数推心得.docx

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数推心得

看到太多的人被辅导资料误导，实在于心不忍。

故发此贴。

请不要无意义回复（包括称赞）。

确实有问题的，请在下面写出来，大家一起学习。

如能进行批评，那欢迎之至。

（由于内容是直接从WORD文档中复制过来的。

平方和分数的格式在论坛里好像不支持，所以看起来可能有些费劲。

请下载WORD版）

跟我学数字推理

一、    一些有趣的现象

你一定很想学习怎样把数字推理题做好，对不对？

不过别着急，我们慢慢来。

下面，请先回答第一题：

例1：

1，2，3，4，5，6，（）

括号里应该填个什么数字呢？

显然是7，对吧。

为什么呢？

地球人都知道，自然数的数列么。

好吧，再请你回答第二题：

例2：

1，4，9，16，25，36，（）

你会说：

“卧槽！

当我是白痴么？

这个答案显然是49，平方数列还用你来教”？

不，你当然不是白痴。

但是，假设你的学历为小学2年级，只会加法和减法，对于乘除一无所知，就更别提什么平方、立方之类的幂运算了，这道题你该怎么做呢？

嗯，没别的办法，你只能看看这个平方数列是不是等差数列：

1      4      9      16      25      36    （？

）

    3      5      7      9      11    X

        2      2      2      2      Y

显然Y=2，故X=13。

所以括号里应该是36+13=49。

这两种方法竟然都能得到同样的结果？

其实很好证明，设公差为1的某个等差数列第一项为A，则第二项为A+1，第三项为A+2…….，然后按平方公式展开，再进行二次等差推理，就知道，平方数列同样是等差数列。

