六年级数学暑假专题1开放性问题山东教育版.docx

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六年级数学暑假专题1开放性问题山东教育版

六年级数学暑假专题1—开放性问题山东教育版

【本讲教育信息】

一.教学内容：

暑假专题1——开放性问题

二.学习重难点：

开放性问题本节课的重点也是难点

三.知识要点讲解：

【相交线与平行线】

探索题是培养发散思维能力的一种题型，它具有开放性，所要得出的答案一般不具有惟一性.解决探索型问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握.现就有关相交线、平行线有关的探索型试题例析如下.

（一）探索条件

例1、如图，请给出一个使OE⊥OC成立的条件：

_________.

分析：

本题是一道条件开放性试题，使OE⊥OC的条件较多，根据垂直的意义，可添∠2+∠3=90°，根据互为余角之间的关系，可以添加OD⊥AB，∠1=∠3，或OD⊥AB，∠2=∠4，也可以添加∠1+∠4=90°等.

例2、如图，直线a、b与直线c相交，形成∠1、∠2、…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：

______，使a//b.

分析：

本题考查平行线的三种识别方法.

（1）从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8中的任意一个条件；

（2）从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3=∠6，∠4=∠5中的任意一个；

（3）从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3+∠5=180°，∠4+∠6=180°中的一个条件.

（4）从其他方面考虑，也可填∠1=∠8，∠2=∠7，∠1+∠7=180°，∠2+∠8=180°，∠4+∠7=180，∠3+∠8=180°，∠2+∠5=180°，∠1+∠6=180°中的任意一个条件.

例3、如图，AB与CD相交于点O，并且∠C=∠1，试问∠2与∠D满足什么关系时，AC//BD？

分析：

本题是一道条件探索题.要使AC//BD，可根据两直线平行的条件，需要满足∠C=∠D，由于∠1=∠C，∠1=∠2.所以只需∠2=∠D.

解：

当∠2=∠D时，AC//BD.

因为∠C=∠1，∠1=∠2，

又∠2=∠D，所以∠C=∠D

根据内错角相等，两直线平行，得

AC//BD.

（二）探索结论

例3、如图，AB与CD相交于点F，EF⊥CD，则∠AFE与∠DFB之间的关系是________.

分析：

由所给的条件EF⊥CD，得∠EFC=90°，也就是∠AFC+∠AFE=90°，又根据对顶角相等，得∠AFC=∠DFB，

所以∠AFE+∠DFB=90°，

即∠AFE与∠DFB互为余角.

（三）探索作图方法

例5、如图，过已知直线AB外一点C，作直线CD，使CD//AB，你能想到几种画法？

分析：

本题考查平行线的特征及判断.重点考查大家的动手操作能力.

本题的画法较多，如：

作法1.根据“同位角相等，两直线平行”

（1）过点C画直线EF，交AB于G；

（2）作∠ECD=∠EGA，

则直线DC即为所求的直线.如图.

作法2.根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”.

（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G，

（2）过点C作直线CD⊥CG.

则直线CD就是所求作的直线.如图.

【全等三角形】

三角形全等是初中数学的最基础也是最重要的知识。

而有关全等三角形的探索题目更是命题者青睐的题型。

为帮助同学们熟悉该题型，迎接新挑战，特采撷2006年部分中考题并加以浅析，供大家参考。

（一）条件探索型

例1、

（1）如图，点B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：

（写一个即可）。

（2）如图，AB、CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是（只需写一个）。

（3）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：

①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E.其中能使

的条件有（　　）。

A.

个B.

