最新整理品质管理全套资料制程能力分析doc.docx

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致遠管理學院

工業管理學系

課程：

實驗設計

主講人：

林東成助理教授

時間：

20xx/9/**~20xx/1/**

參考資料

1.DouglasC.Montgomery,DesignandAnalysisofExperiments,5thEdition,JohnWiley&Sons,Inc.

2.黎正中譯，實驗設計與分析，高立圖書有限公司。

3.白賜清編著，工業實驗計劃法，中華民國品質學會發行。

4.吳玉印著，新版實驗計劃法，中興管理顧問發行。

5.陳耀茂譯，田口實驗計劃法，滄海書局。

6.吳柏林著，現代統計學，五南圖書出版公司。

7.陳順宇、鄭碧娥著，統計學，華泰書局。

8.王文中著，Excel於資料分析與統計學上的應用，博碩文化股份有限公司。

授課目錄

第1章簡介

第2章簡單比較性的實驗

第3章一因子實驗：

變異數分析

第4章隨機化集區，拉丁方陣，與相關設計

第5章因子設計簡介

第6章2k因子設計

第7章2k因子設計的集區劃分與交絡

第8章2水準部份因子設計

第9章3水準與混合水準因子和部份因子設計

第10章配適迴歸模式

第11章反應曲線法與其他製程最佳化法

第12章有隨機因子之因子實驗

第13章套層及分裂圖設計

第14章其他設計與分析題目

第7章2k因子設計的集區劃分與交絡

Chap7.BlockingandConfoundinginthe2kFactorialDesign

7-1簡介（Introduction）

有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗，如原料不足、或故意改變實驗條件，以確保處理於實際上可能遇到的狀況能一樣地有效（i.e.,即穩健的）。

此種情況用到的設計技巧是集區劃分（Blocking），本章集中於2k因子設計的一些特殊的集區劃分技巧。

7-2集區劃分一個反覆的2k因子設計

（BlockingaReplicated2kFactorialDesign）

假設2k因子設計反覆n次，此情況與第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個集區，而每個反覆就在集區內，在各個集區（或反覆）的試驗以隨機順序進行。

**************

範例7-1

考慮在6-2節所描述一反應濃度（ReactionConcentration）和觸媒量（Catalyst）對化學反應過（製）程合格率效果的研究。

假設單一批原料只容納4次試驗，所以，需要3批原料來進行3次反覆，其中每一原料批對應到一個集區，

SSblock=Bi2/4-y•••2/12=6.50

由ANOVA分析，集區效果不顯著。

****************

7-32k因子設計的交絡（Confoundinginthe2kFactorialDesign）

許多情況是在一個集區裡進行一次完整的2k因子設計是不可能的。

交絡（Confounding）是一個設計技巧，可安排一個完整的因子實驗到數個集區，其中集區的大小是小於一次反覆中處理組合的個數，此技巧造成某些處理效果（通常指高階交互作用）的資訊成為無法區分於（In-distinguishablefrom）或交絡於（Confoundedwith）集區效果。

本章集中於2k因子設計的交絡系統。

7-42k因子設計交絡於2個集區

（Confoundingthe2kFactorialDesigninTwoBlocks）

假設進行一個未反覆的2k因子設計，22=4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗2個處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區裡。

（a）

幾何上視之

（b）置於2集區裡的4個試驗

圖7-12集區之2k因子設計

上圖（a）顯示相對對角的處理組合被安置到不同的集區，圖（b）視出集區1包含處理組合

（1）與ab、集區2包含處理組合a與b，當然，在集區裡處理組合的試驗順序是隨機決定的，且隨機決定集區順序。

則A與B的主效果（與似無發生集區般）為，

A=[ab+a-b-

（1）]/2

B=[ab+b-a-

（1）]/2

A與B均無受到集區劃分的影響，因為上式中各有來自每個集區的一個正的與一個負的處理組合，亦即，集區1與集區2之間的任何差異均被抵消矣。

續考慮AB交互作用效果

AB=[ab+

（1）-a-b]/2

因2個正號的處理組合[ab與

（1）]在集區1裡、而2個負號的處理組合[a與b]在集區2裡，集區效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交絡於集區。

