数学吉林省长春市十一中学年高二下学期期末考试理.docx
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数学吉林省长春市十一中学年高二下学期期末考试理
吉林省长春市十一中2013-2014学年高二下学期
期末考试数学理
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.设全集U一1,2,3,4,5?
集合M「1,4?
，N「1,3,5二则NQM]=（）
A.1,3?
B.1,5C.収5?
D.U,5?
2.已知i2-_1，则i1-・.、3i=（）
A..3-iB.,3iC.—、3-iD.—3i
3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱
4.设某大学的女生体重y（单位：
kg）与身高x（单位：
cm）具有线性相关关系，根据
一组样本数据（人孑）（i=1,2,3,…n），用最小二乘法建立的回归方程为0=0.85x-85.71,
则下列结论中不正确的是（）
A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心（x,y）
C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D.
D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重为58.79kg
则AM=（
则a21=
图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.对任意实数x，有（x-1）4二a0a（x-3）a2（x-3）2a3（x-3）3a4（x-3）4.
x=14t
则a3的值为
二-所截得的弦长为
14.直线｛5（t为参数）被曲线cos
3
y=T——t
L5
15.将A、B、C、D、E排成一排，要求在排列中，顺序为“”ABC”或“CAB”（可以不相
令邻），这样的排法有种.
16.定义在（0,咼）上的函数f（x）满足：
①当XE1,3）时，f（x）=1—X—2:
②
f（3x）=3f（x）.设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为
X!
X2,,Xn,（nN*）.若a（1,3），则人x?
x?
.」x?
.二
（用n表示）
三•解答题（本大题共70分，解答时要写出必要的文字说明推理过程和演算步骤）
（I）求A的大小；
（n）若a=6，求bc的取值范围
18.（满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A3G的侧棱与底面垂直，且.ACB=90,
BAC-30,BC=1,AA=：
』6，点P,M,N分别为B®、CC“、AB1的中点.
（I）求证：
PN//平面ABC;
（n）求证：
ABj_A,M；
（川）求二面角C1-AB-片的余弦值.
19.（满分12分）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道
备选题中一次任意抽取3道题，独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中的2题就停止答题，即闯关成功。
已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率
都是2.
3
（I）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（n）设甲答对题目的个数为•，求的分布列及数学期望.
2X2
20.（满分12分）设F1,F2分别是椭圆$=1的左，右焦点，
4
（I）若P是椭圆在第一象限上一点，且PF1卩卩2,求P点坐标;
4
（n）设过定点（0,2）的直线|与椭圆交于不同两点A,B,且.AOB为锐角（其中0为
原点），求直线l的斜率k的取值范围
22
21.（满分12分）设函数f（x）二xalnx,aR，其导函数为f（x）；
x
（I）当a4时，求fx的单调区间；
（n）当a兰4时，于xi,X2^（0,p）,xi式X2，求证：
厂（xi）—f"（X2）axi—X2
（22题、23题、24题中任选一个作答）
22.（本小题满分10分）选修4-1:
平面几何选讲
如图所示，AB是。
O直径，弦BD,CA的延长线交于E,EF垂直于BA的延长
线于F.
求证：
（1）.DEA"DFA；
（2）AB2二BEBD-AEAC.
23.（本小题满分10分）选修4-4:
坐标系与参数方程
已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为x轴正半轴，直线l的参数
x=―^+J3t
方程为」（t为参数），曲线C的极坐标方程为P=4coS
J=t
（1）写出C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线？
（2）设直线|与曲线C相交于P、Q两点，求PQ.
24.（本小题满分10分）选修4-5:
不等式选讲
设函数f（x）=2x十4一x-4
（1）解不等式fx2;
（2）求函数fx的最小值•
长春市^一高中2013-2014年高二下学期数学
期末考试（理）答案
、选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
D
D
A
C
C
D
A
D
A
B
、填空题（每题5分，共20分）
13、814、715、40种16、6（3"-1）
5
三、解答题
17（I）由已知条件结合正弦定理有：
一aC—，从而：
j3cosAsinCsinA
3cosA=sinA,tanA=3,0：
A：
二，.A一
3
bca—
（n）由正弦定理得：
413,
sinBsinCsinA
b=4_3sinB,c=43sinC
bc=43sinB4.3sinC=4.3sinBsin（—B）
-3
=12sin（B）
6
5:
；二
B,6：
：
12sin（B）「2
6666
即:
be6,121
18.
（1）证明：
连接CB1,TP是BG的中点，•CB1过点P,
'/N为AB1的中点，二PN//AC,
又7AC面ABC,PN二面ABC,-PN//平面ABC;
（2）在直角心ABC中，I；BC=1，”".NBAC=30,，二AC=AC1,
v棱柱ABC-ABQ1的侧棱与底面垂直，且BQ—C1A1,以点G为原点，以C1B1所在的
直线为x轴建立如图所示空间直角坐标系如图示，则
G0,0,0,
A0八3,0,
Bi1,0,0,
A0J3J6卜M”0,0，逅,
.AB二1,-3,-16,
二0,.AM_AB1；
B
VII吋L
z
C
（3）依题意得G0,0,0,A0「3,0,
Bg。
）,g恵）,甲0疋）,C（0,M）,M|。
，0，寧
设面AB1C1
nGB1=0由—1
InC1A=0
的一个法向量为n二x,y,z,
，得
X=0
i3y、6z=0
，令z=1，得n二0^.2,1,
同理可得面AA1B1的一个法向量为
故二面角的平面角日的余弦值为cos日=cosm,n
19.解：
（1）设甲、乙闯关成功分别为
A、Bo
则p（A）=C；c24
C；
205
3
2、
1
3
c2
7
27
所以，甲乙至少有
1人闯关成功的概率为
1
-PAPB=1一
527
128
135
（2）由题意,
=1,2
P=1=乩3—,P=2电
5
c；+c；
C22
c3-c4c；
C63
c；
匕
1
2
1
4
P
—
一
5
5
14
E=12
55
20.解:
（1）
5
21.解：
（1）当a--4时,
f（X）二2x
2
~~2
X
3
42（x-2x-1）
厂
XX
解得:
15
x-
2
所以：
函数
f（x）的单调增区间为
15
2
令f（x）_0，即：
x3-2x-1_0,（x1）（x2-x-1）_0
2a
（2）f（x）=2x2，所以:
xx
f（xj-f吃）|=
2a
（2x1-p+—）
2a
_（2X2_飞+—）
—
为—x2
c^2（X1+x2）a
222
x1x1
x2x2
X-!
X2X-!
X2
F面证明~x1,x^（0/:
:
）,x<-=x2，有22（x122x2）-a1恒成立,
x1x2x1x2
即证：
aX1X2（12）成立,
NX2
X1X22（X1X2）X1X2—4—,
X2辛X2
只需证明:
4
x-!
x2+a即可,
\X1X2
2
对此：
设t-%x2,tO,u（t）=t
而u（t）“2舒2彳「曲片0—
所以：
a：
：
：
XiX2•2（XlX2）.故命题得证.
NX?
22.
（1）x2y2=4圆
（2）7
23、
（1）
9
2
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