综合国力的数学建模.docx
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综合国力的数学建模
Ξ
综合国力的数学建模
王树禾
（中国科学技术大学）
摘要
本文考虑社会文明与社会丑恶现象的制约机制,成立一个综合国力的非线性数学模型,从数学上讨论相应的二次微分系统的Hopf分叉、中心与细核心的判定、极限环的存在唯一性等问题,并对数学结论予以合理解释,把社会相平面划分成社会进展区域、社会动荡区域和社会崩溃区域,研讨社会走向,肯定纳入社会发展区域的途径.
关键词数学模型,二次微分系统,Hopf分叉,极限环,综合国力.
分类号（中图）O29;（1991MR）92H10.
一、数学建模
一个国家的物质文明与精神文明综合而成的社会文明或曰综合国力,其已有水平及其走向决定该国的强弱兴衰,定量地研究各国的综合国力,能够为本国内政与外交政策的制定,提供重要依据.做为现今重大科研课题,美国、日本、中国和欧洲各主要国家都组织科学家进行研究1.
1981年,乔治敦大学战略与国际研究中心主任、美国中央情报局前副局长Rr克莱因教授给出综合国力公式
Pp=（C+E+M）×（S+W）,（Α）
其中Pp是综合国力,C是大体实体,E是经济实力,M是军事实力,S是战略用意,W是贯彻国家战略的意志.
Ξ本文1995年11月13日收到.1996年8月21日收到修改稿.
1987年,日本综合研究所出版《日本综合国力》一书,其国力方程为
P=（C+E+M）×（G+D）,（Β）
其中G为国内政治能力,D为外交能力.
（Α）（Β）只对已有国力进行气宇,未考虑时刻因素引发的进展与转变,无预报功能.我国著名军事未来学家黄硕风教授,1988年在《美苏争霸战略问题》一文中引入国力转变的微分动力学模型,其国力主方程为Logistic方程
dyt
dt=Θyt1-
yt,（Χ）
M
其中yt是国力函数1,黄还给出国力要素中一系列子方程.
咱们基于社会进展的动力学思想,在本文中成立综合国力的二次微分系统来探讨综合国力的长消规律.
称X（t）为硬国力函数,X（t）是某国物质文明（资源、经济、军事、科技等）水平的一个综
合指标.X（t）越大,物质文明越繁荣.X=X0是正常数,表示X（t）的警戒线.
称y（t）为软国力函数,y（t）是某国精神文明问题（内政外交决策的失误与正确,官员的腐败与廉洁,国民教育的失败与成功,社会治安情形的严峻与良好等）的一个综合指标.
y（t）>0对应社会丑恶现象（决策失误、教育失败、官贪民盗等）,这时软国力对社会进展有
阻滞作用;y（t）<0时,软国力优越（决策英明、国民素质高等）,对社会进展有增进作用.
记x（t）=X（t）-X0,则-X0≤x（t）≤M=const..
在必然的简化层次上,咱们成立了下面的数学模型:
dx=ΑxM-xdtM
-Βy,
（1）
dy=-Χy+∆（m-x）x,
（2）
dt
其中Α,Β,Χ,∆,m,M皆为正的常数,m[T-1]（T是时刻量纲）,∆的量纲是[T-1S-1,m与M的量纲是[S.
（1）
（2）的建模思想如下:
物质文明的进展速度dxdt
与现有文明水准x（t）及进展潜力的份额M-x
M
成正比,于是
有ΑxM-x
M
这一项,Α称为增加系数.
-Βy表示社会丑恶现象对物质文明进展的阻滞,Β称为丑恶系数.
-Χy表示人民与政府对丑恶现象的抵制与治理力度,它与现存丑恶现象的多寡成正比,Χ称为统治系数.
∆（m-x）x表示物质文明不足（x（t）m）,如《史记》管仲列传所云“仓廪实而知礼节,衣食足而知荣辱”,社会丑恶现象随x（t）之增加而减少.
令u（t）=x（t）,v（t）=y（t）,Βt=Σ,则
（1）
（2）变成
MM
du
dΣ=
Α
Βu（1-u）-v,（3）
dv
dΣ=-
又令
Χ
Βv+
∆M
Β
m-uu.（4）
M
a=Α,b=Χ,c=∆M,Λ=m,
仍把Σ写成t,得
ΒΒΒM
du=au（1-u）-v,（5）
dt
dv=-bv+c（Λ-u）u.（6）
dt
（1）
（2）与（5）（6）的相图拓扑同胚.
二、数学分析
咱们来讨论方程组（5）（6）轨线的性质,以下总假设（Α+Χ）
4Β∆
定理1若a≤b,则方程组（5）（6）无闭轨.
