有限元原理与应用复习1docx.docx
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1•何谓有限元法，其基本原理是什么？
有限元法是求解一类偏微分方程和常微分方程的数值分析方法。
其基本原理是：
1）将连续的求解区域离散成有限多个单元，在每个单元中设定有限多个节点，将连续体看作是只在节点处相连接的一组单元的集A体；2）选定场函数的节点值作为基本未知量，单元内的场函数值通过节点处的值川假定的插值函数表示;3）通过和原问题数学模型等效的变分原理或加权余量法,建立求解基木未知量的代数方程组或常微分方程纟II，从而将一个连续域中的无限自山度问题化为离散域中的有限自山度问题。
求解后利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元内部以至整个集合体上的场函数。
2.何谓单元、载荷、边界条件？
整体结构离散中划分出的每一小块体称为单元。
常见的单元类型有线性单元、三角形单元、四边形单元、四血体单元和六血体单元。
单元顶点及插值点称为节点。
求解区域所受外界就加的力称为载荷，包括集屮载荷和分布载荷等。
在不同学科屮，载荷的含义有所不同。
边界条件是指求解区域边界上所受到的外加约束。
如结构分析中的位移约束，热分析中边界上给定的温度、热流等条件。
3.写出有限元法列式的一般形式，说明各项（包括元素）的含义。
应川有限元法，求解问题的数学模型被转化为一组线性代数方程组，川矩阵表示为Ku=F，其屮K称为刚度矩阵，u为待求节点场函数向量，F为节点载荷向暈。
总体刚度矩阵由单元刚度矩阵叠加而成。
以结构分析为例，单元刚度矩阵中元素心的含义是单元节点第j自山度产生单位位移引起的
第i自由度方向的力，总体刚度矩阵中元索•的含义是节点整体编号屮各单元在同一节点第j自由度产生单位位移引起的第i自山度方向力的和，也就是有公共节点的各相关单元对这一节点都有“贡献。
4.说明有限元法与有限差分法的异同并列举其它的数值求解方法。
相同之处：
1）两者都是求解偏微分方程和常微分方程的数值分析法；
2）都要对求解区域进行离散；
3）最终的形式都是一组以节点场函数值为未知变量的线性代数方程组。
不同之处：
1）形成以节点场函数为未知量的线性代数方程纽•的理论不同。
有限元法是通过变分原理或加权余量法等方法实现；而差分法是将控制方程直接应用在节点上，用节点处的差商代替导数，得到以节点处场函数值为未知量的线性代数方程组，结合给定的边界条件进行求解；
2）区域离散方法不同。
有限差分法用与坐标线（而）平行的线（而）划分区域，对复杂形状区域较难处理；有限元法划分区域的单元形状灵活，适于处理复杂形状区域；
其它的数值求解方法：
如有限容积法，有限分析法。
5.ANSYS软件主要有那几部分组成，主要能解决哪些工程领域的问题？
ANSYS软件主要由前处理模块、分析计算模块和后处理模块组成。
ANSYS软件是人型多物理场分析求解软件，主要应用领域：
机械、化工、铁路、电子、航牢航天、能源动力等。
主要功能模块包括：
1）结构静力分析；2）结构动力学分析；3）结构非线性分析；4）运动学分析；5）热分析；6）电磁场分析；7）流体动力学分析；8）声场分析；9）压电分析；10）偶合场分析:
11）高级分析模块，如优化设计等。
6.应用ANSYS软件求解物理问题的-•般步骤有哪些？
1）建立模型指定文件名和分析问题标题；定义单位制；定义单元类型；定义单元实常数；定义材料特性；创建儿何模型；划分网格牛成物理模型。
2）加载和求解定义分析问题类型和分析选项；沌加约束和载荷；指定载荷步选项；求解。
3）查看结果并进行分析应用通用后处理器POST1和吋间J力程后处理器检查和分析结杲
7.ANSYS软件结构分析模块主要有那几类单元，各有哪些特点？
主要有：
集中质量单元,杆单元，梁单元，连续实体单元，壳单元和组合单元等。
这些单元均有二维和三维之分。
另外，质量单元，杆单元，梁单元，壳单元，组合单元除有材料属性外还有儿何或其他属性，如质量，梁的截面积，惯性矩等，这些参数须在材料实常数屮定义。
&在ANSYS软件中划分网格应注意哪些问题？
1）对山多种材料，多个零件组成的结构，对不同零件指定不同网格属性：
如通过单元类型,材料类型，材料实常数等区分不同的区域，所划分网格与具体的零件（区域）相对应。
2）网格疏密与所分析物理问题，网格所处位置有关，在被求量变化速率大的地方应作加密处理；3）不同材料区域单元网格尺寸差异不应太人。
9.用ANSYS软件建立几何模型通常有哪两种方法，具体内容是什么。
说明图1所示轴承座结构儿何建模要点。
答：
有两种方法。
一是自下向上的建模方法，该方法利用点、线、面基本图形要素建立模型，二是自上向下的建模方法，该方法利用ANSYS软件提供的基本儿何形体，通过逻辑关系建立几何模型。
图1所示轴承座几何建模耍点：
轴承座关于过孔轴线的乖直而对称，建模时先建立一半的模型，利川镜像生成另一半模型，最后通过合并生成轴承座整体。
轴承座底座为长方体，孔上部为1/4圆柱，下部为反方体，孔通
过1/4圆柱加下部长方体减去中间的圆柱生成，筋通过菱形基图1轴承座
木图形生成。
因此，轴承座可利用自上而下的建模方法创建。
建立圆柱要根据需要旋转局部坐标系，使z轴沿着恻柱轴线方向。
拉筋厚度方向也要沿局部坐标的z轴方向。
1（）.在ANSYS软件屮命令“Add”、“Glue”、“Overlap”的作川是什么，通常在什么情况下使用？
答“Add”、“Glue”、“Overlap”命令是儿何建模中的逻辑命令，“Add”将儿个相关联的、独立建立的模型合并成一个儿何体，在牛成一个完整实体时使用。
“Glue”将儿个相关联的、独立建立的模型粘接起來，彼此还是独立的儿何体，只是在界而上连接起來，川于把不同性质的儿何体关联起来，模型划分网格后，界而上的节点具有相同的位移或温度。
“Overlap”命令将重叠的几何体在界血处分割，但界血仍粘在一起。
“Overlap”命令具有分割和粘接的功能。
作用下处于说，在所有可
二图2所示为一受轴向拉力作用的阶梯轴，试用最小势能原理建立该阶梯轴的有限元列式。
解：
故小势能原理对叙述为：
在外力和约束平衡状态的弹性体，其总势能为最小，或者能的位移场中，真实位移场的总势能取最小值。
数学描述即总势能的一阶变分为零，而且二阶变分是正定的（大于零）。
对阶梯轴：
71=j（78dv-为
外力作用下的真实位移使：
以=0；
龙是该问题的泛函。
位移与应变的关系为：
£
du
应力•应变的关系为：
a=Ec（本构关系）设位移模式：
u=ax+a2x
X=0,ll—W•对第①单元:
f
X=le,u=u.
