普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题 解析版.docx

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普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学试题解析版

一、填空题：

本大题共14个小题,每小题5分,共70分.

1.已知集合，，则集合中元素的个数为_______.

【答案】5

【解析】

试题分析：

考点：

集合运算

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.

【答案】6

考点：

平均数

3.设复数z满足（i是虚数单位），则z的模为_______.

【答案】

【解析】

试题分析：

考点：

复数的模

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

【答案】7

【解析】

试题分析：

第一次循环：

;第二次循环：

;第三次循环：

;结束循环，输出

考点：

循环结构流程图

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

【答案】

考点：

古典概型概率

6.已知向量a=，b=,若ma+nb=（）,的值为______.

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得：

考点：

向量相等

7.不等式的解集为________.

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得：

，解集为

考点：

解指数不等式与一元二次不等式

8.已知，，则的值为_______.

【答案】3

【解析】

试题分析：

考点：

两角差正切公式

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

【答案】

【解析】

试题分析：

由体积相等得：

考点：

圆柱及圆锥体积

10.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为

【答案】

考点：

直线与圆位置关系

11.数列满足，且（），则数列的前10项和为

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得：

所以

考点：

数列通项，裂项求和

12.在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为

【答案】

【解析】

试题分析：

设，因为直线平行于渐近线，所以c的最大值为直线与渐近线之间距离，为

考点：

双曲线渐近线，恒成立转化

13.已知函数，，则方程实根的个数为

【答案】4

考点：

函数与方程

14.设向量，则的值为

【答案】

【解析】

试题分析：

因此

考点：

向量数量积，三角函数性质

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分14分）在中，已知.

（1）求的长；

（2）求的值.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

考点：

余弦定理，二倍角公式

16.（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：

（1）；

（2）.

【答案】

（1）详见解析

（2）详见解析

【解析】

试题分析：

（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得

（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得

考点：

线面平行判定定理，线面垂直判定定理

17.（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

当t为何值时，公路l的长度最短？

求出最短长度.

【答案】

（1）

（2）①定义域为，②千米

（2）由

（1）知，（），则点的坐标为，

设在点处的切线交，轴分别于，点，，

考点：

利用导数求函数最值，导数几何意义

18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】

（1）

（2）或．

（2）当轴时，，又，不合题意．

当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，

将的方程代入椭圆方程，得，

则，的坐标为，且

．

若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．

从而，故直线的方程为，

则点的坐标为，从而．

因为，所以，解得．

此时直线方程为或．

考点：

椭圆方程，直线与椭圆位置关系

19.（本小题满分16分）已知函数.

（1）试讨论的单调性；

（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a

的取值范围恰好是，求c的值.

【答案】

（1）当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减．

（2）

考点：

利用导数求函数单调性、极值、函数零点

20.（本小题满分16分）设是各项为正数且公差为d的等差数列

（1）证明：

依次成等比数列；

（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；

（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.

【答案】

（1）详见解析

（2）不存在（3）不存在

（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．

假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，

则，且．

令，则，且（，），

化简得（），且．将代入（）式，

，则．

显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．

（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，

则，且．

分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），

则，且．

将上述两个等式两边取对数，得，

且．

化简得，

且．

再将这两式相除，化简得（）．

令，

则．

令，

则．

令，则．

令，则．

由，，

知，，，在和上均单调．

故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．

所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．

考点：

等差、等比数列的定义及性质，函数与方程

附加题

21.A（选修4—1：

几何证明选讲）

如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D

求证：

∽

【答案】详见解析

考点：

三角形相似

21.B（选修4—2：

矩阵与变换）

已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.

【答案】,另一个特征值为．

【解析】

试题分析：

由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值

试题解析：

由已知，得，即，

则，即，所以矩阵．

从而矩阵的特征多项式，所以矩阵的另一个特征值为．

考点：

矩阵运算，特征值与特征向量

21.C（选修4—4：

坐标系与参数方程）

已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.

【答案】

考点：

圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化

21.D（选修4—5：

不等式选讲）

解不等式

【答案】

【解析】

试题分析：

根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可

试题解析：

原不等式可化为或．

解得或．

综上，原不等式的解集是．

考点：

含绝对值不等式的解法

22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,.

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

【答案】

（1）

（2）

考点：

空间向量、二面角、异面直线所成角

23.（本小题满分10分）已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

【答案】

（1）13

（2）

下面用数学归纳法证明：

当时，，结论成立；

假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，

考点：

计数原理、数学归纳法