若|S1|≥k则调用Select（k,S1）；
若（|S1|+|S2|）≥k，则第k小元素就是x；
否则就有（|S1|+|S2|）＜k，此时调用Select（k-|S1|-|S2|,S3）。
定理：
若以等概率方法在n个数中随机取数，
则该算法用到的比较数的期望值不超过4n。
（假定n个数互不相同，如果有相同的数的话，
落在S2中的可能性会更大，比较数的期望值会更小一些。
）
证：
设C（n）是输入规模为n时，算法中所用到的比较次数的期望值。
并设取到任一个数的概率相同。
假定用上述算法取到的数x是第j小的数（j=1，2，…，n）。
若j＞k，则需要调用Select（k,S1）。
∵|S1|=j-1（因为取到的x是第j小的数），
∴调用Select（k,S1）的比较次数的期望值为C（j-1）。
若j＜k，则需要调用Select（k-j,S3）（j=|S1|+|S2|）。
∵|S3|=n-j，∴本次调用的比较次数的期望值是C（n-j）。
若j=k，则直接返回第j个元素，无需继续进行比较。
由于取j为1，2，…，n的概率相同，故有
C（n）=n+
（其中的n是：
获得S1,S2,S3所需比较次数）
=n+
=n+
由于C（i）是非减函数（在i＜j时，总有C（i）≤C（j））
∴（
）在k=n/2时取得最大值。
（证明留作作业）
归纳法基础：
n’=1时无需比较，显然有C（n’）≤4n’。
归纳法假设：
设n’＜n时，有C（n’）≤4n’。
由于C（n）是在k=n/2时取得最大值，于是有
C（n）≤n+
（注意式中的
均应为n/2，下同）
≤n+
（由归纳法假设，n’＜n时，有C（n’）≤4n’）
≤n+
（n为奇数时n-n/2+1=n/2，故此时两和式相等）
=n+
=n+
（n*（n-1）/2-n/2*（n/2-1）/2）
≤n+
（本式中的
不向上取整）=4n-2
由于每个元素至少被比较一次，所以C（n）≥n，
∴随机化Select算法的比较次数期望值有：
n≤C（n）<4n。
Sherwood随机化方法（属LasVegas算法）
如果某个问题已经有了一个平均性质较好的确定性算法，
但是该算法在最坏情况下效率不高，此时引入一个随机数发生器
（通常是服从均匀分布，根据问题需要也可以产生其他的分布），将一个确定性算法改成一个随机算法，使得对于任何输入实例，
该算法在概率意义下都有很好的性能（e.g.Select,Quicksort等）。
如果算法（所给的确定性算法）无法直接使用Sherwood方法，
则可以采用随机预处理的方法，使得输入对象服从均匀分布
（或其他分布），然后再用确定性算法对其进行处理。
所得效果在概率意义下与Sherwood型算法相同。
TestingStringEquality（MonteCarlo算法）
设A处有一个长字符串x（e.g.长度为106），
B处也有一个长字符串y，A将x发给B，由B判断是否有x=y。
算法：
首先由A发一个x的长度给B，若长度不等，则x≠y。
若长度相等，则采用“取指纹”的方法：
A对x进行处理，取出x的“指纹”，然后将x的“指纹”发给B，
由B检查x的“指纹”是否等于y的“指纹”。
若取k次“指纹”（每次取法不同），每次两者结果均相同，
则认为x与y是相等的。
随着k的增大，误判率可趋于0。
常用的指纹：
令I（x）是x的编码，取Ip（x）I（x）（modp）作为x的指纹。
这里的p是一个小于M的素数，M可根据具体需要调整，
本例中取M=2n2。
由于0≤Ip（x）＜p，
∴Ip（x）的二进制传输长度不超过log2p位。
设n是I（x）的二进制表示的长度，则有I（x）＜2n。
由于p＜M=2n2，故有log2p≤log（2n2）+1=O（log2n）。
∴传输的长度可以大大的缩短。
例：
设I（x）是106位二进制的数，即n=106，则M=2×1012≈240.8631
∴Ip（x）的位数不超过41位，传输一次可节省约2.5万倍。
根据下面所做的分析，可知错判率小于
。
