48 平行线课本.docx

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48平行线课本

§4.8平行线

1．平行线

我们已经知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线（parallellines）。

如图4.8.1，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”。

图4.8.1

在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：

相交或平行。

你能按照图4.8.2所示的方法，画一条直线b与已知直线a平行吗？

图4.8.2

如下图所示，不少国家、团体或公司的标志是由平行线、垂直线构成的．

做一做

如果在直线a外有一个已知点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行？

请动手画一画。

动手操作的结果表明，经过点P只能画一条直线与已知直线a平行。

这就是说：

经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

练习

1．观察如图所示的长方体：

（1）用符号表示下列两棱的位置关系：

AB，

AB，

，ADBC；

（2）

与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在内，两条不相交的直线才能叫做平行线。

2．读下列语句，并画出图形：

（1）过△ABC的顶点C，画MN∥AB；

（2）过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交AB于点E。

2．平行线的识别

在上一小节如图4.8.2所示的画图过程中，三角尺沿着直尺的方向由原来的位置平行地移到另一个位置，我们把这样的移动简称为平移。

三角尺紧靠直尺的一边和直线a所成的角在平移前的位置与平移后的位置构成了一对同位角，其大小始终没变，因此，只要保持同位角相等，画出的直线就平行于已知直线。

这就是说：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单地说，就是

同位角相等，两直线平行。

例如，如图4.8.3，直线a、b被直线l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b。

图4.8.3

在图4.8.3中，由于∠2=∠3，因此，如果∠1=∠3，那么就有∠1=∠2，于是可得a∥b。

这就是说：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单地说，就是内错角相等，两直线平行。

例1如图4.8.4，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°，∠2=115°，直线a、b平行吗？

为什么？

图4.8.4

平行线的识别方法：

1同位角相等，两直线平行。

2内错角相等，两直线平行。

3同旁内角互补，两直线平行。

解本题中，直线a与b平行。

由已知条件可得∠1=∠2。

根据内错角相等，两直线平行，因此a∥b。

例2如图4.8.5，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？

AD与BC平行吗？

图4.8.5

解本题中直线AB与CD平行，但根据题目的已知条件，无法判定AD与BC平行。

由已知条件可得∠B+∠C=180°。

根据同旁内角互补，两直线平行，因此AB∥CD。

试一试

1.记住时间并努力在5分钟内尽可能多地举出我们周围世界所遇到的平行线和垂直线的例子。

（参加者轮流举出这些直线的例子。

只要在一分钟时间内任何人都不能想出新的例子，游戏就结束。

谁的例子是最后一个，谁就是胜者。

）

练习

1．如图．

（1）如果∠B=∠1，那么根据____________________，可得AD∥BC；

（2）如果∠D=∠1，那么根据____________________，可得AB∥CD。

（第1题）

2．如图．

（1）如果∠BAD+∠ABC=180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，可得_____∥_____；

（2）如果∠BCD+∠ABC=180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，可得_____∥_____。

（第2题）

3使用直尺、量角器和三角板，在图上找出平行的直线对和垂直的直线对。

（第3题）

4.根据图中给出的条件，指出互相平行的直线和互相垂直的直线。

（第4题）

3．平行线的特征

我们已经知道，如果直线a与直线b平行，那么他们一定不相交，如图4.8.6。

平行的两条直线还具有什么特征呢？

为此，我们用第三条直线l去截平行直线a与b（如图4.8.7），探索截得的同位角、内错角、同旁内角分别有哪些特征。

图4.8.6图4.8.7

我们用量角器分别量出∠1、∠2的度数，可以发现∠1=∠2。

不论如何改变直线l的位置，都可以发现所截得的同位角相等。

这就说明：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单地说，就是两直线平行，同位角相等。

用同样的方法，也可以得出：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单地说，就是两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

平行线的特征：

1两直线平行，同位角相等。

2两直线平行，内错角相等。

3两直线平行，同旁内角互补。

例1如图4.8.8，已知直线a∥b，∠1=50°，求∠2的度数。

图4.8.8

由于a∥b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠2。

而∠1=50°，因此∠2=50°。

例2如图4.8.9，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B=60°，求∠C的度数。

能否求得∠A的度数？

图4.8.9

解由于AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠C=180°。

而∠B=60°，因此∠C=120°。

根据题目的已知条件，无法求出∠A的度数。

例3画出将如图4.8.10所示的方格纸中的图形向右平移4格，并向上平移3格后的图形。

图4.8.10图4.8.11

解如图4.8.11所示的图形即原图形以及原图形向右平移4格，并向上平移3格后的图形。

从图中可以看出，原图中的每一个顶点以及每一条边都向右平移了4格，并向上平移了3格。

练习

1．如图，

（1）如果AD∥BC，那么根据____________________，可得∠____=∠1；

（2）如果AB∥CD，那么根据____________________，可得∠____=∠1。

（第1题）

2．如图．

（1）如果AD∥BC，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠____+∠ABC=180°；

（2）如果AB∥CD，那么根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠____+∠ABC=180°。

（第2题）（第3题）

3．如图，直线a∥b，∠1=（3x+16）°,∠2=（2x-11）°,求∠1、∠2的度数。

4．画出将如图所示的方格纸中的图形向右平移3格，并向下平移4格后的图形。

（第4题）（第5题）

5．在图上画着与第三条直线相交的两条平行线。

已知∠1等于52°。

其余各角等于多少?

