数推心得.docx

1、数推心得看到太多的人被辅导资料误导，实在于心不忍。故发此贴。请不要无意义回复（包括称赞）。确实有问题的，请在下面写出来，大家一起学习。如能进行批评，那欢迎之至。（由于内容是直接从WORD文档中复制过来的。平方和分数的格式在论坛里好像不支持，所以看起来可能有些费劲。请下载WORD版） 跟我学数字推理 一、一些有趣的现象 你一定很想学习怎样把数字推理题做好，对不对？不过别着急，我们慢慢来。下面，请先回答第一题： 例1： 1，2，3，4，5，6，（ ） 括号里应该填个什么数字呢？显然是7，对吧。为什么呢？地球人都知道，自然数的数列么。 好吧，再请你回答第二题： 例2： 1，4，9，16，25，36，

2、（ ） 你会说：“卧槽！当我是白痴么？这个答案显然是49，平方数列还用你来教”？ 不，你当然不是白痴。但是，假设你的学历为小学2年级，只会加法和减法，对于乘除一无所知，就更别提什么平方、立方之类的幂运算了，这道题你该怎么做呢？ 嗯，没别的办法，你只能看看这个平方数列是不是等差数列： 149162536（ ？） 357 9 11 X 22 2 2Y 显然Y = 2，故X= 13。所以括号里应该是36 + 13 = 49 。 这两种方法竟然都能得到同样的结果？ 其实很好证明，设公差为1的某个等差数列第一项为A，则第二项为A+1，第三项为A+2.，然后按平方公式展开，再进行二次等差推理，就知道，平方

3、数列同样是等差数列。只不过，平方数列是二次等差数列，其二级公差是2。 奇偶分别。那么，如果是公差为2的某个等差数列的平方呢？比如： 例3： 1，9，25，49，81，（ ？） 这道题你自己做一下，我可以告诉你结果，那就是公差为2的等差数列的平方数列，也是二级等差数列，其二级公差是8。 如果公差是3的某个等差数列的平方呢？自己列一个出来看看吧。我还是告诉你，它的二级公差是18。 我多嘴了，其实你设某等差数列首项为A，公差为N，就明白了，这个数列的平方数列是二级等差数列，其二级公差为：2N2。 例4： 4，12，28，52，84，（ ？） 请不要急着往下看，先把这道题做出来再说。 你做出来了吗？你

4、是怎么做出来的？ 不要告诉我是二级等差哦？难道你真的只有小学2年级的水平？只会加减法？ 这道题就有些让你郁闷了吧？当然，你要能一眼就看出来这其实就是我把例3的数列每一项都加了个3，那我向你道歉，因为你确实有很高的数字天赋，不用听我啰嗦。 例5： 1，19，33，67，97，147，193，（ ？） 给大家讲个笑话。上面这道题是我自己出的，过了一个星期之后我再看这道题的时候，花了2分钟没做出来，最后不得已翻看以前的草稿才明白是怎么回事。现在，你来做。 你做出来了吗？做不出来没关系，我告诉你答案，答案是259。 为什么呢？方法有三种： 1、按数列各项序号的奇偶性分成两组，即1，33，97，193和

5、19，67，147，（ ？）可以看出，前面一个数列二级等差，后一个数列二级等差，其公差各自不同。 2、两项相减得到一个新的数列：18，34，50，（X）。可知X = 66。所以答案是193加上66就等于259。 3、直接做差来看看规律如何？其二级公差数列为：-4，20，-4，20，-4，20。 你会说，哇，好多规律哦！ 千万别这么说，我会脸红的。 其实呢，你写出一个偶数数列来：2，4，6，8，10，12，14，16.然后各项平方，再分别加减3，最后得到一个数列。看看，和我的这个数列是不是一样的？ 也就是说，这道题最简单的方法应该是：22-3，42+3，62-3，82+3.前面所谓的三种方法，都

6、是我糊弄你们的！ 这个笑话应该还比较好笑吧？给大家说这个笑话是想让大家明白一个事实：那些出题的专家们是多么仁慈啊！ 真的，数字推理这种题目，想为难考生实在是太简单了。不要说那些专家们，我都行。看，我随便弄了一道题，就连自己做起来都费劲。你如果不相信，那就按照我这种思路，先弄个平方或者立方数列，然后随便加上或者减去一个等差或者等比数列，再把这个数列放几天，等忘记得差不多的时候去自己做一下。 为什么一个平方数列加减3的结果就弄出这么多规律来了呢？我只能说数字太奇妙，数字推理太深奥，实在不是我等凡夫俗子所能搞明白的。当然，这个也不是公务员考试范围，也许数学博士后的考题会这样出吧？ 统计了一下字数，我

