数值逼近实验报告1共17页.docx
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数值逼近实验报告1共17页
实验报告
实验（shíyàn）项目名称插值法
实 验 室 数学（shùxué）实验室
所属（suǒshǔ）课程名称数值（shùzí）逼近
实验类型算法设计
实验日期2013年9月27日
班级
学号
姓名
成绩
实验概述：
【实验目的及要求】
本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插值方法：
牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的优劣。
本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并在MATLAB软件中去实现。
【实验原理】
《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：
牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的相应算法和相关性质。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB2012a
硬件：
电脑型号：
联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：
Windows8专业版
处理器：
Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz
实验内容：
【实验方案设计】
第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用MATLAB实现；第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
实验的主要步骤是：
首先分析问题，根据分析设计MATLAB程序，利用程序算出问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。
实验一：
已知函数在下列各点的值为
xi
0.2
0.4
0.6
.0.8
1.0
f（xi）
0.98
0.92
0.81
0.64
0.38
试用4次牛顿插值多项式P4（x）及三次样条函数S（x）（自然边界条件）对数据进行插值。
用图给出{（xi，yi），xi=0.2+0.08i，i=0，1,11,10}，P4（x）及S（x）。
（1）首先我们先求牛顿插值多项式，此处要用4次牛顿插值多项式处理数据。
已知n次牛顿插值多项式如下：
Pn=f（x0）+f[x0,x1]（x-x0）+f[x0,x1,x2]（x-x0）（x-x1）+···+f[x0,x1，···xn]（x-x0）···（x-xn-1）
我们要知道牛顿插值多项式的系数，即均差表中得部分均差。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，计算牛顿插值中多项式系数的程序如下：
functionvarargout=newtonliu（varargin）
clear,clc
x=[0.20.40.60.81.0];
fx=[0.980.920.810.640.38];
newtonchzh（x,fx）;
functionnewtonchzh（x,fx）
%由此函数可得差分表
n=length（x）;
fprintf（'*****************差分表*****************************\n'）;
FF=ones（n,n）;
FF（:
1）=fx';
fori=2:
n
forj=i:
n
FF（j,i）=（FF（j,i-1）-FF（j-1,i-1））/（x（j）-x（j-i+1））;
end
end
fori=1:
n
fprintf（'%4.2f',x（i））;
forj=1:
i
fprintf（'%10.5f',FF（i,j））;
end
fprintf（'\n'）;
end
由MATLAB计算得：
xi
f（xi）
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0.20
0.980
0.40
0.920
-0.30000
0.60
0.810
-0.55000
-0.62500
0.80
0.640
-0.85000
-0.75000
-0.20833
1.00
0.380
-1.30000
-1.12500
-0.62500
-0.52083
所以有四次插值牛顿多项式为：
P4（x）=0.98-0.3（x-0.2）-0.62500（x-0.2）（x-0.4）-0.20833（x-0.2）（x-0.4）（x-0.6）-0.52083（x-0.2）（x-0.4）（x-0.6）（x-0.8）
（2）接下来我们求三次样条插值函数。
用三次样条插值函数由上题分析知,要求各点的M值：
三次样条插值函数计算的程序如下：
functiontgsanci（n,s,t）%n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
x=[0.20.40.60.81.0];
y=[0.980.920.810.640.38];
n=5
forj=1:
1:
n-1
h（j）=x（j+1）-x（j）;
end
forj=2:
1:
n-1
r（j）=h（j）/（h（j）+h（j-1））;
end
forj=1:
1:
n-1
u（j）=1-r（j）;
end
forj=1:
1:
n-1
f（j）=（y（j+1）-y（j））/h（j）;
end
forj=2:
1:
n-1
d（j）=6*（f（j）-f（j-1））/（h（j-1）+h（j））;
end
d
（1）=0
d（n）=0
a=zeros（n,n）;
forj=1:
1:
n
a（j,j）=2;
end