个C.2个D.1个

解析：

两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS，结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键。

（1）已知∠CAB=∠DAB，隐含有AB=AB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AC=AD，∠ABC=∠ABD和∠ACB=∠ADB中的任一个；

（2）隐含有∠AOB=∠COD，利用已知AB=CD，故AO=OC或OB=OD；（3）已知∠1=∠2，AC=AD，从而∠DAE=∠CAB，即有一边和一角，故选择SAS，ASA，AAS，可以填写AB=AE，∠ACB=∠ADE和∠B=∠E。

（二）结论探索型

例2、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为，

你得到的一对全等三角形是

≌

。

解析：

该题是结论探索题，题设已有AC=AD，隐含AB=AB，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加BC=BD，∠CAB=∠DAB，得

CAB≌

DAB；隐含AE=AE，故根据SSS和SAS寻找条件，即添加CE=DE，∠CAE=∠DAE，得

CAE≌

DAE。

证明略。

（三）猜想证明型

例3、如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：

①AB=AC②AD=AE③∠1=∠2④BD=CE。

请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）。

解析：

此题为探索、猜想、判断并证明的试题，我们要认真观察、作出判断再加以说明。

考题提供了四个论断，让我们创编一道“知其三可推一”的数学问题。

我们的思路就是按着两个三角形全等的条件是SAS，ASA，AAS，SSS逐一验证。

通过验证发现①②④满足“SSS”，得

ABD≌

ACE，有③∠1=∠2；①②③满足“SAS”，得

ABD≌

ACE，有④BD=CE。

②③④和①③④满足“SSA”得不出三角形全等。

故符合要求的问题有两个。

现列举一个：

已知：

如上图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，则BD=CE。

证明：

在△ABD和△ACE中，由∠1=∠2，得∠BAD=∠CAE。

又AB=AC，AD=AE，所以

ABD≌

ACE，所以BD=CE。

【课堂小结】

同学们，探索型试题是中考试题的重点考查内容，主要有三种类型，结论探究型，条件探究型，以及猜想证明型等，探究型问题主要从条件入手探求结论或者从结论入手探求条件，主要考查了有关的性质及定理的综合应用。

【模拟试题】（答题时间：

90分钟）

一、选择题（每题3分，共30分）。

1.现有两根木棒，它们的长度分别为20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）

A.10cm的木棒 B.20cm的木棒 C.50cm的木棒 D.60cm的木棒

2.在下图中，正确画出AC边上高的是（）.

（A）（B）（C）（D）

3.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE全等的理由是（）.

A.SASB.AASC.SSSD.HL

4.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三个角（）

A.一定有一个内角为45B.一定有一个内角为60

C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形

5.在下列条件中：

①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=

∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，那么这个三角形是（）.

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

7.如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（　　）

A.甲和乙　　　B.乙和丙　　　C.只有乙　　　D.只有丙

8.下列说法正确的是（）

①三角形的三条角平分线必交于一点，且交点必定在三角形的内部。

②全等三角形的边、角对应相等。

③两个内角分别对应相等的两个三角形全等。

④有两边及一角对应相等的两个三角形全等。

A.①②B.②③C.②④D.③④

9.如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有（）对.

A.3 B.4 C.5 D.6

10.如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围（）

A.3＜AD＜4B.1＜AD＜7C.AD＞3D.

＜AD＜

二、填空题（每题2分，共20分）

11.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是.

12.一个等腰三角形的两边长分别是4cm和6cm，则它的周长是_____cm.

13.如果一个三角形的两个内角是20°、30°，那么这个三角形是三角形.

14.直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于_____。

15.如图，△ABD≌△ABC，∠C＝100°，∠ABD＝30°，那么∠DAB＝.

16.已知ΔABC≌ΔA¹B¹C¹，若ΔABC的周长为23，AB=8，BC=6，则AC=，

。

17.如图，在ΔABC与ΔDEF中，如果AB=DE，BE=CF，只要加上∠=∠

或∥，就可证明ΔABC≌ΔDEF

18.△ABC中，若∠A=80°，I为三条角平分线交点，则∠BIC=.

19.若三角形的三边长分别为x－1，x，x+1，则x的取值范围是.

20.我们来探究“雪花曲线”的有关问题：

如图

（1）是边长为1的正三角形，将此正三角形的每条边三等分，而以居中的那一条线段为底边再作正三角形，然后以其两腰代替底边，得到第二个图形如下图

（2）；再将图

（2）的每条边三等分，并重复上述的作法，得到第三个图形如下图（3），如此继续下去，得到的第五个图形的周长应等于（）

（1）

（2）（3）

三、操作与解释（21题8分；22题4分23，24每题6分）

21.没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？

下面是小彬与小红的做法，他们的画法正确吗？

请说明理由.