证明取Dulac函数B（u,v）=eku+lv,则
D=5{au（1-u）-v]eku+lv}+5{-bv+c（Λ-u）u]eku+lv}
5u5v
=eku+lv{（a-b）+ka+clΛ-2a]u-（k+bl）v-（ka+cl）u2},
令
ka+clΛ-2a=k+bl=0,
2
得（注意由（Α+Χ）
4Β∆
ab）
k=-2ab,l=2a,
cΛ-ab
于是
cΛ-ab
D=eku+lv[a-b-（ka+cl）u2,
而
ak+cl=2a（c-ab）>0,
cΛ-ab
所以当a≤b时,D≤0,等号仅在a=b且u=0时发生,由Dulac准则,方程组（5）（6）无闭轨.定理1证毕.
定理2方程组（5）（6）有两个有限奇点（0,0）和（u0,v0）=ab-cΛau0（1-u0）;
ab-c
（u0,v0）在第一象限,是鞍点;（0,0）当a证明令
au（1-u）-v=0,
-bv+c（Λ-u）u=0,
得有限奇点（0,0）与（u0,v0）=ab-cΛau0（1-u0）.由于m>
ab-c
（Α+Χ）2
4Β∆
于是ab-cΛ
<0,ab-c<0,ab-cΛ>0,又Λ<1,故u0<1,au0（1-u0）>0,即（u0,v0）在第一象限
ab-c
内.
令Ν=u-u0,Γ=v-v0,则（5）（6）变成
dΝ=a（1-2u0）Ν-Γ-aΝ2,（7）
dt
dΓ=c（Λ-2u0）Ν-bΓ-cΝ2.（8）
dt
（7）（8）的线性近似系统的特征方程为
Κ2+b-a（1-2u0）]Κ+c（Λ-2u0）-ab（1-2u0）=0,（9）
其中常数项
c（Λ-2u0）-ab（1-2u0）=ab-cΛ<0,
故特征根是异号实数,（u0,v0）是鞍点.
对于（0,0）点,特征方程为Κ2+（b-a）Κ-ab+cΛ=0,特征根为
Κ1,2=1[a-b±（a-b）2+4（ab-cΛ）,
2
由于m>（Α+Χ）
故（a-b）2+4（ab-cΛ）<0,即Κ与Κ是实部为1（a-b）<0的共
4Β∆
122
轭复数,所以当a定理3对于方程组（5）（6）,当a=b时,（0,0）是稳固的一阶细焦点;当a>b时（0,0）
是不稳固粗焦点;当0>a（cΛ-ab）时无极限环.
c-ab
证明用x记u,y记v,（5）（6）变成
dx=ax（1-x）-y,
dt
令x=x,z=bx-y,则
再令z=（ab-cΛ）Z,则
dy=-by+c（Λ-x）x.
dt
dx=（a-b）x-ax2+z,
dt
dz=（ab-cΛ）x+（c-ab）x2.
dt
dZ=x1+c-abx,（c-ab>0,ab-cΛ<0）
dtab-cΛ
dx=（a-b）x-ax2+（ab-cΛ）Z.
dt
x1+c-abx
dZcΛ-ab=
ab-cΛ
（10）
dxa-b
cΛ-ab
x-a
cΛ-ab
x2-cΛ-abZ
令Γ=cΛ-abZ,则
dΓ=x1+c-abx,
dtab-cΛ
令Γ←-Γ,x←-x,则
dx=a-b
dtcΛ-ab
dx=a-b
dtcΛ-ab
x-a
cΛ-ab
x+a
cΛ-ab
x2-Γ.
x2-Γ,（11）
dΓ=x1+c-abx.（12）
dt
（1）
（2）与（11）（12）的相图拓扑同胚.
记
cΛ-ab
（11）（12）改写成
∃=a-b
cΛ-ab
L=a
cΛ-ab
A=c-ab.
cΛ-ab
dx=∃x-Γ+Lx2,（13）
dt
dΓ=x（1+Ax）.（14）
dt
（13）（14）的线性近似系统的特征方程为Κ2-∃Κ+1=0,由于m>（Α+Χ）
4∆Β
b时,0<∃<2,特征根是实部∃>0的共轭复数,故（0,0）是不稳固粗焦点.
当a=b时,∃=0,（13）（14）是
2
所以当a>
dx=-y+a20x2+a11xy+a02y2,
dt
dy=x+b20x2+b11xy+b02y2
dt
的特例,在（13）（14）中,a20=L,b20=A,a02=b02=a11=b11=0,求得第一核心量15
W1=（a20+a02）（a11+2b02）-（b20+b02）（b11+2a20）=-2AL<0,
由2定理12.2可得（0,0）是稳固的一阶细焦点.