习题4.8

1．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有_______条，而经过直线a外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有_______条。

2．用平移三角尺的方法可以检验出图中共有平行线____对。

（第2题）

3．如图，

（1）如果∠___=∠___，那么根据____________________，可得AB∥CD；

（2）如果∠___=∠___，那么根据____________________，可得AD∥BC。

（第3题）

4．如图，已知∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC。

（1）∠DAB+∠B=____°；

（2）AB与CD平行吗？

AD与BC平行吗？

（第4题）

5．如图，AD∥BC，∠B=60°，∠1=∠C。

那么∠C=____。

（第5题）

6．画出将如图所示的方格纸中的图形向左平移3格，并向下平移4格后的图形。

（第6题）

7．如图，线段CD是线段AB经过向右平移_____格，并向下平移_____格后得到的线段。

线段BD向左平移_____格，并向下平移_____格后得到线段AC。

（第7题）

小结

一、知识框图

二、概述

本章从生活中的物体入手，认识立体图形，又通过视图和展开图引入平面图形，探索基本图形——点与线。

相信你通过本章的学习，体会到周围的世界是多么地奇妙，立体图形形状千变万化。

你对一些简单的立体图形有了初步的了解，能描述他们的视图，并能根据视图描述出这些物体的形状。

你知道了两点间线段最短，会比较线段的长短、角的大小，了解了相交线与平行线的一些特征，等等等等。

我们期望，你能学会仔细观察周围的一切，从观察到思考，从思考到作出判断。

复习题

A组

1．用6根火柴能否组成四个一样大的三角形，若能，请说明你的图形。

2．下面是一些立体图形的视图，但是观察的方向不同，试说明下列各图可能是哪一种立体图形的视图。

3．下面是正方体的展开图，如果a在后面，b在上面，c在左面，试说明其它各面的位置。

4．八边形可以分成几个三角形?

有几种分法?

九边形、十边形呢?

……，试说明多边形的边数与所分成的三角形个数之间的关系。

5．填空：

如图，A、B、C三点在一条直线上，线段AB、BC和AC有下列等式成立：

（1）AB+BC=_____；

（2）AC-BC=_____；

（3）AC-AB=_____．

6．在纸上画出四个点（其中任意三点不在同一条直线上），每两点用直尺画一条直线，一共可以画几条?

7．计算下列各题：

（1）23°30′=_____°，13.6°=_____°_____′；

（2）52°45′-32°46′=_____°_____′；

（3）18.03°+26°34′=_____°_____′．

8．由图填空：

∠AOC=_____+_____；

∠AOC-∠AOB=_____；

∠COD=∠AOD-_____；

∠BOC=_____-∠COD；

∠AOB+∠COD=_____-_____．

9．如图，已知∠1=53°，∠2=37°。

CD与CE垂直吗?

10．如图，经过直线a外一点P的4条直线中，与直线a平行的直线有__________，共有___条。

11．如图，如果AB‖CD，那么∠A与∠C______。

B组

12．你能用12根火柴组成5个正方形吗?

能组成6个正方形吗?

试说明你的图形。

13．如图，AOB是直角，OD平分BOC，OE平分∠AOC，求∠EOD的度数。

（第13题）（第14题）

14．小明有一张地图，有A、B、C三地，但地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°，在B地的南偏东45°，你能帮他确定C地的位置吗?

15．如图，平行直线a、b被直线l所截，如果∠1=75°，那么∠2=____°，∠3=____°，

∠4=____°，∠5=____°，∠6=____°，∠7=____°，∠8=____°。

（第15题）

16．如图，直线a‖b，∠1=（2x-95）°，∠2=（175-x）°，求∠1、∠2的度数。

（第16题）

17．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°。

AC与BD平行吗?

AE与BF平行吗?

（第17题）

C组

18．下面是一物体的三视图，试描述该物体的形状。

19．如图，一只昆虫要从正方体的一个顶点爬到相距它最远的另一个顶点，哪条路径最短?

说明理由。

20．抗日战争时期，五名战士奉命保护A地一批文物前往安全地带，在A地南偏东55°距离3公里处有一个村庄B。

他们从A地出发北偏东82°方向行军，不知道走了多远之后，他们发现B村出现烟火，他们决定把文物先埋藏起来，然后走了7公里的路赶到B村消灭了敌人。

请问：

凭借以上信息，你能估计文物藏在何处吗?

你可以画一张草图来说明。

21．我们知道2条直线只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，6条直线两两相交最多能有15个交点，…，n条直线呢?

22．如图，如果AB//CD，∠B=37°，∠D=37°，那么BC与DE平行吗?

（第22题）

23．如图，按下述口令画出图形：

将位于图中点A处的小海龟向前前进3格，然后向右转90°，前进2格，然后向右转90°，前进3格，然后向左转90°，前进1格，再向左转90°，前进4格，再向左转90°，前进3格，然后向右转90°，前进3格，然后向左转90°，前进1格，然后向左转90°，前进7格，再向左转90°，前进1格，用红线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。