如果取5种不同的p（即k=5）求出“指纹”再传输、检查5次，
则传输量可节省5,000倍。
此时错判率小于
。
错判率分析：
B接到指纹Ip（x）后与Ip（y）比较，如果Ip（x）≠Ip（y），当然有x≠y。
如果Ip（x）=Ip（y）而xy，则称此种情况为一个误匹配。
问题是：
误匹配的概率有多大？
若我们总是随机地去取一个小于M的素数p，则对于给定的x和y，
Pr[failure]=（使得Ip（x）=Ip（y）但xy的素数p（p＜M）的个数）／
（小于M的素数的总个数）。
数论定理1：
设（n）是小于n的素数个数，则（n）≈
，
误差率不超过6%。
例:
n=5001000104105106107108109
（n）=951681229959278498664579576144550847478
∵M=2n2，Pr[failure]的分母
（M）≈
=
=
≈
=
Pr[failure]的分子≤使得Ip（x）=Ip（y）的素数p（p＜M）的个数
=能够整除︱I（x）-I（y）︱的素数p（p＜M）的个数
（∵a≡b（modp）iffp整除︱a-b︱）
数论定理2：
如果a＜2n，则能够整除a的素数个数不超过（n）个。
（只要n不是太小）
∵︱I（x）-I（y）︱＜max｛I（x）,I（y）｝≤2n-1，
∴能够整除︱I（x）-I（y）︱的素数个数不超过（n）。
而满足p＜M的素数则更少，∵当n≥7时，有2n2＜2n。
∴Pr[failure]≤（n）/（M）≈
=
。
即误匹配的概率小于
。
∴当n很大时，误匹配的概率很小。
设xy，如果取k个不同的小于2n2的素数来求Ip（x）和Ip（y），
由于事件的独立性，因此事件均发生的概率满足乘法规则，
即k次试验均有Ip（x）=Ip（y）但xy（误匹配）的概率小于
。
∴当n较大、且重复了k次试验时，误匹配的概率趋于0。
PatternMatching（MonteCarlo算法）
给定两个字符串：
X=x1,…,xn，Y=y1,…,ym，看Y是否为X的子串？
（即Y是否为X中的一段。
）
该问题可用KMP算法在O（m+n）时间里获得正确结果，
但算法比较繁琐，函数计算比较复杂。
（此问题还可用Rabin-Karp算法、Boyer-Moore算法等）
考虑随机算法（用brute-force思想）
记X（j）=xjxj＋1…xj+m-1（从X的第j位开始、长度与Y一样的子串），
从起始位置j=1开始到j=n-m+1，我们不去逐一比较X（j）与Y，
而仅逐一比较X（j）的指纹Ip（X（j））与Y的指纹Ip（Y）。
由于Ip（X（j+1））可以很方便地根据Ip（X（j））计算出来，
故算法可以很快完成。
不失一般性,设xi（1≤i≤n）和yj（1≤j≤m）∈{0,1}，即X,Y都是0-1串。
Ip（X（j+1））=（xj+1…xj+m）（modp）
=（2（xj+1…xj+m-1）+xj+m）（modp）
=（2（xj+1…xj+m-1）+2mxj-2mxj+xj+m）（modp）
=（2（xjxj+1…xj+m-1）-2mxj+xj+m）（modp）
（∵（xy+z）（modp）=（x（ymodp）+z）（modp））
=（2（（xjxj+1…xj+m-1）modp）-2mxj+xj+m）（modp）
=（2*Ip（X（j））-
xj+xj+m）（modp）（﹡）
∴Ip（X（j+1））可以利用Ip（X（j））及（﹡）式计算出来。
算法
1、随机取一个小于M的素数p，置j←1；
2、计算Ip（Y）、Ip（X
（1））及Wp（=2mmodp）；
3、Whilej≤n-m+1do
{ifIp（X（j））=Ip（Y）thenreturnj/﹡X（j）极有可能等于Y﹡/
else{使用（﹡）式计算出Ip（X（j+1））；j增1}
}
4、return0;/﹡X肯定没有子串等于Y﹡/
时间复杂度：
Y、X
（1）、2m均只有m位（二进制数），
故计算Ip（Y）、Ip（X
（1））及2mmodp的时间不超过O（m）次运算。
