高三数学苏州市届高三上学期第一次模拟考试数学试题.docx

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高三数学苏州市届高三上学期第一次模拟考试数学试题

一、填空题：

本大题共14个小题,每小题5分,共70分.

1.设全集U＝｛x|x≥2，x∈N｝，集合A＝｛x|x2≥5，x∈N｝，则＝▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得

考点：

集合的补集

2.复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为▲．

【答案】－5

【解析】

试题分析：

考点：

复数的模

3.双曲线的离心率为▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得

考点：

双曲线离心率

4.若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为▲．

【答案】2

【解析】

试题分析：

由题意得，因此方差为

考点：

方差

5.已知向量a=（1，2），b=（x，-2），且a⊥（a-b），则实数x=▲．

【答案】9

【解析】

试题分析：

由题意得

考点：

向量数量积

6.阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

第一次循环：

；第二次循环：

；第三次循环：

；第四次循环：

；结束循环，输出

考点：

循环结构流程图

7.函数的值域为▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

，因此值域为

考点：

分段函数值域

8.连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6），则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的

概率为▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

连续2次抛掷一枚骰子共有36种基本事件，其中“两次向上的数字之和等于7”包含这6种基本事件，故所求概率为

考点：

古典概型概率

9.将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次

为，则＝▲．

【答案】5

【解析】

试题分析：

由题意得，扇形弧长为对应圆锥底面周长，因此

考点：

圆锥展开图

10.已知是第三象限角，且，则＝▲．

【答案】

考点：

同角三角函数关系

11.已知是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列的第n项到第n+5项的和为Tn，则取得最小

值时的n的值为▲．

【答案】5或6

【解析】

试题分析：

由题意得，因此，而数列的第n项到第n+5项的和为连续6项的和，因此取得最小值时的n的值为第8项前3项或前2项，即n的值为5或6

考点：

等差数列性质

12.若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝

▲．

【答案】18

【解析】

试题分析：

由题意得直线和直线截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为，即

考点：

直线与圆位置关系

13.已知函数f（x）＝－kx（x≥0，k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则

＝▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得与相切，切点为，由导数几何意义得，因此，即

考点：

导数几何意义，同角三角函数关系

14.已知，，则的最小值为▲．

【答案】

【解析】

试题分析：

，当且仅当时取等号

考点：

基本不等式求最值

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.（本小题满分14分）

在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

（1）求角C的大小；

（2）若的面积为，，求边的长．

【答案】

（1）

（2）

考点：

正余弦定理

16.（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.

（1）求证：

A1，C1，F，E四点共面；

（2）若底面ABCD是菱形，且A1E，求证：

平面A1C1FE.

【答案】

（1）详见解析

（2）详见解析

（2）连接BD，因为直棱柱中平面，平面，

所以．………………………9分

因为底面A1B1C1D1是菱形，所以．

又，所以平面．………………………11分

因为平面，所以OD．

又A1E，，平面A1C1FE，平面A1C1FE，

所以平面A1C1FE.………………………14分

考点：

线线平行公理，线面垂直性质与判定定理

17.（本小题满分14分）

图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．

（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；

（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？

【答案】

（1）宽为1.6米．

（2）渠底宽为米

【解析】

试题分析：

（1）本题实际上为求对应半圆上点的坐标：

先建立直角坐标系，求出半圆弧所在曲线方程：

．再根据水深CD确定对应点纵坐标，代入圆方程求得横坐标，从而确定水面的宽度；

（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，因此问题转化为求圆的切线：

设切点，则切线EF的方程为．从而可根据切线方程与两直线y＝-1和y＝0得交点坐标，求出对应等腰梯形的面积，再根据导数求其最小值

试题解析：

（1）以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，

因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，

则半圆的方程为．………………………3分

因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，

在Rt△ODM中，（米）．………………………5分

所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米．………………………6分

（2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为．……………………8分

令y＝0，得，令y＝-1，得．

设直角梯形OCFE的面积为S，则（）．……………………10分

，令，解得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．………………………12分

所以时，面积S取得最小值，最小值为．

此时，即当渠底宽为米时，所挖的土最少．……………14分

考点：

圆方程，圆的切线，利用导数求最值

18.（本小题满分16分）

如图，已知椭圆O：

＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线

l：

y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M．

（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；

（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：

k1·k2为定值；

②求的取值范围．

【答案】

（1）

（2）①详见解析，②

【解析】

试题分析：

（1）直线PM过椭圆的右焦点F，就是直线CM过椭圆的右焦点F,点M就是直线CF与椭圆的交点，列直线CF方程与椭圆方程联立的方程组，解得，最后根据点到直线距离公式求高，根据两点间距离公式求底边长，算出三角形面积

