中考等腰三角形专题训练docx.docx
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中考等腰三角形专题训练docx
6.（2017•包头）若等腰三角形的周长为10c加，其中一边长为2。
加，则该等腰三角形的底边长为（）
A・2cmB.4cmC・6cmD.Scm
【答案】A.
【解析】：
若2肋为等腰三角形的腰长，则底边长为10-2-2=6（沏），2+2<6,不符合三角形的三边关系；
若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10-2）4-2=4（cm）,此时三角形的三边长分别为2cm,4cm,
4c加，符合三角形的三边关系；故选A.
考点：
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论.
5.（2017•吉林）如图，在AABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若
【答案】C.
【解析］VAB=BD,ZB=40°,
.•.ZADB=70°,
VZC=36°,
AZDAC=ZADB-ZC=34°.
故选C.
6.（2017•鄂州）如图AB//CD,E为CD上一点,射线EF经过点A,EC=EA,若ZCAE=30°,则ZBAF=（）
A.30°B.40°C.50°D.60°
【答案】D
【解析】试题分析:
利用等边对等角，得ZCAE=ZACE=30°,根据三角形的外角等于不相邻的两内角的
和，可知ZAED=30°+30°=60°,然后根据两直线平行，同位角相等，可得ZAED=60°・故选：
D
10・（2017*宁德）如图，在AABC中，AB二AC,点D,E分别在边BC和AC上，若AD二AE,则下列结论错误的是（）
A
A・ZADB=ZACB+ZCADB.ZADE=ZAED
C・ZCDE二丄ZBADD・ZAED=2ZECD
2
【考点】KH：
等腰三角形的性质.
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出答案.
【解答】解：
JZADB是AACD的外角，
・・・ZADB二ZACB+ZCAD,选项A正确；
VAD=AE,
・・・ZADE二ZAED,选项B正确；
VAB=AC,
Z.ZB=ZC,
JZADOZADE+ZCDE二ZB+ZBAD,ZAED二ZCDE+ZC,
・・・ZCDE+ZC+ZCDE二ZB+ZBAD,
AZCDE=丄ZBAD,选项C正确；
2
VZAED=ZECD+ZCDE,ZECDHZCDE,
・・・选项D错误；
故选：
D.
9.（2017*营口）如图，在ZXABC中，AC=BC,ZACB=90°,点D在BC±,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）
【考点】PA：
轴对称一最短路线问题；KW：
等腰直角三角形.
【分析】过点（：
作（：
0丄AB于0,延长CO到U,使0C=0C,连接DC,交AB于P,连接CP,此吋DP+CP=DP+PC=DC的值最小.由DC=1,BC=4,得到BD=3,连接BC\由对称性可知ZCBE=ZCBE=45。
，于是得到ZCBC—90。
，然后根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解：
过点C作CO丄AB于O,延长CO到U,使OC，=OC,连接DC7,交AB于P,连接CP.此时DP+CP=DP+PU=DC的值最小.
VDC=1,BC=4,
・・・BD=3,
连接BC,由对称性可知ZCBE=ZCBE=45。
，
・・・ZCBU=90。
，
ABCr±BC,ZBCC/=ZBCC=45°,
・・・BC=BC'=4,
根据勾股定理可得DCf=错误!
未找到引用源。
=错误!
未找到引用源。
=5.
12.（2017*河池）已知等边AABC的边长为12,D是AB上的动点，过D作DE±AC于点E,过E作EF丄BC于点F,过F作FG丄AB于点G.当G与D重合吋，AD的长是（C）
A.3B.4C.8D・9
13.（2017*海南）已知AABC的三边长分别为4、4、6,在AABC所在平面内画一条直线,
将AABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.
A.3B.4C.5D・6
【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可.
【解答】解：
如图所示:
当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE二BE时，都能得到符合题意的等腰三角形.
故选B.
5.（2017*j
台）某城市几条道路的位置关系如图所示,
已知AB〃CD,AE与AB的夹角为
48°,若CF与EF的长度相等，则ZC的度数为（
BD
A.48°B.40。
C.30°D.24°
【考点】KH：
等腰三角形的性质；JA：
平行线的性质.
【分析】先根据平行线的性质，由AB//CD得到Z1=ZBAE=45°,然后根据三角形外角性质
计算ZC的度数.
【解答】解：
・・・AB〃CD,
AZ1=ZBAEM8°,
VZ1=ZC+ZE,
VCF=EF,
AZC=ZE,
・・・ZO^Z1-^X480=24°.故选D.