Ip（X（j+1））的计算：
由于2*Ip（X（j））只需要在Ip（X（j））后加个0；
当xj为1时，第二部分Wp*xj就是Wp，当xj为0时该部分为0；
xj+m或为0或为1，然后进行加减法（O
（1）时间）就可得到
2*Ip（X（j））-
xj+xj+m。
但此式还要对p取模。
由于0≤2*Ip（X（j））≤2p-2，0≤
xj≤p-1，0≤xj+m≤1，
因此2*Ip（X（j））-
xj+xj+m的值在[-（p-1）,2p-1]之间。
故实际计算时，若上式是负值，则加上p后即得Ip（X（j+1））；
若为非负，则看其是否小于p，小于p则已得Ip（X（j+1））；
若大于等于p，则减去p后即得Ip（X（j+1））。
故Ip（X（j+1））的计算只需用O
（1）时间。
由于循环最多执行n-m+1次，故这部分的时间复杂度为O（n）。
于是，总的时间复杂性为O（m+n）。
失败的概率：
当Y≠X（j），但Ip（Y）=Ip（X（j））时产生失败。
Ip（Y）=Ip（X（j））当且仅当p能整除|Y-X（j）|。
当p能整除|Y-X（j）|时，p当然也能整除
|Y-X
（1）||Y-X
（2）|…|Y-X（j）|…|Y-X（n-m+1）|（∵p素数，反之也成立），
由于|Y-X（j）|不超过m个二进制位，∴|Y-X（j）|<2m。
∴|Y-X
（1）||Y-X
（2）|…|Y-X（n-m+1）|<（2m）n-m+1≤2mn。
由数论定理2（如果a＜2n，则能够整除a的素数个数不超过（n）个），
能整除|Y-X
（1）||Y-X
（2）|…|Y-X（n-m+1）|的素数个数不超过（mn）个。
于是
Pr[failure]=（Y不含在X中、但p（p＜M）能够整除|Y-X
（1）||Y-X
（2）|…|Y-X（j）|…|Y-X（n-m+1）|的素数的个数）/小于M的素数的个数
≤（mn）/（M）=（mn）/（2mn2）（取M=2mn2）
≈（mn/loge（mn））/（2mn2/loge（2mn2））=loge（2mn2）/2nloge（mn）
（m≥2时有）≤loge（（mn）2）/2nloge（mn）=1/n
即失败的概率只与X的长度有关，与Y的长度无关。
当m=n时，问题退化为判定两个字符串是否相等的问题。
本算法可以转成LasVegas算法：
当Ip（Y）=Ip（X（j））时，不直接returnj，而去比较Y和X（j）,
即在returnj之前加一个判断看Y和X（j）是否相等，
相等则returnj，否则继续执行循环。
这样，
如果有子串X（j）与Y相匹配，该算法总能给出正确的位置
（即算法出错的概率为0）。
∵在最坏情况下算法执行O（mn）时间，
而p能整除|I（Y）-I（X（j））|概率的不超过
，故
算法的时间复杂性的期望值不超过
。
作业：
分别用KMP、MonteCarlo和LasVegas算法编制3个程序，
随机生成不小于5000对的、长度不等的01串X和Y（三个程序生成相同的串），然后统计算法的执行时间、MonteCarlo算法出错的比率，并根据运行结果对三种算法进行深入的比较。
注意，
先利用本题下方所给素数实现上述算法，学完素数判定算法之后，
将该算法编程，产生少量的大素数并用数组保存起来，
以供上述随机算法使用（素数判定算法写在上述随机算法之外）。
素数（每种情况给7个数）
（250以内）211223227229233239241
（500以内）461463467479487491499
（1000以内）953967971977983991997
（5000以内）4957496749694973498749934999
（10000以内）9923992999319941994999679973
（100000以上）100003100019100043100049100057100069100103
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