第23讲周期工程问题分析.docx
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第23讲周期工程问题分析
第23讲周期工程问题
一、知识要点
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。
其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。
二、精讲精练
【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。
若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
①需循环的次数为：
1亠（丄+丄）=36>7（次）
‘1218丿5'丿
111
③余下的工作两还需甲做的时间为：
36宁12=3（小时）
11
④完成任务共用的时间为：
2X7+3=143（小时）
1
答：
完成任务时需共用14§小时
练习1:
1、一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。
如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。
如果先由甲打1小时,然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3、一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。
如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？
【例题2】一项工程，甲、乙合作263天完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样交
替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。
根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
1
乙甲乙甲……乙甲乙2甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。
竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
1甲每天能做这项工程的1宁26|X总=£
1
2甲单独做完成的时间1*40=40（天）
答：
这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2:
1、一项工程，乙单独做20天可以完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交
替做，也恰好用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。
这项工程由甲独做几天可以完成？
2、一项工程，甲单独做6天可以完成。
如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流
1
做要多天才能完成。
这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3
3、一项工程，甲、乙合作125小时可以完成。
如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。
如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交
1
替做，比上次轮流做要多3小时才能完成。
这项工程由甲独做几小时可以完成？
4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。
单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。
现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
【例题3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。
如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
已知甲、乙工作效率的比是5：
3。
甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。
根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙甲
乙甲乙甲……乙甲乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。
竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：
60-（5-3）X5=150（个）
乙每天做的个数为：
60-（5-3）X3=90（个）
答：
甲每天做150个，乙每天做90个。
练习3:
1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。
如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。
已知师、徒工作效率的比是7：
4。
师、徒二人每天各做多少个？
2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。
如果
2
死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多5天才能完成。
如果让甲、乙二人合作,
5
只需2§天就可以完成。
现在，由乙独做需要几天才能完成？
3、红星机械厂有1080个零件需要加工。
如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。
如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。
如果让师、徒二人
合作，只需3小时36分就能完成。
师、徒每小时各能完成多少个？
【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。
现在，甲、乙两人轮流工作。
甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。
在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
92
②总工作量里包含几个9/20:
1十—=2§
③甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的
1111
④由于10>12，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（10-12）
1
15
11
⑤打印这部稿件共需的时间为：
6X2+1+4=134（小时）
1
答：
打印这部稿件共需134小时
练习4:
1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。
单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管,18分钟能把空池灌满。
现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟,乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
2、一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。
现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
52
完成全部工程的祈
3、一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。
现在，自某年的3月2
日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天,为几月几日？
4、一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。
两队合作时,甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。
完成这项工程要多少天？
【例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序
轮做，恰好整数天完成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用0.5天；如果按丙、
1
甲、乙次序做，比原计划多用3天。
已知甲单独做13天完成。
且3个工程队的工效各不相同。
这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：
按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。
如
果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。
如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。
三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲
1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙2丙
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙3甲
从中可以退出：
丙=3甲；由于乙二甲一1丙二甲一|甲X1，又推出乙=3甲；与题中“三
个工程队的工效各不相同”矛盾。
所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍
数余2。
三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，甲乙
1
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，乙丙2甲
1
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，丙甲3乙
12
由此推出：
丙=2甲，丙=3乙
111
①丙队每天做这项工程的13x2=26
123
②乙队每天做这项工程的26宁3=52
1137
③甲、乙、丙合作完工需要的时间为1*（13+26+52）=59（天）
答：
甲、乙、丙合作要57天完工
练习5:
1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天
1
完成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用3天；如果按丙、甲、乙次序做，比
1
原计划多用&天。
已知甲单独做7天完成。
且3个工程队的工效各不相同。
这项工程由甲、
乙、丙合作要多少天完工？
2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完
1
成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用1天；如果按丙、甲、乙次序做，比原
1
计划多用2天。
已知甲单独做10天完成。
且3个工程队的工效各不相同。
这项工程由甲、乙、
丙合作要多少天完工？
3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。
原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰
1
好整数天完成呢感。
如果按乙、丙、甲次序轮做。
比原计划多用-天；如果按丙、甲、乙次
17
序做，比原计划多用亍天。
已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需139天可以
完成，且3个工程队的工效各不相同。
这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。
要注满一池水，单开甲管需要3
小时，单开丙管需要5小时。
要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。
现知
1
池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长
时间后水开始溢出水池？
答案：
练1
1、
（1）需循环的次数
15
_玄>3
111
—（6+帀）x3=5
1
（5
（1）需循环的次数
140
_77>8
-（丄+丄）
（1420丿
14014=5小时
（4）需要的总时间
小时
2
x8+2
3、
（1）需循环的次数
1124
（9苍）_7>3
111
（9+11）X*12
（3）
最后由乙做的时间
12
小时
（4）需要的总时间
33
2X3+4=64小时
练2
1、提示：
甲的效率是乙的2倍
20-2=10天
2
2、提示：
乙的效率是甲的3
3、
2
3、提示：
乙的效率是甲的3
33
1^（1125x3^+3）=21小时
4、
（1）需几个周期
11115
十（一一一）X3=>3
2X5丿4
（2）3个周期后剩下的水
1111
2一（3一5）X=兀
（3）需要的时间
2
111
X3+1+（兀+5）-3=
9”
花小时
练3
1、师傅：
84-（7-4）X7=196个徒弟：
84-（7-4）X4=112个
师傅每小时的个数：
（300+60）十2=180个
徒弟每小时的个数：
（300-60）十2=120个
练4
1、提示：
把6分钟看作一个循环
（1）每循环一次的工作量
117
（24+18）x（1+2）=24
（2）总工作量里面有几个24
73
1宁24=37
（3）3个循环后剩下的工作量
71
1—24%3=8
（4）一共需要的时间
1111
分钟
X3+1+（8—24―也=202
2、提示：
把6分钟看作一个循环
（1）1个循环的工作量
119
（/+亦）X（1+2）=20
92
20=129
91
20X2=L
（4）
一共需要的时间
说明：
2个循环后，是由甲接着干
1
2小时，所以直接用10宁
3、提示：
把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
19
x（3+3+3）=—
5050
12天中乙的工作量
1
6ox（5+5）
总共需要的天数
5291
-h（—+）=2
75'506丿
（12天减去最后休息的1天）
12X2—1=23天
52
完成全部任务的75为3月24日
4、提示：
把7天看作一个周期
22
1宁（3X5+3X6）=15
7X15—1=104天
练5
1、提示：
按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2,否则与
23
题意不符。
由此推出丙的效率是甲的3，丙的效率也是乙的4。
122
（1）丙的工作效率1x2=21
238
（2）乙的工作效率21宁3=63
12817
（3）甲、乙、丙三队合做的天数1*（-+21+63）=2—天
2、提示：
按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1,否则与题意矛
13
盾。
由此可以推出丙的效率是甲的2，乙的效率是甲的3。
111
（1）丙的效率10x2=20
1113
（2）乙的效率一X（1—-X-）=—
10'22'40
1134
（3）甲、乙、丙三队合做的天数1*（10+20+40）=4g天
122
2=4，丙的效率是乙的3，进而推出甲、乙、丙
3、由题意可以推出，丙的效率是甲的工作效率的比是4:
3:
2。
74十
宁（1宁139%4+3+2—31天
2
4、提示：
每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过3，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。
2
（1）水池里的水超过3时需要几个循环
21111130
6丿456丿7
（2）循环5次以后，池中水占
1/1111、3
6+（3-4+5一6）x5=4
（3）总共需要的时间
4X5+（1—4）十3—2。
4小时
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