6.（2017*荆州）如图，在AABC屮，AB二AC,ZA=30。
，AB的垂直平分线1交AC于点D,则ZCBD的度数为（）
A.30°B.45°C・50°D.75°
【考点】KH：
等腰三角形的性质；KG：
线段垂直平分线的性质.
【分析】根据三角形的内角和定理，求出ZC,再根据线段垂直平分线的性质，推得ZA=Z
ABD=30。
，由外角的性质求出ZBDC的度数，从而得出ZCBD=45。
・
【解答】解：
TAB二AC,ZA=30°,
AZABC=ZACB=75°,
VAB的垂直平分线交AC于D,
・・・AD二BD,
AZA=ZABD=30°,
・・・ZBDC=60°,
・•・ZCBD=180°-75°-60。
=45。
・
故选B.
10.（2017•武汉）如图，在Rt\ABC中，ZC=90,以AABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在MBC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）
B.5
【答案】D
C.6
D.7
DA-13C
考点：
画等腰三角形.
8.（2017・台州）如图,已知AABC,AB二AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列
C、ZEBC=ZBAC
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
VAB^AC,・
D、ZEBC=ZABE
AZABC=ZC,又TBE=BC,•••ZBEC二ZC,
・・・ZABC二ZBEC,
又TZBEC=ZA+ZABE,ZABC=ZABE+ZEBC,/.ZA=ZEBC,
故答案选c.
【分析】根据AB二AC,BE二BC,可以得I1IZABC二ZC,ZBEC二ZC,从而得｛11ZABC=ZBEC,ZA=ZEBC,可得出正确答案。
5.（2017*台州）如图，点P使ZA0B平分线上一点，PD10B,垂足为D,若PD二2,则点P到边0A的距离是（）
A、1B、2C、尸D、4
【答案】B
11.（2017•天津）如图，在AABC中，AB=AC,AD,CE是AABC的两条中线，P是AD±一个动
点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
C.AD
D.AC
【答案】B.
【解析】试题分析：
在AABC中，AB=ACfAD是AABC的中线，可得点B和点D关于直线AD对称,
连结CE,交AD于点P,此时BP+EP最小，为EC的长，故选B.
8.（2017・滨州）如图，在厶ABC屮，AB=AC,D为BC上一点，且DA=QC,BD=BA,则ZB的大小为
A.40°B.36°C.80°D.25°
答案：
B；解析：
设ZC=x°,由于DA=DC,可得ZDAC=ZC=x°f由AB=AC可得ZB=ZC=x°.AZADB=ZC+Z£>AC=2x°,由于BD=B4,所以ZBAD=ZADB=2x°f根据三角形内角和定理，得屮+x°+3x°=18O°,解得x=36°.所以ZB=36°.
11.（2017*滨州）如图，点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点，且ZMPN与ZAOB互补.若ZMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA,OB相交于M、N两点，则以下结论：
⑴PM=PN恒成立，
（2）OM+ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）的长不变，其中正确的个数为
A.4
D.1
答案：
B,解析：
①过点P分别作04、OB的垂线段，由于ZPEO=ZPFO=90°,因此ZAOB与ZEPF互补，由已知“ZMPN与ZAOB互补”，可得ZMPN=ZEPF,可得ZMPE=ZNPF.②③根据
“角平分线上一点到角两边距离相等”，可证PE=PF.即可证得Rt/XPME竺RtbPNF；因此对于结论⑴，“PM=PN”由全等即可证得是成立的；结论
（2）,也可以有全等得到ME=NF,即可证得OM
+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不变，因此OM+ON的值也保持不变；结论（3）,由“Rt/\PME竺RAPNF”可得这两个三角形的面积相等，因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等，因此结论（3）是正确的；结论（4）,对于△PMN与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形，且顶角相等，但由于腰长不等，因此这两个三角形不可能全等，所以底边MN与EF不可能相等.所以的长是变化的.
8.（2017・枣庄）如图，在RtAABC中，ZC=.90°,以顶点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交边/ICAB
于点M,N,再分别以必冲为圆心，大于丄3側长为半径画弧，两弧交于作射线力戶交边比'于点〃，若CD=4f
2
&〃=15,则△個9的面积为（2016•淮安T8）
14.（2017*益阳）如图，在AABC中，AB=AC,ZBAC=36°,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a>b的代数式表示AABC的周长为2a+3b.
【考点】KH：
等腰三角形的性质；KG：
线段垂直平分线的性质.