r
（1）=0;
u（n）=0;
forj=1:
1:
n-1
a（j+1,j）=u（j+1）;
a（j,j+1）=r（j）;
end
b=inv（a）
m=b*d'
p=zeros（n-1,4）;%p矩阵为S（x）函数的系数矩阵
forj=1:
1:
n-1
p（j,1）=m（j）/（6*h（j））;
p（j,2）=m（j+1）/（6*h（j））;
p（j,3）=（y（j）-m（j）*（h（j）^2/6））/h（j）;
p（j,4）=（y（j+1）-m（j+1）*（h（j）^2/6））/h（j）;
end
p
得到m=（0-1.6071-1.0714-3.10710）T
即M0=0;M1=-1.6071;M2=-1.0714;M3=-3.1071;M4=0
则根据三次样条函数定义，可得：
S（x）=
接着，在CommandWindow里输入画图的程序代码，
下面是画牛顿插值以及三次样条插值图形的程序：
x=[0.20.40.60.81.0];
y=[0.980.920.810.640.38];
plot（x,y）
holdon
fori=1:
1:
5
y（i）=0.98-0.3*（x（i）-0.2）-0.62500*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）-0.20833*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）*（x（i）-0.6）-0.52083*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）*（x（i）-0.6）*（x（i）-0.8）
end
k=[011011]
x0=0.2+0.08*k
fori=1:
1:
4
y0（i）=0.98-0.3*（x（i）-0.2）-0.62500*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）-0.20833*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）*（x（i）-0.6）-0.52083*（x（i）-0.2）*（x（i）-0.4）*（x（i）-0.6）*（x（i）-0.8）
end
plot（x0,y0,'o',x0,y0）
holdon
y1=spline（x,y,x0）
plot（x0,y1,'o'）
holdon
s=csape（x,y,'variational'）
fnplt（s,'r'）
holdon
gtext（'三次样条自然边界'）
gtext（'原图像'）
gtext（'4次牛顿插值'）
运行上述程序可知：
给出的{（xi，yi），xi=0.2+0.08i，i=0，1,11,10}点，S（x）及P4（x）图形如下所示：
实验二：
在区间[-1,1]上分别取用两组等距节点对龙格函数作多项式插值及三次样条插值，对每个值，分别画出插值函数即的图形。
我们先求多项式插值：
在MATLAB的Editor中建立一个多项式的M-file,输入如下的命令（如牛顿插值公式）：
function[C,D]=newpoly（X,Y）
n=length（X）;
D=zeros（n,n）
D（:
1）=Y'
forj=2:
n
fork=j:
n
D（k,j）=（D（k,j-1）-D（k-1,j-1））/（X（k）-X（k-j+1））;
end
end
C=D（n,n）;
fork=（n-1）:
-1:
1
C=conv（C,poly（X（k）））
m=length（C）;
C（m）=C（m）+D（k,k）;
end
当n=10时，我们在CommandWindow中输入以下的命令：
clear,clf,holdon;
X=-1:
0.2:
1;
Y=1./（1+25*X.^2）;
[C,D]=newpoly（X,Y）;
x=-1:
0.01:
1;
y=polyval（C,x）;
plot（x,y,X,Y,'.'）;
gridon;
xp=-1:
0.2:
1;
z=1./（1+25*xp.^2）;
plot（xp,z,'r'）
得到插值函数和f（x）图形：
当n=20时，我们在CommandWindow中输入以下的命令：
clear,clf,holdon;
X=-1:
0.1:
1;
Y=1./（1+25*X.^2）;
[C,D]=newpoly（X,Y）;
x=-1:
0.01:
1;
y=polyval（C,x）;
plot（x,y,X,Y,'.'）;
gridon;
xp=-1:
0.1:
1;
z=1./（1+25*xp.^2）;
plot（xp,z,'r'）
得到插值函数和f（x）图形：
下面再求三次样条插值函数，在MATLAB的Editor中建立一个多项式的M-file,
输入下列程序代码：
functionS=csfit（X,Y,dx0,dxn）
N=length（X）-1;
H=diff（X）;
D=diff（Y）./H;
A=H（2:
N-1）;
B=2*（H（1:
N-1）+H（2:
N））;
C=H（2:
N）;
U=6*diff（D）;
B
（1）=B
（1）-H
（1）/2;
U
（1）=U
（1）-3*（D
（1））;
B（N-1）=B（N-1）-H（N）/2;
U（N-1）=U（N-1）-3*（-D（N））;
fork=2:
N-1
temp=A（k-1）/B（k-1）;
B（k）=B（k）-temp*C（k-1）;
U（k）=U（k）-temp*U（k-1）;
end
M（N）=U（N-1）/B（N-1）;
fork=N-2:
-1:
1
M（k+1）=（U（k）-C（k）*M（k+2））/B（k）;
end
M
（1）=3*（D
（1）-dx0）/H
（1）-M
（2）/2;
M（N+1）=3*（dxn-D（N））/H（N）-M（N）/2;
fork=0:
N-1
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