特殊平行四边形证明题.docx
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特殊平行四边形证明题
基础篇
特殊平行四边形之证明题
题型一:
菱形的证明
1、如图,在三角形ABC中,AB>AC,D、E分别是AB.AC上的点,'ADE沿线段DE翻折,使点A落在边3C上,记为A'・若四边形ADAE是菱形,则下列说法正确的是()
a.DE是△ABC的中位线b.是BC边上的中线
c.A4'是BC边上的高d.AA'是△A3C的角平分线
2.已知:
如图,在口ABCD中,拡是庞边上的臥将AABE沿3C方向平移•使点£与点c重合,得△&&・
(1)求证:
BE=DG;
(2)若ZB=60\F曲与庞满足什么数址关系时.四边形ABFG是菱形?
证明你的结论.
3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合•点D落到D'处,折痕为EF・
(1)求证:
ZkABE仝△AD'F:
(2)连接CF,判断I川边形AECF是什么特殊四边形?
证明你的结论.
4•如图,△磁中.M的垂直平分线坪交曲干点2交M干点QCE//AB交MV于E连结血\CD、
(1)
求证:
AD=CE,
(2)填空:
四边形的形状是
5如图.在中.AB=AC.。
是必的中点.连结肋.在肋的延长线上取一点£连结昭CE.
(1)求证:
\ABE2\ACE
(2)当血与力满足什么数虽关系时,四边形桃V是菱形?
并说明理由.
6如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开.再把△ACD沿C4方向平移得到△ACQ・
(1)证明△A'AD'仝△CVB:
(2)若ZACB=30°,试问X点C'在线段4C上的什么位宜时,四边形ABCD'是菱形,并请说明理由.
7在菱形A3CQ中.对角线AC与BD相交于点O.AB=5,AC=6•点BC的延长线于点E.
(1)求△BDE的周长:
8.如图,在△磁中,ZA.Z万的平分线交于点2DE//AC交牝于点£DF//BC交AC于点F・
(1)点〃是△磁的心:
(2)求证:
四边形加F为菱形.
9、如图,已知:
在四边形ABFC中•ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE
⑴试探尤I川边形BECF是什么持殊的四边形;
⑵、"IZA的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?
请回答并证明你的结论.
(特别提醒:
表示角垠好用数字)
10、如图.矩形ABCD^.O是AC与3D的交点.过O点的直线£F与A8CD的延长线分别交于EF.
(1)求证:
ABOE^ADOF:
(2)liEF与AC满足什么关系时,以4,E,GF为顶点的四边形是菱形?
证明你的结论.
型二:
正方形的证明题
1、I川边形救次2^卍都是正方形,连接月以CG.
(1)求证:
於©:
(2)观察图形.猜想血与©之间的位宜关系,并证明你的猜想
2、把正方形ABCD绕着点A.按顺时针方向旋转得到正方形AEFG.边FG与BC交于点.H(如图)・试问线段HG与线段相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
4.如图12,B.C、E是同一直线上的三个点,四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.
连接BG.DE.
(1)观察猜想BG与DE之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?
若存在,请抬出,并说出旋转过程:
若不存在.请说明理由.
5.如图①,四边形個加是正方形,点G是庞上任总一点,DE丄AG干点E.乃F丄月G于点F・
(1)求证:
DE-BF=EF.
(2)为点G为必边中点时,试探究线段矿与GF之间的数虽关系.并说明理由.
(3)若点G为防延长线上一点.其余条件不变.请你在图②中画出图形.写出此时眩、BF、空之间的数址关系(不需要证明)・
7、已知:
如图,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接BG并延长交DE于F・
(1)求证:
ABCG^ADCE:
(2)将ADCE绕点D顺时针旋转90。
得到△DAE',判断四边形E‘BGD是什么特殊四边形?
并说明理由.
9.如图:
已知在AABC中,AB=AC.D为BC边的中点,过点D作皿丄A8DF丄AC.垂足分别为F.
(1)求证:
厶BEDUHCFD:
(2)若ZA=90°,求证:
四边形MAE是正方形.
题型五:
矩形的证明題
1•如图,在△磁中,Q是庞边上的一点.E是肋的中点,过月点作必的平行线交防的延长线于点只且ABD,连结处
(1)求证:
BECD;
(2)如果AB-AC.试判断I川边形朋弘的形状.并证明你的结论。
2•如图,在梯形ABCD中,4£>〃3C\AB//DE,AF//DC,E、F两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形.
(1)AD与3C有何等址关系?
请说明理由:
小
(2)当AS=DC时,求证:
口ABCD是矩形./K/K
3•如图,四边形月磁是矩形.△磁和△他都是等边三角形•且点尸在矩形上方,点0在矩形内.求证:
(1)ZPBHZPCgL:
(2)PAFPQ.
4•如图,△磁中,A3=AC.AD、川£分别是ZBAC和乙朋C和外角的平分线,BELAE.
(1)求证:
DA^AEx
(2)试判断曲与%是否相等?
