否命题：
若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0.
逆否命题：
若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
（4）逆命题：
若a＝0或b＝0，则ab＝0.
否命题：
若ab≠0，则a≠0，且b≠0.
逆否命题：
若a≠0，且b≠0，则ab≠0.
题型二 四种命题的真假判断
例2 下列命题：
①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；
②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．（填序号）
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①②
解析 ①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②.
反思感悟 要判断四种命题的真假：
首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练2 按要求写出下列命题并判断真假．
（1）“正三角形都相似”的逆命题；
（2）“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；
（3）“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
解
（1）原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．
（2）原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．
（3）原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－
不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又
是无理数，∴x－
是无理数，不是有理数，故为真命题．
题型三 等价命题的应用
例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 等价命题
解 方法一 原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：
二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，
则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，
即4a－7≥0，解得a≥
>1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<
”的逆否命题的真假．
解 先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7<0，
所以a<
.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思感悟
（1）在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真（假）命题，来间接地证明原命题为真（假）命题．
（2）四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．
跟踪训练3 证明：
若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2×（2b＋1）＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．
命题的等价性
典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：
“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：
“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：
“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．
解 张三走的原因是：
“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：
“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．
[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．
1．（2018·安徽蚌埠高二检测）命题“若x>2018，则x>0”的否命题是（ ）
A．若x>2018，则x≤0B．若x≤0，则x≤2018
C．若x≤2018，则x≤0D．若x>0，则x>2018
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 C
解析 否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：
若x≤2018，则x≤0.
2．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 B
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
3．下列命题中为真命题的是（ ）
A．命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
C．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
D．命题“若tanx＝
，则x＝
”的逆否命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 对于A，命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab>0也成立；对于B，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，如x＝－2；对于C，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，是真命题；对于D，命题“若tanx＝
，则x＝
”是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选C.
4．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤
①和③，④和⑤
解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
5．命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 1
解析 a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得（a＋b－1）（a＋b＋2）≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.
命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题为“如果a＋b≠1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a＋b＝1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，真命题．
1．写四种命题可以按以下步骤进行：
（1）找出命题的条件p和结论q.
（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.
（3）按照四种命题的结构写出所有命题．
2．判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断.
一、选择题
1．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是（ ）
A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2b
B．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2b
C．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列
D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 D
解析 命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（ ）
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
解析 原命题的条件是“a＋b＋c＝3”，结论是“a2＋b2＋c2≥3”，所以否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．
3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的（ ）
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．无关命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 A
4．与命题“若p，则q”的否命题同真假的命题为（ ）
A．若q，则pB．若p，则q
C．若綈q，则pD．若綈q，则綈p
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 与命题“若p，则q”的否命题同真假的是命题“若p，则q”的逆命题，即“若q，则p”．
5．（2018·咸阳期末）命题“若a>2，则a>1”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．4
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 “若a>2，则a>1”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题．
又其逆命题、否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
6．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“非等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．③④
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 C
解析 命题①：
“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：
可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：
“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（ ）
A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 C
解析 特例：
p：
△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；
r：
△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；
s：
△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；
t：
△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.
8．设原命题：
若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 A
解析 因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3.
二、填空题
9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 若x，y不全为零，则xy≠0
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．
10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为________________________________，是________命题（填“真”或“假”）．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
答案 已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 真
11．给定下列命题：
①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；
②“等腰三角形都相似”的逆命题；
③“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题；
④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点 四种命题的真假判断
题点 利用四种命题的关系判断真假
答案 ①
解析 显然①为真；②为假；对于③，原命题“若x－
是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于④，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．
三、解答题
12．已知命题“若m－1考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
解 命题：
“若m－1∴
得1≤m≤2.
13．判断命题：
“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 （利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 （利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
14．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是________．
考点
题点
答案 [0,2]
解析 由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}．
又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，
∴
或
∴0≤m≤2.
15．已知a，b，c∈R，证明：
若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于
.
证明 原命题的逆否命题为：
已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于
，则a＋b＋c≥1.
由条件得a≥
，b≥
，c≥
，三式相加得a＋b＋c≥1，
显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．
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