此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出，

處理

組合

因子效果

A

B

AB

（1）

+

-

-

+

a

+

+

-

-

b

+

-

+

-

ab

+

+

+

+

這作法可用來交絡任何效果（A，B或AB）於集區。

如

（1）與b指訂到集區1及a與ab指訂到集區2，則A的主效果將被交絡於集區。

一般是將最高階交互作用效果交絡於集區。

上述作法可用來交絡任何2k設計於2個集區。

建構集區的其他方法

（OtherMethodsforConstructingtheBlocks）

此為利用線性組合，

L=α1x1+α2x2+…+αkxk（7-1）

其中xi是出現在處理組合中第i個因子的水準，與αi是要被交絡的效果中第i個因子的冪次（Exponent）。

對2k系統，αi=0或1，及xi=0（低水準）或xi=1（高水準）。

式（7-1）稱之為定義對比（DefiningContrast），會產生相同L（Mod2）的可能值只有0與1，如此指訂2k個處理組合正好到2個集區裡。

茲考慮23設計而且交絡ABC於集區，在此x1對應A、x2對應B、x3對應C，與α1=α2=α3=1，因此，對應於ABC的定義對比為，

L=x1+x2+x3

因此處理組合

（1）在（0,1）的符號表示下為000；所以，

L=1（0）+1（0）+1（0）=0=0（Mod2）

同理，處理組合a為100；所以，

L=1

（1）+1（0）+1（0）=1=1（Mod2）

故

（1）與a將分屬不同的集區。

對於其他的處理組合，

b:

L=1（0）+1

（1）+1（0）=1=1（Mod2）

ab:

L=1

（1）+1

（1）+1（0）=2=0（Mod2）

c:

L=1（0）+1（0）+1

（1）=1=1（Mod2）

ac:

L=1

（1）+1（0）+1

（1）=2=0（Mod2）

bc:

L=1（0）+1

（1）+1

（1）=2=0（Mod2）

abc:

L=1

（1）+1

（1）+1

（1）=3=1（Mod2）

所以，

（1）,ab,ac,bc屬於集區1；a,b,c,abc屬於集區2，這與用正負符號表所產生的設計完全相同。

另一種建構這些設計的方法，包含處理組合

（1）的集區稱之為主集區（PrincipalBlock），在此集區裡的處理組合有一個很有用的群理論性質（Group-TheoreticProperty），即它們以乘法Mod2的運算而形成之一”群”（Group），此意謂著主集區內的任何元素[除

（1）外]可由主集區內任2個元素（處理組合）相乘法的Mod2得到，如ABC交絡之23設計在2個集區的主集區，

ab⋅ac=a2bc=bc；ab⋅bc=ab2c=ac；

ac⋅bc=abc2=ab

因此主集區的元素為

（1）,ab,ac,bc。

而另一集區，可由一個非主集區的元素（處理組合）乘以主集區的每一個元素Mod2產生。

其中，b是在另一集區裡，故另一集區的元素為，

b⋅

（1）=b；b⋅ab=ab2=a；b⋅ac=abc；

b⋅bc=b2c=c

其結果與先前得到的一致。

誤差的估計（EstimationofError）

當因子數目很小時（2k，LevelFactor），如k=2或3，通常有必要反覆實驗以獲得一個誤差估計值。

如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，

圖7-3反覆4次ABC被交絡之23設計

此設計總共32個觀測值和31個自由度，有8個集區即7個自由度，此7個自由度分解為ΦA=ΦB=ΦC=ΦAB=ΦBC=ΦAC=ΦABC=1，而誤差平方為反覆與因子效果（A,B,C,AB,AC,BC）之二者交互作用。