由Hopf分叉理论,0又（11）（12）是叶彦谦意义下第¦类二次微分系统
dx=-y+∃x+Lx2+mxy+ny2,
dt
dy=x（1+Ax）（A≠0）
dt
m=n=0的情形.由13定理2.2知,当∃≤0或∃≥LA
时,（13）（14）进而（5）（6）无极
限环,而当∃∈0,LA
时,（5）（6）最多有一个极限环,且若存在,必为原点外围的单重稳定
环.所以当0L,即a-b>a（cΛ-ab）时,（5）（6）无极限环.定理3证毕.
Ac-ab
三、社会意义
在（Α+Χ）
4Β∆
图1图2
在图1—3中曲边梯形
DO′CGHD是社会进展区域,“麻点区”是社会动荡区域,其余为社会崩溃区域.
1.a≤b时,统治系数大于增长系数,原点在社会动荡区域;在社
会动荡区域,随着时刻的推移,社会状态螺旋式动荡,丑恶现象趋于无,但物质文明水平亦趋于贫困线（x
=0）,见图1.
2.a>b,0区域内,物质文明的多寡,精神文明
的优劣,螺旋式振荡着趋于一个稳
定的极限环,顽固地进行拟周期或图3
周期动荡,见图2.
3.a-b>a（cΛ-ab）,增加系数明显高于统治系数,则社会相平面只划分成社会进展
c-ab
区域和社会崩溃区域,而原点处于社会崩溃区域.在原点附近,社会丑恶现象并非严重,甚
至社会风气良好（y（t）<0）,但社会仍然趋于崩溃!
在原点附近,即社会的物质文明与精神文明都不发达,这种国家,不可只追求进展经济与军事而对社会的治理相对割弱.即增加系
数明显高于统治系数,对这种国家的前途十分有害,见图3.
4.若是社会状态处于社会进展区域,则在有限时刻内,物质文明趋于上界M,社会丑恶现象收敛,进展成道德高贵的理想社会（y（t）<0）.
5.若是社会状态处于社会崩溃区域,既使当初社会物质文明繁荣乃至在上界M附近,
随着时刻的推移,在有限时刻内,物质文明趋于崩溃线x=-X0（X=0）.
6.若社会状态不在社会进展区域,则应进行社会变革,加大改革与治理的力度,能够考虑以下三种对策:
1）暂时停滞经济、军事等事业的进展,尽全力把社会丑恶现象打下去,即暂时使x（t）保
持不变,而使y（t）减小,使取得某时刻t1,（x（t1）,y（t1））落在社会进展区域内,如图1“1号箭头”所示.
2）若社会丑恶现象的严峻程度尚在DI线以下,则只需维持其再也不加重,而全力发展经济等物质文明,使社会状态纳入社会进展区域,见图1“2号箭头”.
3）对策1）与2）的联合实施,见图1的“3号箭头”.
四、参数估计
不同的国家对应不同的参数组{Α,Β,Χ,∆,m,M},为了具体地定量研究某国的综合国力
（x（t）,y（t））,必需第一把该国的参数组肯定出来.
设x1（t）=经济实力,x2（t）=军事实力,,则
n
x（t）=∑Αixi（t）,
i=1
其中权Αi可用层次分析方式由比分矩阵的主特征向量给出11.
对历史上xi（t）的实况统计,可由问卷调查或专家评议等办法用百分制评分.
k
对y（t）也可类似地处置,y（t）=∑Βiyi（t）.
i=1
把各个历史值（x（t）,y（t））代入
（1）
（2）,可求得参数组{Α,Β,Χ,∆,m,M}的估量值.
参数组的肯定进程比较复杂,再也不详述.
衷心感激叶其孝教授、黄硕风教授及编辑和审稿同志,他们给予本文写作很多鼓励、指导和修改意见.
（本文作者通信地址:
合肥市中国科学技术大学数学系邮码230026）
参考文献
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15李承治,关于平面二次系统的两个问题,中国科学,1981,9272938.
MATHEMATICALMODELINGFORTHESYNTHETICALNATIONALPOWER
WangShuhe
（Dept.ofMath.,USTC,Hefei230026）
Abstract
Inthispaper,anonlinearmathematicalmodelfordescribingthesyntheticalnationalpowerisestablished.TheHopfbifurcation,decisionofcenterandfocus,existenceandu2niquenessoflimitcycleofthismodelarethoroughlystudied.
Bydividingthesocialphaseplaneintosocialdevelopregion,socialturbulenceregion,andsocialcollapseregion,socialexplanationsaregiven.
KeyWordsMathematicalModel,PolynomialDifferentialSystemofDegree2,Hopf
Bifurcation,LimitCycle,SyntheticalNationalPower.
SubjectClassification（CL）O29;（1991MR）92H10.
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