并证明你的结论.
氐如图,在厶ABC41.点呢川功上的一个动点,过点"乍直线MX//BC.设血交ZBCA的角平分线于点&交
Z朗的外角平分线于点F.
(1)求证:
E8F0:
(2)十点0运动到何处时,四边形朋阳是矩形?
并证明你的结论.
6、如图.在/\ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交3E的建长线于F,且AF=DC,连接CF.
(1)求证:
D是BC的中点:
(2)如果AB=AC.试猜测四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
题型六:
综合证明题
2•如图所示.在RtAABC中,ZABC=90°.将RtAABC绕点C顺时针方向旋转60°得到ADEC,点£在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到AABF.连接AD.
(1)求证:
四边形AFCD是菱形:
(2)连接3E并延长交AD于G,连接CG,请问:
四边形ABCG是什么特殊平行四边形?
为什么?
3.如图,AABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN〃BC、设MTV交ZBC4的平分线于点E,交ZBC4的外角平分线于点F.
(1)探尤:
线段OE与OF的数虽关系并加以证明:
(2)十点O在边ACt运动时.四边形BCFE会是菱形吗?
若是,请证明,若不是,则说明理由:
(3)ui点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时.四边形AECF是正方形?
5x如图15,平行四边形ABCD中,AB丄AC.AB=\.=・对角线AC,BD相交
于点O,将直线AC绕点。
顺时针旋转.分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
十旋转角为90时,四边形A3EF是平行四边形:
(2)试说明在旋转过程中.线段4F与EC总保持相等:
(3)在旋转过程中,四边形3EDF可能是菱形吗?
如果不能•请说明理由:
如果能,说明埋由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
七曰甘幽提咼篇
选讲四边形证明经典题
1.
在□ABCD中,AC.BD交于点0,过点0作宜线冰GH、分别交平行四边形的四条边于
(1)如图①,试判断四边形岳溜的形状,并说明理由;
图①图②图③图④
(第1题图)
2.已知:
如图,在正方形個力中,点E尸分别在證和CD匕AE二AF.
(1)求证:
BE二DF;
(2)连接M交疔于点Q延长阳至点",使OJf=0A,连接EM.FM.判断四边形血莎是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
3.如图,ZA3M为直角,点C为线段34的中点,点£>是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连结AD,作BE丄AD,垂足为E,连结CE,过点E作丄CE,交BD于F.
(1)求证:
BF=FD;
(2)厶在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形,并说明理由:
(3)ZA在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件DG=-DA,并说明理
4
由・
(2)当点E运动到什么位置时,四边形EGFH是菱形?
并加以证明.
⑶若⑵中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.
(第25题图)
5•如图所示,在4遊中,分别以丽、AC.必为边在氏的同侧作等边△ABD、等边AACE.
等边ABCF.
⑴求证:
四边形加F是平行四边形;
仞探究下列问题:
(只填满足的条件,不需证明)
1当4磁满足条件时,四边形224疔是矩形:
2
当4磁满足条件时,四边形/Z4"是菱形:
6•如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E是AC上一点,过A作AG丄EB于G,AG交BD于点F,则0E=0F,对上述命题,若点E在AC的延长线上,AG丄EB,交EB的延长线于点G,AG的延长线交DB的延长线于点F,苴它条件不变,贝9结论“0E=0F”还成立吗?
如果成立,请给岀证明;如果不成立,说明理由。
afFCGC
7、在四边形ABCD中,E.F、G、H分别是AB.BC、CD.DA上的点,且一=一=—=BEBFDG
ah
—=k(R>0),阅读下列材料,然后回答下面的问题:
HD
如上图,连结BD
..AE_AHFC_GC
•班—而’BF_DG
1连结AC,则EF与GH是否一泄平行,答:
:
2当k值为时,四边形EFGH是平行四边形:
3在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为矩形;
4
在②的情形下,对角线AC和BD只需满足条件时,EFGH为菱形;
8•如图,E.F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点,且EF〃AC,在DA的延长线上取一点G,使AG=AD,EG与DF相交于点H。
求证:
AH=AD。
分别是OD、OA、BC的中点。
(1)求证:
APQS是等边三角形;
(2)若AB=8,CD=6,求S、pqs的值。
(3)若S“qs:
Smo°=4:
5,求CD:
AB的值。
10.将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑行.直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q。
探究:
设A、P两点间的距离为X。
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的关系?
试证明你观察得到的结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域:
(3)当点P在线段AC上滑行时,APCQ是否可能成为等腰三角形,如果可能,指出所有能使APCQ成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x值:
如果不可能,请说明理由
(题目中的图形形状大小都相同,供操作用)。
11、如图,四边形ABCD为正方形,DE〃AC,AE=AC,AE与CD相交于F・求证:
CE=CF・
12、如图,四边形ABCD为正方形,DE〃AC,且CE=CA,直线EC交DA延长线于F・求证:
AE=AF・
AD
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