7、已经写了1500字了。这不禁让我感叹一下我的啰嗦程度实在不是一般人所能企及的啊！其实，这1500字的目的就一个，那就是：在考试中出现的平方数列及其变形，哪怕你看不出规律来，用等差的方法也基本能解决。 但是，请记住，你用等差的方法做出了一道题，不代表你就看出了这道题的规律。什么是看出这道题的规律了呢？就是你用最简单的数列能把这道题是怎么弄出来的推理出来，才算是你看出了这道题的规律。国考的数字推理，专家们真的没转太多的弯，都是很简单的数列变换一两次之后得出的题目。 例6： 2，12，30，56，90，（ ？） 我再强调一次，不要往下看，先把我的例题做出来再说。这又不是考试，用得着这么急？ 你做出来

8、了？答案是132吧？恭喜你，答对了！ 呃，不好意思，我怎么想起王小丫了？好吧，是我的错。不过我想小声地问一句：你是怎么把这道题做出来的？不是二级等差吧？ 这道题也是我自己编的，怎么编的呢？12，34，56，78，910，所以答案是1112。 例7： 0，6，20，42，72，（ ？） 如果没记错的话，这应该是一道省考的数字推理真题。 很简单的，二级等差，公差是8。你现在看到二级等差这几个字，是不是有点想吐？那么这道题的规律是啥？你看出来了么？ 01，23，45，67，89，答案是1011。 前面我说了，自然数列的平方数列是二级等差数列，公差为2对吧？ 那么现在你该明白了，自然数列两两相乘，得到

9、的数列也是二级等差数列。 我可以接着说，平方数列加上某个数得到一个新的数列，仍然是二级等差数列，公差为2.因为加上的这个数在第一次等差时就已经减掉了。由此推知，就算你加上一个等差数列，它仍然是二级等差。同样，如果是自然数列的乘积数列的加减变形，也是二级等差数列，公差为8。 类似的规律还有很多，你如果有兴趣，自己试试用1，2，3，4，5，6，7来组成一些数列，你会发现，如果你只进行了一次乘法运算（平方实质上就是一次乘法），那么新数列就是二级等差的数列。 到此，我们已经用二级等差的方法做出了不少的题目。其实当你做省考、国考的真题的时候，也会有这种感觉好多题都是二级等差的。 很遗憾的告诉你，你被各种

10、培训班以及辅导资料害得不浅，以至于形成了绝对错误的思维定势。各种形式的等差题目告诉你，等差是一种基本规律，要注意。 问题是：谁都知道等差是一种基本规律。你知道，我知道，命题专家更知道。不就是后项减前项么？顶多就是多减几次而已。你认为，命题专家会在国家公务员的考试题中测试小学二年级的知识？ 例8： -5，-4，3，22，59，120，（ ？） 答案是211。如果你没做出来，没关系。如果你做出来了，还是那句话，你是怎么做出来的？ 你可千万别告诉我，等差，三次等差。 虽然我遇上这种题，估计也会等差、等差、再等差，直到最后得出结论:这个数列是个公差为6的三级等差数列。 这种题目的规律确实不是一眼能看出

11、来的。规律么，既然一眼看不出来，那么两眼三眼也未必能看出来。那怎么办呢？老师说了，观察趋势，尝试等差. 题目是做出来了。由此看来，老师说的是真有道理，尝试么，这种方法不行，再尝试下一种方法。反正数字推理就那么些规律，慢慢看，总能看出来的。 我真的不想对这种方法发表意见。说它错吧，一点都没错；说它对吧，考试的时候你有这么多时间去思考一道题？ 观察，先观察。观察什么？是趋势么？ 那些所谓专家们害人的地方就在这里。简单的趋势，国考肯定不会考。复杂的趋势，那需要计算。计算，那需要时间。时间，参加过国考的同学们都明白时间代表什么。 前面说过，平方数列是二次等差数列，公差是2。 我估计有兴趣的同学已经开始

