二次函数压轴题复习专题1线段面积最值问题含简单答案解题思路与详细解答.docx

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二次函数压轴题复习专题1线段面积最值问题含简单答案解题思路与详细解答

1.二次函数压轴题专题1：

线段、面积最值问题

一种用坐标表示三角形面积的重要方法：

铅锤法

三角形的面积=1/2*垂线上两点纵坐标之差*斜线上两点横坐标之差（*表示相乘）

例1：

如图2，A是抛物线y=﹣x2﹣2x+3与X轴的左交点，D是此抛物线的顶点。

F是此抛物线上A、D之间的一动点，其横坐标为x，如何用x的代数式表示△ADF的面积为S？

例2：

如图3，B、C分别是抛物线y=﹣x2﹣2x+3与X轴的右交点、与Y轴的交点。

F是此抛物线上对称轴左侧的一动点，其横坐标为x，如何用x的代数式表示△FBC的面积为S？

斜线：

过两定点（如左图中的点A和点D；右图中的点B和点C）作斜线

铅垂线：

过抛物线上一动点（如点F）作X轴的垂线，与斜线（或其延长线）相交（左图交于E、右图交于Q）

优先考虑作斜线：

过两已知点作斜线，这样容易求出斜线的解析式

△AFD（或右图中△BFC）的面积=1/2*铅垂线上两点纵坐标之差）*斜线上两点横坐标之差

垂线上的两点：

第1点就是作垂线时的起点（往往是抛物线上的一动点，如左、右图中的点F）

第2点是垂线与斜线（或其延长线）的交点（如左图中的点E，右图中的点Q）

左图：

S△FAD=S△FAE+S△FDE右图：

S△BFC=S△FBQ-S△FCQ

=FE•（左边△的高+右边△的高）=FQ•（△FBQ的高-△FCQ的高）

=FE•（D的横坐标-A的横坐标）=FQ•（B的横坐标-C的横坐标）

1．周长最小，面积最大

例1如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值及点P的坐标。

；

（3）如图

（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？

若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

例1（拓展）．（2015•深圳）如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？

若存在求出点P，若不存在请说明理由；

（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？

若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．

例3已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，顶点为点。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；

如图①，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值；

如图②，当取何值时，以、、三点为顶点的三角形与相似？

例4如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；

（3）在

（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．

例2如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？

请说明理由．

2．周长最大值

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．

（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；

（2）探究：

是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？

若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

3．距离之差最大值

如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．

（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；

（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；

（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：

是否存在一点N，使d的值最大？

若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

（备用图）

补充：

轴对称作图题专练

1、如图1和图2两种情况，分别在如下直线上确定M的位置，使M到A和B的距离之差的绝对值最大

2、如图1，在一条河的同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置（牛喝水模型）；如图2若A与B在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M的位置？

4、距离之和的最小值

例1如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．

（1）【探究】填空：

当m=0时，OP=　　，PH=　　；当m=4时，OP=　　，PH=　　；

（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．

（3）【应用】如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．

例2已知：

直线l：

y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：

PO=PQ．

（3）请你参考

（2）中结论解决下列问题：

（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：

ON⊥OM．

（ii）已知：

如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？

若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．面积取值范围

例如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）b=，点B的横坐标为　　（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　　个．

2016年广东省中考压轴题

二次函数压轴题复习专题1：

线段、面积最值问题答案

1．周长最小，面积最大

例1

（1）解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）①△PBC周长的最小值为3+．

②点P（-1,2）

（3）①S=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；

②S最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）．

例1（拓展）．（2015•深圳）

（1）y=﹣x2﹣2x+3，

（2）存在，P为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；

（3）F（，）．

例2

（1）y=﹣x2+4x+5．

（2）当a=1时，四边形MEFP的面积有最大值为，此时点P坐标为（，）．

（3）a=时，四边形PMEF周长最小．

例3⑴解析式为

⑵，当时，有最大值

⑶当时，以、、三点为顶点的三角形与

例4⑴解析式为y=﹣x2﹣2x+3定点D（﹣1，4）．

（2）求得AD解析式：

y=2x+6，

∴S△APE=1/2•PE•yP=1/2•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），

当x=﹣3/2时，S取最大值9/4

（3）P′（，）．∴点P′不在该抛物线上．

2．周长最大值

（1）∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，直线的解析式是y=x﹣，

（2）存在两点符合题意的P（﹣2，3）和（﹣4，），使四边形PMEC是平行四边形，

（3）l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，﹣8＜x＜2，

当x=﹣3时，l的最大值是15．

3．距离之差最大值

（1）a=﹣，顶点坐标（﹣，）；

（2）M（﹣9，﹣4）；

（3）N（﹣，3），d的最大值为BC=．

4、距离之和的最小值

例1

（1）解：

OP=1，PH=1；OP=5，PH=5．

（2）猜想：

OP=PH．

（3）A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．

例2

（1）抛物线的解析式为：

y=

（2）方法同例1之

（2）

（3）①证略

②F（1，）．

5．面积取值范围

（1）b=+c，B的横坐标为﹣2c；

（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；

（3）①0＜S＜5；

②11个；

2016年广东省中考压轴题答案

25.解：

（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）证明△AOB≌△OPQ，再利用等角加等角转化到90度，即垂直

（3）情况一：

当Q点在BC之间时，

当x=1时，面积最大值为

情况二，当P点在BC之间时，

当x=2时,面积最大值为2

综上所述，当P点与C点重合时，△OPB面积有最大值，且最大值为2.

二次函数压轴题复习专题1：

线段、面积最值问题解题思路

1．周长最小，面积最大

例1

（1）解析式为：

y=﹣x2﹣2x+3；

（2）牛喝水（将军饮马）模式

①∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，

∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点。

∴△PBC的周长最小是：

AC+BC

由勾股定理求得AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．

②求得直线AC的方程为y=x+3，抛物线对称轴为直线x=-1，当x=-1，y=2，∴点P（-1,2）

（3）①先求得顶点D的坐标（﹣1，4），再求直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E在直线AD上，且横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）

∵S△ADF=E、F的纵坐标之差乘以A、D的横坐标之差的1/2

∴S=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；

②S=﹣m2﹣4m﹣3∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）．

例1（拓展）．（2015•深圳）

（1）y=﹣x2﹣2x+3，

（2）存在，

①当P在∠DAB的平