行列式测试题有答案.docx
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行列式测试题有答案
...
第九讲
行列式单元测试题点评
一、填空题（每小题2分，满分20分）
1．全体3阶排列一共有6个，它们是
123,132,213,231,312,321；
2.奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次
对换变为奇排列；
3.行列式D和它的转置行列式D有关系式DD；
4.交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；
5.如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这
个行列式等于零；
6.一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到
行列式符号的外边；
7.把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）
的对应元素上，行列式的值不变；
8.行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的
代数余子式的乘积之和等于零；
aaa
11121n
9.
0
aa
222n
aaa
1122nn
;
00
a
nn
..........
...
10.当k=
214
2
kk
时，5
。
42k
二、判断题（每小题3分，满分24分）
1.若（i1i2in）k,则（i2i1i3in）k1（∨）
a
11
a
12
a
1n
2.D
设
a
21
a
22
a
2n
则的一般项
D
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
a
i
的符号
nj
n
a
n1
a
n2
a
nn
（j1j2jn）
是
（1）.（×）
3.若n（n>2）阶行列式D=0,则D有两行（列）元素相同.（×）
4．若n阶行列式D恰有n个元素非0，则D≠0.（×）
5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接
使用克莱姆法则求解。
（×）
6．若行列式D的相同元素多于
2
nn个，则D=0.（×）
aaaaaa
111213132333
7.
aaaaaa
212223122223
aaaaaa
313233112131
（×）
8.n阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘
积项带负号。
（×）
三、单项选择题（每小题4分，满分20分）
1．位于n级排列i1i2ik11ik1in中的数1与其余数形成的
反序个数为（A）
（A）k-1（B）n-k-1（C）
k
C（D）
n
2
Ck
n
..........
...
11.设i1i2in是奇排列，则inin1i2i1是（C）
（A）奇排列；（B）偶排列；
（C）奇偶性不能仅由n的奇偶性确定的排列；
（D）奇偶性仅由n的奇偶性确定的排列。
3．一个不等于0的n阶行列式中非零元素个数至少为（D）；
22
（A）n（n1）（B）n（C）（n1）（D）n
4．以下数集作成数环的是（C）
（1）S=b5bZ;
（2）S=a0aQ;
（3）S=ab3a,bZ;（4）S=ab3ia,bQ.
（A）
（1）、（3）（B）
（2）、（4）
（C）（3）、（4）（D）
（1）、（4）
a00e
0bf0
5．行列式中元素f的代数余子式是（C）
0gc0
h00d
dedeaeae
（A）（B）（C）g（D）
gfgfhdhd
四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）
1．计算（（2k）1（2k-1）2（k+1）k）；
解[（2k）1（2k1）2（k1）k]（12k）
k（k1）k（k1）
2
（12（k1）k.
22
35211105
设D求AAAA的值.
4.1313,
11121314
2413
..........
1111
1105
1313
...
解4.
AAAA
11121314
55555
23456
3．计算行列式D=
22222
23456
33333
23456
44444
23456
的值。
1111155555
2345623456
解
22222
23456
22222
523456
33333
23456
33333
23456
44444
23456
44444
23456
（32（）42（）52（）62（）43（）53（）63）
（（（）=288
54）64）6555
123n1n
11000
4．计算行列式
D的值。
02200
n
000n11n
123n1n
11000
将第
2
至列
都加
n
到第
一列
解D02200
n
000n11n
123n1n
（n1）n
2
01000
00200
..........0001n
（n1）n（n1）!
n1n1
（1）（n1）!
（1）.
22
...
五、证明下列各题（满分16分）
12.设F1,F2均为数域，证明F1F2也是数域。
（5分）
证明因为
0,1F,F0,1FF,a,bFFa,bF,
1212121
aa
a,bFab,ab,（b0）F,ab,ab,（b0）
21
bb
a
Fab,ab,（b0）FFFF
是数域。
21212
b
aybxc
cxazb
2．已知a,b,c均不为0，证明有唯一解。
（5分）
bzcya
证明因为方程组的系数行列式
ba0
Dc0a2abc0（a,b,c0
均不为）
0cb
所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。
0abc
3．设a,b,c是一个三角形的三边，证明
a0cb
bc0a
cba0
5.
（6分）
证明
..........
...
0abc1abc1000
a0cb10cb1acbbc
（a+b+c）（a+b+c）
bc0a1c0a1cabac
cba01ba01baabc
-ac-bb-c-ac-bb-c
（a+b+c）c-a-ba-c（a+b+c）c-ca-b
b-aa-b-cba-c-b
-111
=（a+b+c）（a-（b+c））c-ca-b
ba-c-b
-100
（a+b+c）（a-（b+c））c0a+c-b
ba+b-c0
（a+b+c）（a-（b+c））（a+b-c）（a+c-b）<0.
（因为a,b,c是三角形的三边）
本讲作业：
（一）解答下列各题
123n
1x13n
D12x1n
13.计算行列式
123x1
..........
...
解当x1时，D0,所以（x1）|D.同理（x2）,,
nn
[
（1）]（）
xn均为D的因式。
又xi与xjij各不相
n
同，所以（x-1）（
x2）[x（n1）]|D
n
n1
但D的展开式中最高次项x的系数为1，所以
n
（x-1）（
D=x2）[x（n1）]
n
51000
65100
06500
D
14.计算n阶行列式
00051
00065
解由于按第一列展开有D5D6D，作特
nn1n2
2
征方程x解此方程得二根2,3，令
5x60,
n1n1
DBn
A23，令1,2可得
n
AB5
2A3B19
解得
n1n1
A4,B9D3-2.
n
aaaa
012n1
aaaa
n101n2
n1
15.证明Daaaaf
（1）f（）f（）,
n2n10n3
aaaa
1230
其中
n1
22
i
f（x）ax,cosisin.
i
nn
i0
..........
...
证明作矩阵乘积
aaaa
012n1
1111
aaaa
n101n2
1
2n1
aaaa
n2n10n3
1
242（n1）
aaaa
1230
1
n12（n1）（n1）（n1）
2n1f
（1）f（）f（）f（）
22n1n1
f
（1）f（）f（）f（）
2422（n1）n1
f
（1）f（）f（）f（）
n12（n1）2（n1）（n1）n1f
（1）f（）f（）f（）
1111
2n1
1
f
（1）
f（）242（n1）
1
1
n12（n1）（n1）（n1）
f
n1
（）
两边取行列式即得所征。
说明:
此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行
列式计算，可直接利用这一结果。
2222
123n
2222
n12（n1）
例如计算行列式D=
2222
（n1）n1（n2）
22222341
（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？
矩
阵有哪些运算和性质？
有哪些特殊矩阵和特殊性质？
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让我们共同学习共同进步！
学无止境.更上一层楼。
..........
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