只不过，平方数列是二次等差数列，其二级公差是2。

奇偶分别。

    那么，如果是公差为2的某个等差数列的平方呢？

比如：

例3：

1，9，25，49，81，（？

）

这道题你自己做一下，我可以告诉你结果，那就是公差为2的等差数列的平方数列，也是二级等差数列，其二级公差是8。

如果公差是3的某个等差数列的平方呢？

自己列一个出来看看吧。

我还是告诉你，它的二级公差是18。

我多嘴了，其实你设某等差数列首项为A，公差为N，就明白了，这个数列的平方数列是二级等差数列，其二级公差为：

2×N^2。

例4：

4，12，28，52，84，（？

）

请不要急着往下看，先把这道题做出来再说。

你做出来了吗？

你是怎么做出来的？

不要告诉我是二级等差哦？

难道你真的只有小学2年级的水平？

只会加减法？

这道题就有些让你郁闷了吧？

当然，你要能一眼就看出来这其实就是我把‘例3’的数列每一项都加了个3，那我向你道歉，因为你确实有很高的数字天赋，不用听我啰嗦。

例5：

1，19，33，67，97，147，193，（？

）

给大家讲个笑话。

上面这道题是我自己出的，过了一个星期之后我再看这道题的时候，花了2分钟没做出来，最后不得已翻看以前的草稿才明白是怎么回事。

现在，你来做。

你做出来了吗？

做不出来没关系，我告诉你答案，答案是259。

为什么呢？

方法有三种：

1、    按数列各项序号的奇偶性分成两组，即1，33，97，193和19，67，147，（？

）可以看出，前面一个数列二级等差，后一个数列二级等差，其公差各自不同。

2、    两项相减得到一个新的数列：

18，34，50，（X）。

可知X=66。

所以答案是193加上66就等于259。

3、    直接做差来看看规律如何？

其二级公差数列为：

-4，20，-4，20，-4，20。

你会说，哇，好多规律哦！

千万别这么说，我会脸红的。

其实呢，你写出一个偶数数列来：

2，4，6，8，10，12，14，16…..然后各项平方，再分别加减3，最后得到一个数列。

看看，和我的这个数列是不是一样的？

也就是说，这道题最简单的方法应该是：

2^2-3，4^2+3，6^2-3，8^2+3…….前面所谓的三种方法，都是我糊弄你们的！

这个笑话应该还比较好笑吧？

给大家说这个笑话是想让大家明白一个事实：

那些出题的专家们是多么仁慈啊！

真的，数字推理这种题目，想为难考生实在是太简单了。

不要说那些专家们，我都行。

看，我随便弄了一道题，就连自己做起来都费劲。

你如果不相信，那就按照我这种思路，先弄个平方或者立方数列，然后随便加上或者减去一个等差或者等比数列，再把这个数列放几天，等忘记得差不多的时候去自己做一下。

为什么一个平方数列加减3的结果就弄出这么多规律来了呢？

我只能说数字太奇妙，数字推理太深奥，实在不是我等凡夫俗子所能搞明白的。

当然，这个也不是公务员考试范围，也许数学博士后的考题会这样出吧？

统计了一下字数，我已经写了1500字了。

这不禁让我感叹一下我的啰嗦程度——实在不是一般人所能企及的啊！

其实，这1500字的目的就一个，那就是：

在考试中出现的平方数列及其变形，哪怕你看不出规律来，用等差的方法也基本能解决。

但是，请记住，你用等差的方法做出了一道题，不代表你就看出了这道题的规律。

什么是看出这道题的规律了呢？

就是你用最简单的数列能把这道题是怎么弄出来的推理出来，才算是你看出了这道题的规律。

国考的数字推理，专家们真的没转太多的弯，都是很简单的数列变换一两次之后得出的题目。

例6：

    2，12，30，56，90，（？

）

    我再强调一次，不要往下看，先把我的例题做出来再说。

这又不是考试，用得着这么急？

    你做出来了？

答案是132吧？

恭喜你，答对了！

    呃，不好意思，我怎么想起王小丫了？

好吧，是我的错。

不过我想小声地问一句：

你是怎么把这道题做出来的？

不是二级等差吧？

    这道题也是我自己编的，怎么编的呢？

1×2，3×4，5×6，7×8，9×10，所以答案是11×12。

例7：

    0，6，20，42，72，（？

）

    如果没记错的话，这应该是一道省考的数字推理真题。

    很简单的，二级等差，公差是8。

你现在看到‘二级等差’这几个字，是不是有点想吐？

那么这道题的规律是啥？

你看出来了么？

    0×1，2×3，4×5，6×7，8×9，答案是10×11。

    前面我说了，自然数列的平方数列是二级等差数列，公差为2对吧？

    那么现在你该明白了，自然数列两两相乘，得到的数列也是二级等差数列。

    我可以接着说，平方数列加上某个数得到一个新的数列，仍然是二级等差数列，公差为2.因为加上的这个数在第一次等差时就已经减掉了。

由此推知，就算你加上一个等差数列，它仍然是二级等差。

同样，如果是自然数列的乘积数列的加减变形，也是二级等差数列，公差为8。

    类似的规律还有很多，你如果有兴趣，自己试试用1，2，3，4，5，6，7来组成一些数列，你会发现，如果你只进行了一次乘法运算（平方实质上就是一次乘法），那么新数列就是二级等差的数列。

    到此，我们已经用二级等差的方法做出了不少的题目。

其实当你做省考、国考的真题的时候，也会有这种感觉——好多题都是二级等差的。

    很遗憾的告诉你，你被各种培训班以及辅导资料害得不浅，以至于形成了绝对错误的思维定势。

各种形式的等差题目告诉你，等差是一种基本规律，要注意。

    问题是：

谁都知道等差是一种基本规律。

你知道，我知道，命题专家更知道。

不就是后项减前项么？

顶多就是多减几次而已。

你认为，命题专家会在国家公务员的考试题中测试小学二年级的知识？

例8：

    -5，-4，3，22，59，120，（？

）

    答案是211。

如果你没做出来，没关系。

如果你做出来了，还是那句话，你是怎么做出来的？

    你可千万别告诉我，等差，三次等差。

    虽然我遇上这种题，估计也会等差、等差、再等差，直到最后得出结论:

这个数列是个公差为6的三级等差数列。

    这种题目的规律确实不是一眼能看出来的。

规律么，既然一眼看不出来，那么两眼三眼也未必能看出来。

那怎么办呢？

老师说了，观察趋势，尝试等差......