【分析】由题意可知：
AC=AB=a+b,由于DE是线段AC的垂直平分线，ZBAO36。
，所以
易证AE=CE=BC=b,从可知AABC的周长；
【解答】解:
VAB=AC,
BE=a,AE=b,
AAC=AB=a+b,
VDE是线段AC的垂直平分线，
・・・AE二CE二b,
AZECA=ZBAC=36°,
VZBAC=36°,
AZABC=ZACB=72°,
AZBCE=ZACB-ZECA二36。
，
AZBEC=180°-ZABC-ZECB=72°,
Z.CE=BC=b,
AAABC的周长为：
AB+AC+BC二2a+3b
故答案为：
2a+3b・
16.（2017*扬州）如图，把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP丄BC,若BP=4cm,则EC=（2+2近）cm.
A
【考点】PB：
翻折变换（折叠问题）；KK：
等边三角形的性质.
【分析】根据等边三角形的性质得到ZA=ZB=ZC=60°,AB二BC,根据直角三角形的性质得到BD=8cm,PD=4届m,根据折叠的性质得到AD二PD=4j5cm,ZDPE二ZA=60。
，解直角三角形即可得到结论.
【解答】解：
•••△ABC是等边三角形，
.\ZA=ZB=ZC=60°,AB二BC,
VDP丄BC,
AZBPD=90°,
*/PB=4cm,
/.BD=8cm,PD=4、/5cm,
•・・把等边△ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
AAD=PD=4^/3cm,ZDPE=ZA=60°,
.•.AB=（8+4^3）cm,
ABC=（8+4^3）cm,APC=BC・BP二（4+4^3）cm,・・・ZEPC=180°-90°-60°=30°,
・・・ZPEC=90°,
・・・CE二*PC=（2+2/3）cm,故答案为：
2+2近・
20.（2017・绥化）在等腰AABC中，AD丄BC交直线BC于点D,若AD二*BC,则厶ABC
J
的顶角的度数为30。
或150。
或90°・
【考点】KO：
含30度角的直角三角形；KH：
等腰三角形的性质.
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜
边的一半判断出ZACD=30。
，然后分AD在AABC内部和外部两种情况求解即可.
【解答】解：
①BC为腰，
VAD丄BC于点D,AD=^BC,
・・・ZACD=30。
，
如图1,AD在AABC内部时,顶角ZC=30°,
如图2,AD在AABC外部时，顶角ZACB=180°・30。
二150。
②BC为底，如图3,
VAD1BC于点D,AD=*BC,
・・・AD二BD二CD,
AZB=ZBAD,ZC=ZCAD,
・・・ZBAD+ZCAD誌X180°=90°,
・•・顶角ZBAC=90°,
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30。
或150。
或90°.
故答案为:
30。
或150。
或90。
•
8.（2017＞江西）如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30。
，则ZA=75度.
【考点】KH：
等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解：
VOA=OB,ZAOB二30。
AZA=^=75°,
故答案为：
75.
18.（2017*威海）如图，AABC为等边三角形，AB=2.若P为AABC内一动点，且满足ZPAB二ZACP,则线段PB长度的最小值为警・
—3一
【分析】由等边三角形的性质得出ZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,求出ZAPC=120°,当
PB丄AC时，PB长度最小，设垂足为D,此时PA二PC,由等边三角形的性质得出AD二CD-|
AC=bZPAC=ZACP=3°%ZABD詁ZABW0。
，求出PD=ADtan30。
鲁AD鲁，BD^
ADr方，即可得出答案.
【解答】解:
VAABC是等边三角形,
AZABC=ZBAC=60°,AC=AB=2,
VZPAB=ZACP,•••ZPAC+ZACP=60。
，
AZAPC=120°,
当PB丄AC时，PB长度最小，设垂足为D，如图所示:
此时PA=PC,贝ljAD=CD=yAC=l,ZPAC=ZACP=30°,ZABD=yZABC=30°,・•・PD二ADtan30°=蓉AD二荐，BD=/5aD=、用，
oo
:
.PB二BD-PD=/3-
故答案为：
竽
15.（2017-新疆）如图，在四边形ABCD中，AB二AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点0,下列结论中:
1ZABC=ZADC；
2AC与BD相互平分；
3AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
4四边形ABCD的面积S二寺/\C・BD.
正确的是①④（填写所有正确结论的序号）
【考点】KD：
全等三角形的判定与性质；KG：
线段垂直平分线的性质.
【分析】①证明△ABC^AADC,可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即对.