考慮視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。

ANOVA---反覆4次且交絡ABC之23設計

變源

自由度

反覆

3

集區（ABC）

1

ABC的誤差（反覆⨯集區）

3

A,B,C,AB,AC,BC各

1

誤差（反覆⨯效果）

18

總和

31

倘實驗資源允許反覆的交絡設計，較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反覆的集區，此方式包括在每個反覆中交絡不同的效果，使得所有的效果都能有一些資訊，此法稱之為部分交絡（PartialConfounding）。

倘k不算太小，即k≥4，且只一次反覆時，實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的，並將其平和合併為誤差。

範例7-2

回顧再續範例6-2，一個化學產品於一壓力槽內生產，在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率（FiltrationRate），4個因子為溫度（A）、壓力（B）、甲醛濃度（C）、與攪拌速度（D），各因子均有2水準，單次反覆。

有興趣於極大化過濾比率。

用此實驗來說明一個未反覆設計集區劃分與交絡的概念，假設24=16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗，實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合，所以一個24交絡於2個集區的設計是適當的，且交絡最高階交互作用效果（ABCD）於集區。

******************

假設二批原料中有一批的品質低劣，造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應值減去20，低劣品質原料是集區1與良好品質原料批為集區2。

計算結果，

◎4個主效果、6個2-因子交互作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。

當劃出這些效果估計值的常態機率圖時，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。

◎ABCD交互作用效果的估計值原為1.375，但在此實驗其估計值為-18.625，因ABCD交絡於集區，ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區集效果（-20），即ABCD=1.375+（-20）=-18.625。

集區效果亦可由二個集區平均反應差得之，即

集區效果==406/8–555/8=-18.625

所以，此效果真正估計=集區+ABCD

◎此實驗倘非以集區方式進行，且前8次試驗均減去20，則結果可能會非常不同。

7-52k因子設計交絡於4個集區

（Confoundingthe2kFactorialDesigninFourBlocks）

建構一個交絡於4個集區而每個集區有2k-2個觀測值的2k因子設計是有可能的，這種設計對於因子個數k≥4而集區大小卻相當小時特別有效。

茲考慮25設計，如每個集區只能容納8次試驗，則需要4個集區，選出2個效果交絡於集區，如ADE與BCE，此二個效果所對應之定義對比為，

L1=x1+x4+x5

L2=x2+x3+x5

則每一個處理組合會產生一個L1（Mod2）與L2（Mod2）的特定成對值，即（L1,L2）=（0,0）,（0,1）,（1,0）,或（1,1），產生相同的（L1,L2）值的處理組合將被指訂至同一集區，如，

L1=0,L2=0⇒

（1）,ad,bc,abcd,ab,ace,cde,bde

L1=1,L2=0⇒a,d,abc,bcd,be,abde,ce,acde

L1=0,L2=1⇒b,abd,c,acd,abce,ae,bcde,de

L1=1,L2=1⇒e,ade,bce,ab,abcde,bd,ac,cd

圖7-5交絡ADE,BCE與ABCD之4個集區之25設計

仔細思量，除了ADE與BCE外，尚有另一個效果被集區交絡，因4個集區有3個自由度，而ADE與BCE各有1個自由度，明顯地另有一個1個自由度的效果亦被交絡矣，此即ADE與BCE的廣義交互作用（GeneralizedInteraction），其定義為ADE與BCE的乘積Mod2，因此，ADE與BCE的廣義交互作用為（ADE）（BCE）=ABCDE2=ABCD，且亦交絡於集區。