（1）小彬的做法

如图，角平分线刻度尺画法：

①利用刻度尺在∠AOB的两边上，分别取OD＝OC.

②连结CD，利用刻度尺画出CD的中点E.

③画射线OE.

所以射线OE为∠AOB的角平分线.

（2）小红的做法

如图，角平分线三角板画法：

①利用三角板在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON.

②分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P.

③画射线OP.

所以射线OP为∠AOB的角平分线.

22.初一

（1）班的篮球拉拉队同学，为了在明天的比赛中给同学加油助威，提前每人制作了一面同一规格的三角形彩旗.小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗.

（1）请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形；

（2）解释你作图的理由。

23.如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C.求证：

AE=CF.

说明：

证明过程中要写出每步的证明依据.

24.如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？

并任选其中一对给予证明.

四、观察与比较（25，26每题6分27，28每题8分）

25.如图AB、CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB。

那么OC与OD相等吗？

说明你的理由。

26.如图，在一小水库的两侧有A、B两点，请设计一种方案能用皮尺测量出A、B两点的距离（只说明设计方案，不要求数据计算、要求画出草图，并说明理由。

）

27.如图AB=12米，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4米，点P从点B向点A运动，每分钟走1米；点Q从点B向点D运动，每分钟走2米；P，Q两点同时出发，运动几分钟后，△CAP≌△PBQ，并说理由。

28.已知如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点P在AB上，可以得出PC＝PD吗？

为什么？

五、探究与思考（29题10分；30题8分）

29、

（1）已知：

如图，AE＝CF，∠DAF＝∠BCE，AD＝CB。

问：

△ADF与△CBE全等吗？

请说明理由。

（2）如果将△BEC沿CA边方向平行移动，可得下列３幅图，如上面的条件不变，结论仍成立吗？

请说明理由。

30.

（1）如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C.△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；

（2）如图，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小.

【试题答案】

1.B2.C3.D4.A5.D6.C7.B8.A9.B10.D

11.三角形的稳定性12.14；1613.钝角

14.135°15.50°16.9；617.∠B，∠DEFAB，DE

18.130°19.

；20.

21.

（1）小彬的做法正确。

∵在△COE和△DOE中

∴△COE≌△DOE，∴∠COE=∠DOE，∴OE为∠AOB的平分线.

（2）小红的做法正确。

∵在Rt△POM和Rt△PON中

∴Rt△POM≌Rt△PON，∴∠POM=∠PON，∴OP为∠AOB的平分线.

22.

理由略

23.证明：

∵AB∥CD，∴∠B=∠D（两条直线平行，内错角相等）.又∵AB=CD，∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF（ASA）.∴AE=CF（全等三角形对应边相等）.

24.解：

此图中有三对全等三角形.分别是：

△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC.　证明：

∵AB∥DE，∴∠A=∠D.又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC.

25.OC与OD相等；可证△AOC≌△BOD根据角边角.

26.解：

在池塘右边的空地上找一个能直接到达点A和点B的点C，连结AC并延长至D，使得AC=CD，连接BC并延长至E，使得BC=CE，连接DE，则DE的长度就是A、B之间的距离.理由：

在△ABC和△DEC中∵AC=DC，∠ACB＝∠ECD,BC=EC∴△ABC≌△DEC∴DE=AB

27.当P，Q运动4分钟后，BP=4米，BQ=8米，则AP=12－4=8（米）=BQ，又AC=BP=4米，∠A＝∠B=90°，所以△CAP≌△PBQ28.解：

PC＝PD.理由：

在△ABD和△ABC中

∴△ABD≌△ABC（ASA）

AD=AC，在△APD和△APC中，

A∴PC＝PD.

29.理由：

（1）△ADF与△CBE全等；∵AE＝CF∴AE―EF＝CF―EF即AF=CE又∵∠DAF＝∠BCE，AD＝CB　∴△ADF≌△CBE

（2）结论成立，理由类同30.

（1）150，90；

（2）不变化。

∠ABX+∠ACX=∠ABC－∠XBC+∠ACB－∠XCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠XBC+∠XCB）=150°－90°=60°.