12、在想，立方数列是什么了。具体过程我就不写了，太简单。大家自己试试就知道了。这里给结论：立方数列是三次等差数列，公差是6。 甚至可以再往远了说。自然数列0，1，2，3，4，5，6.的N次方数列是N次等差数列，公差为N的阶乘。 回到刚才的例题上来，这道题也是三次等差，公差也是6，这能不能让你想起些什么？对的，这就是立方数列0，1，8，27，64，125，216中的每一项都减去5得到的题目。 例9： 6，120，504，1320，2730，4896，（ ？） 如果你有兴趣，还是做一下这道题。当然，我确信国考不会考这么变态的题目。说他变态，因为计算量太大，而且凭肉眼是看不出规律来的（如果你的速算功底不

13、深的话）。其实这道题真的变态么？ 这仍然是一个三次等差数列。公差是162。是不是有点吓人？那这个数列到底是怎么来的呢？ 自然数列1，2，3，4，5，6，7，8.，每三项相乘，也就是说，123，456，789，101112，131415，161718。 就这么简单。 不妨再回过头去看看例6和例7。甚至从头再看一遍，看到这里。 一个道理：自然数列的变形数列，如果只经过一次乘法，它是二级等差数列；如果经过两次乘法，它是三级等差数列。如果经过三次乘法呢？我们不需要知道了，不管它是不是四级等差数列，可以肯定的是，考试不会考这么恶心人的题（如果真的出现了，你就当我没说好了）。 现在，当你做出一道题的时候，

14、你还敢说，这道题是等差么？ 二、不是等差是什么？ 不是等差是什么？ 是平方，是立方，是乘积。更可能的，是它们的变形，很简单的变形。 例10： 0，4，16，40，80，（ ？） A 160B 128 C 136D 140 很稀奇吧？怎么到了这道题，我给了选项，弄的好像跟考试一样？ 前面的题目没有选项，是因为都是我自己随便编的。那些题目都很简单，用不着答案。这道题么，是07年国考的真题，我直接复制过来给大家看看。 会做的人举手。保守估计80%都会。 不用等差的举手（用拆项的也算用等差，因为你最后还要得出一个等差数列）。我怀疑一个都没有。因为我翻了很多答案，上面都是这一句话：这是一个三级等差数列，

15、公差是4。那可都是专家哦？还有专家告诉我们这道题要先除个4，这样做起来简单一些呢。 这个数列是怎么来的呢？我们等下再说。先看例11. 例11： 0，6，24，60，120，（ ？） 这应该也是一道真题。不知道哪个省的。因为我随便一搜，就看到QZZN里还有人问这道题。事实上，这道题我自己就编出来过，并没有借鉴什么考题。 你会做吗？是公差为6的三级等差吗？ 很好，你说不是。你终于看出来了，这道题的规律是：N3 N。 也就是：13 1，23 2，33 3，43 4，53 5. 现在我们来看例10。三级等差数列，公差是4？我们前面不是说过，立方数列是三级等差数列，但是公差是6么？是不是很奇怪？那我们能

16、不能让例10的公差也变成6呢？当然可以了。每一项都乘以1.5，公差不就可以是6了？ 好吧，我们开始把例10的每一项都乘以1.5来看看。 我不在这里乘。你自己去乘。乘完了看看。没什么特殊的对不对？看起来还是那个模样。 和例11比较一下吧。你会有所收获的。 例12： 2 ,12，36，80，（） A 100B 125 C 150D 175 还是07年的真题。你一眼看不出规律来，怎么办？等差，差到最后就剩一个6了。敢不敢肯定呢？试试嘛。按照立方数列为三级等差的规律来试，得到结果是选C。 你蒙对了。不过很多辅导书告诉我们，这道题的规律其实是这样的：212，322，432，542. 哦，原来是这么来的啊

17、！这是自然数列经过两次乘法（一次乘法和一次平方）得来的。怪不得呢，咱们之前也说过，两次乘法之后的数列就是三次等差么！ 可是，一次乘法和一次平方得出的数列，为什么三次等差后的公差也是6呢？公差为6应该是立方数列才对啊？ 如果你有这个疑问，那恭喜你，你的数字推理开始入门了。 我们把立方数列写出来和题目进行对比：1，8，27，64， 不难看出：1+1 = 2，8+4 = 12，27+9 = 36，64+16 = 80。 其实，这就是立方数列加上1，4，9，16得到的题目。1，4，9，16这四个数字摆在一起，应该足够引起你的重视了吧？ 那么这道题的命题规律究竟是什么样子的呢？ 就是这个样子的：13 +