（2）①本题思路简单，就是利用点P的坐标分别表示k1，k2，再计算k1·k2的值即可，但有一定运算量：

先设，立得，再利用直线PC与椭圆联立方程组求出交点M坐标，求出②先利用点P的坐标表示，再令，化简函数式：

，最后结合函数单调性求值域

试题解析：

（1）由题意，焦点，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为，即，

联立，解得或（舍），即．………………2分

连BF，则直线BF：

，即，

而，．………………………4分

故．………………………5分

（2）解法一：

①设，且，则直线PM的斜率为，

则直线PM的方程为，

联立化简得，解得，………8分

所以，，

所以为定值．…………………10分

②由①知，，，

所以，…………………13分

令，故，

因为在上单调递增，

所以，即的取值范围为．………16分

解法二：

①设点，则直线PM的方程为，

令，得.…………………7分

所以，，

所以（定值）.…………………10分

②由①知，，，

所以

=．…………………13分

令，则，

因为在上单调递减，

所以，即的取值范围为．……16分

考点：

直线与椭圆位置关系

19.（本小题满分16分）

已知数列满足：

，，,.

（1）若，且数列为等比数列，求的值；

（2）若，且为数列的最小项，求的取值范围.

【答案】

（1）或.

（2）

【解析】

试题分析：

（1），而数列为等比数列，则可由求出或.再分别验证当时，符合题意；当时，，利用累加法得符合题意.

（2），，利用累加法得，由题意转化为恒成立问题：

对，有恒成立，即对恒成立.变量分离时需分类讨论：

当时，，恒成立，当时，，恒成立，当时，有，分析数列得为递增数列，因此当时，，当时，数列得为递增数列，因此当时，

试题解析：

（1），，∴，，

由数列为等比数列，得，解得或.………………3分

当时，，∴符合题意；………………………4分

当时，，

∴=，

∴符合题意.………………………6分

（2）法一：

若，，

∴

==.………………8分

∵数列的最小项为，∴对，有恒成立，

即对恒成立.………………………10分

当时，有，∴；

当时，有，∴；

当时，有，∴；

当时，有，∴；………………………12分

当时，，所以有恒成立，

令，则，

即数列为递增数列，∴.………………………15分

综上所述，.………………………16分

法二：

因为，，

又为数列的最小项，所以即

所以.…………………………………………………………8分

此时，，

所以.…………………………………………………………10分

当时，令，，

所以，所以，

即.…………………………………………………………14分

综上所述，当时，为数列的最小项，

即所求q的取值范围为.…………………………………………………………16分

考点：

累加法求数列通项，数列单调性

20.（本小题满分16分）

已知函数（a∈R），为自然对数的底数．

（1）当a＝1时，求函数的单调区间；

（2）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；

②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．

【答案】

（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）①

②

【解析】

试题分析：

（1）当a＝1时，，先明确定义区间R，再求导，求出导函数零点0，列表分析得单调区间：

在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）①不等式存在性问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值求解：

由得，分离变量时需分类讨论：

当时，不等式显然不成立；当时，；当时，.以下问题转化为求=最值，利用导数求得在区间和上为增函数，和上为减函数．从而可得当时，，当时，．即当时，，当时，．②由①知需分类讨论：

时，，当时，，再由，得或解得a的取值范围为．

试题解析：

（1）当a＝1时，，，……………1分

由于，

当时，，∴，

当时，，∴，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.…………………4分

（2）①由得．

当时，不等式显然不成立；

当时，；当时，.…………………6分

记=，，

∴在区间和上为增函数，和上为减函数．

∴当时，，当时，．……………………8分

综上所述，所有a的取值范围为．………………………9分

②由①知时，，由，得，

又在区间上单调递增，在上单调递减，且，

∴，即，∴.………………………12分

当时，，由，得，

又在区间上单调递减，在上单调递增，且，

∴，解得.………………………15分

综上所述，所有a的取值范围为．………………………16分

考点：

利用导数求单调区间，利用导数求函数最值

附加题

21.A选修4-1：

几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．

（1