    题目是做出来了。

由此看来，老师说的是真有道理，尝试么，这种方法不行，再尝试下一种方法。

反正数字推理就那么些规律，慢慢看，总能看出来的。

    我真的不想对这种方法发表意见。

说它错吧，一点都没错；说它对吧，考试的时候你有这么多时间去思考一道题？

    观察，先观察。

观察什么？

是趋势么？

    那些所谓专家们害人的地方就在这里。

简单的趋势，国考肯定不会考。

复杂的趋势，那需要计算。

计算，那需要时间。

时间，参加过国考的同学们都明白时间代表什么。

    前面说过，平方数列是二次等差数列，公差是2。

    我估计有兴趣的同学已经开始在想，立方数列是什么了。

具体过程我就不写了，太简单。

大家自己试试就知道了。

这里给结论：

立方数列是三次等差数列，公差是6。

    甚至可以再往远了说。

自然数列0，1，2，3，4，5，6....的N次方数列是N次等差数列，公差为N的阶乘。

    回到刚才的例题上来，这道题也是三次等差，公差也是6，这能不能让你想起些什么？

对的，这就是立方数列0，1，8，27，64，125，216中的每一项都减去5得到的题目。

例9：

    6，120，504，1320，2730，4896，（？

）

    如果你有兴趣，还是做一下这道题。

当然，我确信国考不会考这么变态的题目。

说他变态，因为计算量太大，而且凭肉眼是看不出规律来的（如果你的速算功底不深的话）。

其实这道题真的变态么？

    这仍然是一个三次等差数列。

公差是162。

是不是有点吓人？

那这个数列到底是怎么来的呢？

    自然数列1，2，3，4，5，6，7，8.....，每三项相乘，也就是说，1×2×3，4×5×6，7×8×9，10×11×12，13×14×15，16×17×18。

    就这么简单。

    不妨再回过头去看看例6和例7。

甚至从头再看一遍，看到这里。

一个道理：

自然数列的变形数列，如果只经过一次乘法，它是二级等差数列；如果经过两次乘法，它是三级等差数列。

如果经过三次乘法呢？

我们不需要知道了，不管它是不是四级等差数列，可以肯定的是，考试不会考这么恶心人的题（如果真的出现了，你就当我没说好了）。

现在，当你做出一道题的时候，你还敢说，这道题是等差么？

二、    不是等差是什么？

不是等差是什么？

是平方，是立方，是乘积。

更可能的，是它们的变形，很简单的变形。

例10：

0，4，16，40，80，（？

）

A．160      B．128      C．136        D．140

    很稀奇吧？

怎么到了这道题，我给了选项，弄的好像跟考试一样？

前面的题目没有选项，是因为都是我自己随便编的。

那些题目都很简单，用不着答案。

这道题么，是07年国考的真题，我直接复制过来给大家看看。

    会做的人举手。

保守估计80%都会。

不用等差的举手（用拆项的也算用等差，因为你最后还要得出一个等差数列）。

我怀疑一个都没有。

因为我翻了很多答案，上面都是这一句话：

这是一个三级等差数列，公差是4。

那可都是专家哦？

还有专家告诉我们这道题要先除个4，这样做起来简单一些呢。

    这个数列是怎么来的呢？

我们等下再说。

先看例11.