【解答】解：
①在AABC和zMDC中，
'AB二AD
JBC二CD,
AC二AC
AAABC^AADC（SSS）,
AZABC=ZADC,
故①结论正确；
2VAABC^AADC,
・・・ZBAC二ZDAC,
TAB二AD,
・・・OB=OD,AC丄BD,
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
3由②可知：
AC平分四边形ABCD的ZBAD.ZBCD,
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
4TAC丄BD,
・・・四边形ABCD的面积S=Saabd+SABcn=yBD•AO+yBD•CO=yBD•（AO+CO）二*AC・BD.
故④结论正确；
所以正确的有：
①④；
故答案为：
①④.
12.（2017-丽水）等腰三角形的一个内角为100°,则顶角的度数是・
【答案】100°
【考点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
等腰三角形的一个内角为100。
，而底角不能为钝角，・・・100。
为等腰三角形的顶角.故答案为100°.
16.（2017-绍兴）如图，ZA0B=45°,点M,N在边0A±,0M=x,0N=x+4,点P是边0B上的点•若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是•
【答案】x=0或x二
【考点】相交两圆的性质
【解析】【解答】解：
以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与0B的必有一个交点R,且MN=4,以
M为圆心MN为半径画圆,以N为圆心MN为半径画圆,
1如下图，当M与点0重合吋，即x=0吋，
除了Pi,当MN=MP,即为P3;当NP二MN时，即为P2；
2当0〈x〈4时，如下图，圆N与0B相切时，NP2=MN=4,且NP2±OB,此时MP尸4,
3因为MN二4,所以当x>0时，心K0N,则MN二NP不存在，除了Pi外，当MP=MN=4时，
过点M作MD丄0B于D,当0M=MP=4时，圆M与0B刚好交0B两点珂和Ps;
当MD=MN=4时，圆M与0B只有一个交点,此时0M二
2MD=4
故4Wx〈4
与OB有两个交点P2和P3，
故答案为x=0或x=4\P-4或4Wx〈4
【分析】以M,N,P三点为等腰三角形的三顶点，则可得有MP二MN二4,NP二MN二4,PM=PN这三种情况，而PM二PN
这一种情况始终存在；当MP二MN时对作以M为圆心爪为半径的圆，查看与0B的交点的个数；以N为圆心
MN为半径的圆，查看与0B的交点的个数；则可分为当x=0时，符合条件；当0〈x〈4时，圆M与0B只有一个交点，则当圆N与0B相切时，圆“与0B只有一个交点，符合，求出此时的x值即可；当4Wx时，圆N与0B没有交点，当x的值变大时，圆M会与0B相切，此时只有一个相点，求出此时x的值，则x在这个范圉内圆M与0B有两个交点；综上即可求答案.
18.（2017*内江）如图，AD平分ZBAC,AD丄BD,垂足为点D,DE〃AC・求证：
ABDE是等腰三角形.
【考点】KI：
等腰三角形的判定；JA：
平行线的性质.
【分析】直接利用平行线的性质得出Z1=Z3,进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出
ZB二ZBDE,即可得出答案.
【解答】证明：
VDE//AC,
AZ1=Z3,
VAD平分ZBAC,
.\Z1=Z2,
AZ2=Z3,
•・・AD丄BD,
•••Z2+ZB二90。
，Z3+ZBDE二90。
，
AZB=ZBDE,
•••△BDE是等腰三角形.
24.（2017*哈尔滨）已知：
AACB和ADCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,连接AE,BD交于点O,AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
（1）如图1,求证:
AE=BD；
（2）如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下，请肓接写出图2中四对全等的肓角三角形.
【考点】KD：
全等三角形的判定与性质；KW：
等腰直角三角形.
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可求证AACE竺ABCD,从而可知AE=BD；
（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；
【解答】解：
（1）VAACB和ADCE都是等腰直角三角形，
ZACB=ZDCE=90°,
・・・AC=BC,DC=EC,
・・・ZACB+ZACD二ZDCE+ZACD,
AZBCD=ZACE,
在厶ACE与厶BCD中，
AC二BC
£ZACE二ZBCD
.CE二CD
AAACE^ABCD（SAS）,
・・・AE二BD,
（2）・.・AC=DC,
・・・AC=CD二EC=CB,
AACB^ADCE（SAS）；
由
（1）可知：
ZAEC^ZBDC,ZEAC=ZDBC
・・・ZDOM=90°,
•・・ZAEC=ZCAE=ZCBD,
AAEMC^ABCN（ASA）,
・・・CM二CN,
・・・DM二AN,
AAONADOM（AAS）,
TDE二AB,AO二DO,
AAAOB^ADOE（HL）
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