18、 12，23 + 22，33 + 32，43 + 42. 有的同学会说了，辅导书上说的也没错啊？（N+1） N2 本来就等于 N3 + N2，这两个规律根本就是一回事，还值得你在这里说这么半天？全是废话么！ 不，这不全是废话。我之所以不怕丢人在这里说这些，是想告诉大家一个道理：命题专家们出这样的考题，就是考你的观察能力，不需要哪怕是比较简单的计算。我第一次做这道题时用了三次等差。第二次发现这是个偶数数列，直接排除B和D，然后根据数字发展的趋势直接就选了C。第三次做这道题时，我决定拆项，用平方数来和数列比较，得出了平方乘积的规律。最后一次做这道题，我发现用立方数列和题目比较，得出的规律是最自然的

19、。也就是说，只要你看到第3项是36，和27接近；第四项是80，和64也不远的时候，你就明白了，这就是1，2，3，4，5的简单变化。 例13： 0 ，9，26，65， 124， （） A 165B 193 C 217D 239 这道题还是07年的题目。你看到第5项是124了。你想到5的立方了么？再看9，26，65，它们和那些熟悉的立方数都是如此的接近。你敢直接选C么？真的，面对这么简单的题，你还需要那么多莫名其妙的规律？ 例14： 0 ， 2， 10，30，（） A 68B 74 C 60D 70 依然是07年的题目。我本来不愿意再把07年的题目拿出来说事儿的。但是一想，既然已经说了三道，那就干

20、脆说完算了。你看到第4项是30。想到27了吗？27+3？这不是33 + 3么？ 再看看10，符合这个规律不？ 这四道题都是立方数列的变式，也就是说，都可以用等差来做。现在，你分别用等差和立方规律来做这四道题。自己算算时间差吧。起码是3分钟时间没了，对不？ 现在宣布重要结论：拿到数列，先观察。先观察什么呢？ 不是所谓的数字变化趋势。观察数字变化趋势能得到什么呢？无非就是该数列到底有没有等差或者等比的可能性。可是我已经说过，国考会考你小学2年级的知识么？考试时间这么紧张，命题者真的就这么不近人情，逼着你减了又减，减了还减？ 显然不是的。可以这么说，等差等比数列基本不会再出现在国考当中。大家都会，还

21、考什么？又不能考太难的，否则失去意义。所以，考的就是一些变异数列。其中，平方立方数列是重点。因此，拿到数列，要先观察数列中第N项的数字与N（或者N 1）本身有没有联系（因为原始数列可能是1，2，3，4，5也可能是0，1，2，3，4.）。如果和N的立方接近，就用立方数列来比较；和平方数列接近，就用平方数列来比较。没有特别的联系，考虑N和某个数字的乘积来看看。 现在回过头去看看例10。我已经用例11说明了这道题是怎么设计出来的。但是，考试的时候指望我们能想到把数列的每一项乘以一个1.5，有些强人所难了。那怎么办呢？ 观察数列本身：0，4，16，40，80，（） 第5项是80，和5的平方25以及5的

22、立方125都相差甚远。第4项40也是这样。那么可不可以考虑用数字除以项数呢？各项分别除以1，2，3，4，5得到一个新的数列。 你发现了什么呢？那就是这个新的数列是个一级等差数列。 当然，这种规律确实不普遍。考试时出现这种类型的题目的可能性不大。而且，这种题目也确实可以用多级等差来解决，因此区分度也不高。但是，我希望通过这个思路使大家记住两件事情： 、先观察。先把所谓的趋势忘掉，先观察数列中的数与其本身的项数之间有无联系。 、别急着等差，尤其是不要多次等差。当然，如果你实在看不出规律、 需要进行试探性计算的时候，首先尝试下多级等差是个好主意。因为很多题目即使你看不出来，但是只要它确实是平方立方数

23、列的变式，等差能解决大部分问题。但是，在平时训练的时候，要尽量做到不动笔计算。 以例15作为这一部分的结束。 例15： 1, 9, 35, 91, 189, ( ) A.301B.321 C.341 D.361 09年的真题。这道题是怎么来的？ 03 + 13，13 + 23，23 + 33，33 + 43，43 + 53. 看看，同样的立方数列变形，这次，等差可就解决不了问题了吧？ 回顾这些平方立方数列的变式，你会发现，原来国考已经把这些形式考的差不多了。你看，N3 N考过了，然后考N3 + N2，再然后考N3 + (N + 1)3。如果命题专家们还想考这类数列的话，他们会怎么出题目呢？这个

