四年级等差数列求和.docx

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四年级等差数列求和

第3讲：

等差数列求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

 1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？

老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝„＝49＋52＝50＋51。

  1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。

  小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：

等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 

末项＝首项＋公差×（项数－1） 

项数＝（末项－首项）÷公差＋1 

例1：

计算下列数列的和

（1）1，2，3，4，5，„，100； 

（2）8，15，22，29，36，„，71。

其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

 和=（首项+末项）×项数÷2

随堂小练：

计算等差数列1，3，5，7，9，„，99的和

例2：

计算下面数列的和

1＋2＋3＋„＋1999

分析：

这串加数1，2，3，„，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得   

解：

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000

注意：

利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例3：

 计算下面数列的和

11＋12＋13＋„＋31

分析：

这串加数11，12，13，„，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

解：

原式=（11+31）×21÷2=441

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

根据首项、末项、公差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。

例4：

计算下面数列的和

3＋7＋11＋„＋99

分析：

3，7，11，„，99是公差为4的等差数列， 项数=（99－3）÷4＋1＝25

解：

原式=（3＋99）×25÷2＝1275

例5 ：

求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

解：

末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

随堂小练：

（1）求等差数列：

1、3、5、7、9……它的第21项是多少?

（2）求等差数列：

2、6、10、14、18……它的第60项是多少?

例6：

已知数列2、5、8、11、14……35，这个数列共有多少项？

分析：

第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1）个公差。

可根据，项数=（末项－首项）÷公差 + 1 进行计算，（35-2）÷3+1=12。

所以，这个数列共有12项。

由此可知：

项数=（末项－首项）÷公差 + 1 

随堂小练：

（1）有一个等差数列：

1、3、5、7、9……99，这个等差数列共有多少项？

（2）有一个等差数列：

2、5、8、11……101，这个等差数列共有多少项？

例7：

在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：

最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目为1、3、5、7、9等，由此可知，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。

解：

（1）最大三角形面积为  （1＋3＋5＋„＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（平方厘米）  

2）火柴棍的数目为   3＋6＋9+„+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：

最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。

例8：

盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里„„第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

分析：

一只球变成3只球，实际上多了2只球。

第一次多了2只球，第二次多了2×2只球„„第十次多了2×10只球。

因此拿了十次后，多了  2×1＋2×2＋„＋2×10 ＝2×（1＋2＋„＋10） ＝2×55＝110（只）。

 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

解：

综合列式为：

（3-1）×（1＋2＋„＋10）＋3 

＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3

＝113（只）

课后练习：

1、求下列等差数列的和。

（1）6＋7＋8＋9＋……＋74＋75 

（2）2＋6＋10＋14＋……＋122＋126 

（3）1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008 

2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？

3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。

它的末项是多少？

4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？

5、有一个数列：

6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？

6、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？

第50项是多少？

7、求1——99个连续自然数的所有数字的和。

8已知等差数列5,8,11…，求出它的第15项和第20项。

9、按照1、4、7、10、13…，排列的一列数中，第51个数是多少？

10、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？