例11：

    0，6，24，60，120，（？

）

    这应该也是一道真题。

不知道哪个省的。

因为我随便一搜，就看到QZZN里还有人问这道题。

事实上，这道题我自己就编出来过，并没有借鉴什么考题。

    你会做吗？

是公差为6的三级等差吗？

    很好，你说不是。

你终于看出来了，这道题的规律是：

N^3–N。

    也就是：

1^3–1，2^3–2，3^3–3，4^3–4，5^3–5…….

    现在我们来看例10。

三级等差数列，公差是4？

我们前面不是说过，立方数列是三级等差数列，但是公差是6么？

是不是很奇怪？

那我们能不能让例10的公差也变成6呢？

当然可以了。

每一项都乘以1.5，公差不就可以是6了？

    好吧，我们开始把例10的每一项都乘以1.5来看看。

    我不在这里乘。

你自己去乘。

乘完了看看。

没什么特殊的对不对？

看起来还是那个模样。

    和例11比较一下吧。

你会有所收获的。

例12：

    2,    12，  36，    80，  （  ）

A．100      B．125      C．150        D．175

    还是07年的真题。

你一眼看不出规律来，怎么办？

等差，差到最后就剩一个6了。

敢不敢肯定呢？

试试嘛。

按照立方数列为三级等差的规律来试，得到结果是选C。

    你蒙对了。

不过很多辅导书告诉我们，这道题的规律其实是这样的：

2×12，3×22，4×32，5×42…..

    哦，原来是这么来的啊！

这是自然数列经过两次乘法（一次乘法和一次平方）得来的。

怪不得呢，咱们之前也说过，两次乘法之后的数列就是三次等差么！

    可是，一次乘法和一次平方得出的数列，为什么三次等差后的公差也是6呢？

公差为6应该是立方数列才对啊？

    如果你有这个疑问，那恭喜你，你的数字推理开始入门了。

    我们把立方数列写出来和题目进行对比：

1，8，27，64，

    不难看出：

1+1=2，8+4=12，27+9=36，64+16=80。

    其实，这就是立方数列加上1，4，9，16得到的题目。

1，4，9，16这四个数字摆在一起，应该足够引起你的重视了吧？

    那么这道题的命题规律究竟是什么样子的呢？

    就是这个样子的：

1^3+1^2，2^3+2^2，3^3+3^2，4^3+4^2…..