注意，對某個特定集區裡的任何2個效果的符號相乘（e.g.,ADE與BCE）帶來該集區另一個效果的符號（即ABCD）。

因此，ADE，BCE與ABCD都是交絡於集區。

由25設計的正負符號，可知處理組合被指派至集區如下

處理組合在

ADE的符號

BCE的符號

ABCD的符號

集區1

-

-

+

集區2

+

-

-

集區3

-

+

-

集區4

+

+

+

在上節7-4中提及之主集區的群理論性質仍成立，主集區裡的2個處理組合的乘積產生主集區裡的另一個元素，亦即，如，

ad⋅bc=abcd；abe⋅bde=ab2de2=ad

要建構另一集區，則選一個不在主集區裡之處理組合（如b）與主集區裡的處理組合乘以b，則，

b⋅

（1）=b；b⋅ad=abd；

b⋅bc=c；b⋅abcd=acd

如此會產生集區3裡之8個處理組合。

實務上，主集區可以從定義對比與群理論性質得到，而其他集區之處理組合由上述方法決定。

建構一個4集區的2k設計的一般步驟：

◎選擇2效果與集區交絡，自然會有第3個效果（即是前2個的廣義交互作用）與集區交絡，

◎利用2個定義對比（L1,L2）與主集區的群理論性質來建構所要的設計，

◎在選擇交絡於集區之效果時務必謹慎，以免有興趣的效果被交絡。

犧牲3因子交互作用的資訊比犧牲2因子交互作用更合意

（ADE與BCE⇒ABCD；ABCDE與ABD⇒CE）

7-62k因子設計交絡於2p個集區

（Confoundingthe2kFactorialDesignin2pBlocks）

上述方法可擴至建構一個交絡於2p（p

另外，恰有2p-p-1個其他效果亦被交絡，即初選之p個獨立效果的廣義交互作用，當然，選出p個獨立交絡效果時須謹慎，以免一些有興趣之效果被交絡矣。

這些設計之統計分析，即所有效果平方和的計算如無集區劃分般，而集區平方和則為被交絡效果平方和之和。

假設建構一個26設計而交絡在23=8個集區，且每個集區有8個試驗，茲選ABEF,ABCD,與ACE作為p=3個獨立將被集區交絡之效果，同時亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡，即這些為3個（ABEF,ABCD,與ACE）之廣義交互作用，則為，

（ABEF）（ABCD）=A2B2CDEF=CDEF

（ABEF）（ACE）=A2BCE2F=BCF

（ABCD）（ACE）=A2BC2DE=BDE

（ABEF）（ABCD）（ACE）=A3B2CDE2F=ADF

7-7部份交絡（PartialConfounding）

除非實驗者有一個誤差的事先估計值，或假設某些交互作用可忽略，否則必須反覆設計以得到一個誤差的估計值，

如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，

圖7-3反覆4次的ABC被交絡之23設計

由上圖（7-3）與其ANOVA表知，交互作用ABC的資訊是完全喪失，因每次反覆中ABC均與集區交絡，此稱之為完全交絡（pletelyConfounded）。

圖7-6部份交絡之23設計

如上圖（7-6），仍是23因子實驗，反覆設計4次，但每次反覆所交絡的交互作用卻不一樣，如，

◎反覆1交絡ABC、反覆2交絡AB、反覆3交絡BC、反覆4交絡AC，

◎ABC的資訊可由反覆2,3,4資料得知、AB的資訊可由反覆1,3,4資料得知、AC的資訊可由反覆1,2,4資料得知、AC的資訊可由反覆1,2,3資料得知。

稱此可得到3/4資訊的交互作用，因為4次反覆中有3次反覆無被交絡，Yates（1937）稱比值3/4為交互作用的相對資訊（RelativeInformationfortheConfoundedEffect），此設計稱之為部分交絡（PartialConfounding）。

另其ANOVA表如下，

ANOVA---反覆4次且比值3/4交絡之23設計

變源

自由度

反覆

3

反覆內的集區[或ABC（rep.1）+AB（rep.2）+BC（rep.3）+AC（rep.4）]

4

A,B,C各

1

AB（從反覆1,3,4）

1

AC（從反覆1,2,3）

1

BC（從反覆1,2,4）

1

ABC（從反覆2,3,4）

1

誤差

17

總和

31

***************

範例7-3---一個部份交絡之23設計

考慮範例6-1，探討有關碳酸百分比（A）、操作壓力（B）、速度（C），對碳酸飲料充填高度影響之研究，假設每一批糖漿只能測試4種處理組合，因此，每一次23設計之反覆須在2個集區裡進行，計反覆2次，反覆

交絡ABC、反覆

交絡AB，其資料如下，

經ANOVA分析，三個主效果均顯著的。

**********************