
答案
解析 ∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得：
EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1中点，
∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝
AC.即
＝
.
9.
如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则
＝________.
答案
解析 因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.
又因为∠EAC与∠FBD的两边同向，
所以∠EAC＝∠FBD.
又因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，
所以
＝
＝
＝
.
10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点．当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是________．
答案 与D重合
解析
如图，连接B1D1，BD，
设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，
连接ME、B1O，
∵平面AB1C∥平面A1EC1，
平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，
平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，
∴则B1O∥ME.
又四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD.
故E与D重合．
11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使α、β都平行于γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．
答案 2
解析 若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的．
三、解答题
12.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.
求证：
N为AC的中点．
证明 ∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∴AN＝C1M＝
A1C1＝
AC，
∴N为AC的中点．
13.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？
若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解 方法一 存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，
下面给出证明：
如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，EF∩DF＝F，
所以平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.
方法二 假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1.
如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面AB1C1，
因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1.
又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
所以EF∥AB1，
因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
14．已知：
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求
的值．
解 如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
所以BC1∥D1O，
所以D1为线段A1C1的中点，
所以D1C1＝
A1C1.
因为平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，
平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，
所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝C1D1＝
A1C1＝
AC，所以
＝1.
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