    有的同学会说了，辅导书上说的也没错啊？

（N+1）×N^2本来就等于N^3+N^2，这两个规律根本就是一回事，还值得你在这里说这么半天？

全是废话么！

    不，这不全是废话。

我之所以不怕丢人在这里说这些，是想告诉大家一个道理：

命题专家们出这样的考题，就是考你的观察能力，不需要哪怕是比较简单的计算。

我第一次做这道题时用了三次等差。

第二次发现这是个偶数数列，直接排除B和D，然后根据数字发展的趋势直接就选了C。

第三次做这道题时，我决定拆项，用平方数来和数列比较，得出了平方乘积的规律。

最后一次做这道题，我发现用立方数列和题目比较，得出的规律是最自然的。

也就是说，只要你看到第3项是36，和27接近；第四项是80，和64也不远的时候，你就明白了，这就是1，2，3，4，5的简单变化。

例13：

    0，  9，  26，  65，124，  （  ）

A．165      B．193      C．217        D．239

    这道题还是07年的题目。

你看到第5项是124了。

你想到5的立方了么？

再看9，26，65，它们和那些熟悉的立方数都是如此的接近。

你敢直接选C么？

真的，面对这么简单的题，你还需要那么多莫名其妙的规律？

例14：

    0，  2，  10，    30，  （  ）

A．68      B．74      C．60        D．70

依然是07年的题目。

我本来不愿意再把07年的题目拿出来说事儿的。

但是一想，既然已经说了三道，那就干脆说完算了。

你看到第4项是30。

想到27了吗？

27+3？

这不是3^3+3么？

再看看10，符合这个规律不？

这四道题都是立方数列的变式，也就是说，都可以用等差来做。

现在，你分别用等差和立方规律来做这四道题。

自己算算时间差吧。

起码是3分钟时间没了，对不？

现在宣布重要结论：

拿到数列，先观察。

先观察什么呢？

不是所谓的数字变化趋势。

观察数字变化趋势能得到什么呢？

无非就是该数列到底有没有等差或者等比的可能性。

可是我已经说过，国考会考你小学2年级的知识么？

考试时间这么紧张，命题者真的就这么不近人情，逼着你减了又减，减了还减？

显然不是的。

可以这么说，等差等比数列基本不会再出现在国考当中。

大家都会，还考什么？

又不能考太难的，否则失去意义。

所以，考的就是一些变异数列。

其中，平方立方数列是重点。

因此，拿到数列，要先观察数列中第N项的数字与N（或者N–1）本身有没有联系（因为原始数列可能是1，2，3，4，5…也可能是0，1，2，3，4…..）。

如果和N的立方接近，就用立方数列来比较；和平方数列接近，就用平方数列来比较。

没有特别的联系，考虑N和某个数字的乘积来看看。

现在回过头去看看例10。

我已经用例11说明了这道题是怎么设计出来的。

但是，考试的时候指望我们能想到把数列的每一项乘以一个1.5，有些强人所难了。

那怎么办呢？

观察数列本身：

0，4，16，40，80，（）

    第5项是80，和5的平方25以及5的立方125都相差甚远。

第4项40也是这样。

那么可不可以考虑用数字除以项数呢？

各项分别除以1，2，3，4，5得到一个新的数列。

    你发现了什么呢？

那就是这个新的数列是个一级等差数列。

    当然，这种规律确实不普遍。

考试时出现这种类型的题目的可能性不大。

而且，这种题目也确实可以用多级等差来解决，因此区分度也不高。

但是，我希望通过这个思路使大家记住两件事情：

    ①、先观察。

先把所谓的趋势忘掉，先观察数列中的数与其本身的项数之间有无联系。

    ②、别急着等差，尤其是不要多次等差。

当然，如果你实在看不出规律、需要进行试探性计算的时候，首先尝试下多级等差是个好主意。

因为很多题目即使你看不出来，但是只要它确实是平方立方数列的变式，等差能解决大部分问题。

但是，在平时训练的时候，要尽量做到不动笔计算。

    以例15作为这一部分的结束。

例15：

1,9,35,91,189,（  ）

A.301      B.321      C.341      D.361

09年的真题。

这道题是怎么来的？

0^3+1^3，1^3+2^3，2^3+3^3，3^3+4^3，4^3+5^3……..