24、问题谁也不可能准确回答。然而问出这种问题，正是高效备考的关键所在。 三、仅仅观察题目就够了吗？ 例16： 14，20，54，76， （ ） A.104B.116 C.126D.144 08年的真题。这道题的规律绝对不是一眼能看出来的。如果不给答案的话，两眼三眼也难。秘密在那里？在选项里。 看到A、B、C也就罢了。看到D，知道是122，可是题目里就没有平方数，因此D不大可能是选项。既然不是选项，那专家们为什么把这个数字放在这里呢？难道这道题和平方有关？ 带着这个疑惑来看选项。A是102 + 4，B是112 5，C是112 + 5。 好吧，后面的思维过程我就不说了。大家都该明白了。 一个简单的平方

25、数列。如果不加伪装吧，是人都会；可是你要稍微伪装一下，就能难倒一大片人。数字推理，真的那么难么？确实，数字推理就是这么难。那怎么能考察考生的观察能力和推理能力，又不至于让这道题难于登天？ 只能给点提示了。提示在那里？不可能在别的地方，只会在答案中。 一个重要的思维模式：当你一眼看不出规律的时候，别着急，千万别着急。看看答案中的数字都有哪些明显的特征。命题者说不定就在里面藏了个蛋糕。 例17： 153, 179, 227, 321, 533, () A.789 B.919 C.1079D.1229 09年的真题。我第一次碰到这道题，在思考了一分钟之后决定开始等差。差到最后两个数，24和72.然后

26、就默认为这是个等比数列，蒙出了答案C。很LUCKY，这也再一次证实了等差实在是个好办法，尽管笨了点。但是如果有时间的话，笨点也不错对不对？ 言归正传。这种题一看就晕。规律？规你妈个头还差不多。考试犯得着出这么难的题么？如果不给你选项，你思考10分钟？15分钟？能不能做出来还不好说。可是命题者偏偏就把这道题堂而皇之地放在考卷上，让无数人恶心。 为什么？因为命题者给了提示。 看答案。四个选项没别的相同之处，唯一的相似就是末位数都是9。为啥？为啥？难道这道题和末位数有关？再看数列的倒数第二项533，末位数是3。三三得九，这是小学一年级的知识。好吧，我们抱着这种莫须有的规律来看整个数列。三三得九，三九

27、二十七，三七二十一，一三得三，最后还是三三得九。 这说明了什么？这个数列和三有关，涉及到三的乘法。 好吧，现在你该明白这个数列是怎么弄出来的了： 1533 - 280 = 179 1793 - 310 = 227 2273 - 360 = 321 3213 - 430 = 533 所以： 5333 - 520 = 1079 说实话，这道题出的没水平。就算你一眼看出了末尾数的规律，按照这个规律来推导这个数列，也要至少2分钟。如果你等差的话，还是两分钟。考试的时候遇上这种题，是考生的悲哀。但愿类似的题目别再出现了。 备注：可以这样理解 150+3 170+9 200+27 240+81例18： 6

28、7， 54， 46， 35， 29，（） A13B.15 C.18D.20 08年的真题。按照之前的思维模式，先看数列中的数字有没有可能是平方立方数的变形。67和8有关，35和6有关。可是67和35之间隔了两个数，这就不对了。 再看答案？都是一幅我正确的嘴脸。 等差？出来个莫名其妙的新数列。等比？显然不可能。 难道是传说中的“一个数字减去自身的个位数和十位数”？ 67减13等于54。我们好像找到了方向？可是马上就来了当头一棒：54减9等于45。难道是减完还要加1？46减10等于36，又要减个1；35减8等于27，还要加个2。 彻底晕了。 遇到这种情况怎么办？先放下这道题，看别的题目去。因为实在

29、没思路了啊。剩下的可能就是最最复杂的：数列的前两项通过一定的运算规律得到第三项。 10分钟后再来看这道题。没办法了，把数列的第一项和第二项加起来看看。67+54 = 121。121和46之间难道有什么关系吗？没有啊。这可怎么办？ 等等！121！121这个数字还没唤起你的警觉吗？ 把54和46加一下？然后你会忍不住继续的。 最后，答案出现了。 这个例题是不是有点脱离了我这一小节的主题？因为我这一小节的主题就是让大家观察答案啊。那我为什么把这道题放在这里？ 刚才我详细列出了我在第一次做这道题时的思维方式。算不算NICE？个人还是满自得的。可是第二次做这道题时，我有了新的感受： 数列前5项分别是奇数，偶数，偶数，奇数，奇数。这代表了什么？两项之和分别是奇数，偶数，奇数，偶数。所以第5项和答案的和应该是奇数。所以答案应该是偶数。排除答案A和B。