看看，同样的立方数列变形，这次，等差可就解决不了问题了吧？

    回顾这些平方立方数列的变式，你会发现，原来国考已经把这些形式考的差不多了。

你看，N^3–N考过了，然后考N^3+N^2，再然后考N^3+（N+1）^3。

如果命题专家们还想考这类数列的话，他们会怎么出题目呢？

这个问题谁也不可能准确回答。

然而问出这种问题，正是高效备考的关键所在。

三、    仅仅观察题目就够了吗？

例16：

14，  20，  54，  76，（）

A.104    B.116  C.126    D.144

08年的真题。

这道题的规律绝对不是一眼能看出来的。

如果不给答案的话，两眼三眼也难。

秘密在那里？

在选项里。

看到A、B、C也就罢了。

看到D，知道是12^2，可是题目里就没有平方数，因此D不大可能是选项。

既然不是选项，那专家们为什么把这个数字放在这里呢？

难道这道题和平方有关？

带着这个疑惑来看选项。

A是10^2+4，B是11^2–5，C是11^2+5。

好吧，后面的思维过程我就不说了。

大家都该明白了。

一个简单的平方数列。

如果不加伪装吧，是人都会；可是你要稍微伪装一下，就能难倒一大片人。

数字推理，真的那么难么？

确实，数字推理就是这么难。

那怎么能考察考生的观察能力和推理能力，又不至于让这道题难于登天？

只能给点提示了。

提示在那里？

不可能在别的地方，只会在答案中。

一个重要的思维模式：

当你一眼看不出规律的时候，别着急，千万别着急。

看看答案中的数字都有哪些明显的特征。

命题者说不定就在里面藏了个蛋糕。

例17：

153,179,227,321,533,（  ）

A.789              B.919

C.1079              D.1229

09年的真题。

我第一次碰到这道题，在思考了一分钟之后决定开始等差。

。

。

差到最后两个数，24和72.然后就默认为这是个等比数列，蒙出了答案C。

很LUCKY，这也再一次证实了等差实在是个好办法，尽管笨了点。

但是如果有时间的话，笨点也不错对不对？

言归正传。

这种题一看就晕。

规律？

规你妈个头还差不多。

考试犯得着出这么难的题么？

如果不给你选项，你思考10分钟？

15分钟？

能不能做出来还不好说。

可是命题者偏偏就把这道题堂而皇之地放在考卷上，让无数人恶心。

为什么？

因为命题者给了提示。

看答案。

四个选项没别的相同之处，唯一的相似就是末位数都是9。

为啥？

为啥？

难道这道题和末位数有关？

再看数列的倒数第二项533，末位数是3。

三三得九，这是小学一年级的知识。

好吧，我们抱着这种莫须有的规律来看整个数列。

三三得九，三九二十七，三七二十一，一三得三，最后还是三三得九。

这说明了什么？

这个数列和三有关，涉及到三的乘法。

好吧，现在你该明白这个数列是怎么弄出来的了：

153×3-280=179

179×3-310=227

227×3-360=321

321×3-430=533

所以：

533×3-520=1079

说实话，这道题出的没水平。

就算你一眼看出了末尾数的规律，按照这个规律来推导这个数列，也要至少2分钟。

如果你等差的话，还是两分钟。

考试的时候遇上这种题，是考生的悲哀。

但愿类似的题目别再出现了。

备注：

可以这样理解150+3170+9200+27240+81……

例18：

67，54，46，35，29，（  ）

A．13    B.15  C.18    D.20

08年的真题。

按照之前的思维模式，先看数列中的数字有没有可能是平方立方数的变形。

67和8有关，35和6有关。

可是67和35之间隔了两个数，这就不对了。

再看答案？

都是一幅‘我正确’的嘴脸。

等差？

出来个莫名其妙的新数列。

等比？

显然不可能。

难道是传说中的“一个数字减去自身的个位数和十位数”？

67减13等于54。

我们好像找到了方向？

可是马上就来了当头一棒：

54减9等于45。

难道是减完还要加1？

46减10等于36，又要减个1；35减8等于27，还要加个2。

彻底晕了。

遇到这种情况怎么办？

先放下这道题，看别的题目去。

因为实在没思路了啊。

剩下的可能就是最最复杂的：

数列的前两项通过一定的运算规律得到第三项。

10分钟后再来看这道题。

没办法了，把数列的第一项和第二项加起来看看。

67+54=121。

121和46之间难道有什么关系吗？

没有啊。

这可怎么办？

等等！

121！

121这个数字还没唤起你的警觉吗？

把54和46加一下？

然后你会忍不住继续的。

最后，答案出现了。

这个例题是不是有点脱离了我这一小节的主题？

因为我这一小节的主题就是让大家观察答案啊。

那我为什么把这道题放在这里？

刚才我详细列出了我在第一次做这道题时的思维方式。

算不算NICE？

个人还是满自得的。

可是第二次做这道题时，我有了新的感受：

数列前5项分别是奇数，偶数，偶数，奇数，奇数。

这代表了什么？

两项之和分别是奇数，偶数，奇数，偶数。

所以第5项和答案的和应该是奇数。

所以答案应该是偶数。

排除答案A和B。