得:
Bu；
le
ui
u：
对阶梯轴划分单元:
龙=£［扣加一工也;
对典型单元：
e=［如加一工恥；；
71
11）
x
71
BTEBuAdx-uTF
1
ui
LlJ
Adx_（旳_%）
真实位移使总势能取极小值（阮=0）,对单元也有（阮"=0）o
刃=0,应使竺=0,空=0。
du{
必_（1,0）
得,詈=。
0
合并上两式:
keue=Fe；
认乂；
整体刚度阵的装配：
的）疋）0、
扩展单元刚度阵，云⑴二疋）毘）0
000
~
（1）~
（2）
总体刚度阵,k=m
整体有限元列式：
ku=F；1（=（络上2，"3）丁，F=（百,0,九）丁o
~T~T~
Fe=ke8e,ke=e
EAeEAe
整体刚度阵的装配:
，节点处：
川矩阵表示为：
丿节点处：
0=44
；或者：
b=kT,疋为热导矩娜
扩展单元刚度阵，严=疋）也0O
000\丿
~
（1）~
（2）
总体刚度阵，
整体有限元列式：
kxS=F；》=（络上2,如『，F=（耳,0迅
三图3所示为一•双层平琏导热问题，试用工程法建立求解该双层平壁温度场的有限元列式。
若Tn=40°C,7；=15°C,人=0・35W/（m.K）,厶=25mm,=0.2W/
（m.K）,“=5mm,用建立的有限元列式求平壁1一半厚度处的温度和通过平壁传递的热量。
解：
节点热流与单元节点温度的关系
单元有限元列式的集结：
整体热导矩阵可通过单元热导矩阵扩展或节点热流平衡方程求出。
对节点1列热流平衡方程：
丁¥）=丁2，呼=丁3‘
节点1:
疋比+疋忆=-外;
节点2：
戏比⑴+麗’⑴+席）£•⑵+他⑵=_0.
节点3：
忒）£⑵+他⑵=-0：
；
用矩阵表示为:
或,
0）
12
小）
K11
M小）+於2）
K21K22十
0疋）
T
AA
0
購）
疋）
入A]石令
1
1\11
人人2
入A）
JJ
节点上热流：
处未知，0；=0,
吨
一慎
、
-K
T2
>=<
-阿
—e;
0,未知。
边界处：
x=O,T=Tn,x=lx+/2,
M'
川置1法求未知节点的温度:
r1
k⑴
K21
0
\
热流:
恥=02=0；=
0
小）+於2）於2）rvIrv|jrv|
1
代入给定数据:
40
5
/
\.
\7
15
-52o00
-o
+
40
.35025oor
05o
-o+
5
02
-on\
48
4021.15
zfl\
0=空（7;_7；）=空1（30_14）=160“，板1一半厚度处的温度为（Tn+T2）/2二22°C。
四、川有限元法计算二维平而应力问题。
计算区域用三角形网格划分，典型网格如图5所示，单元内位移插值函数釆用线性插值函数u（x,y）=a,+a^x+a^y。
1）通过节点位移值求差值函数系数的表达式；
2）导出用单元节点位移衣示单元内部位移的计算式;
3）应川虚位移原理导出单元刚度矩阵表达式。
解：
1）位移插值函数:
u（x,y）=a】+a2x+a3y；代入节点处坐标和位移值,得
=a〕+a2xi+ayyi；Uj=a}+a2Xj+a^y.；uk=ax+a2xk+a3yk用矩阵表示为：
‘1兀X、
u<
1Xjy}
V
a2
>—V
UJ>
J儿丿
A.
求解得
其中：
^i=xiyk-xkyjf
无开一兀％，a严xy_Xj
bi
1,力
1,儿
1,®
1,忑
1,兀
1,®
=xj~
2）u=-^—（a.+/7.x+cy）
2AV丿
u.+^—（a；-^b.x+c.y\u.+-^—（a,+/?
.z2AV777/72AV
Ni（x,y）ui+N©y^Uj+Nk（x,y）uk
3）根据虚位移原理，有8trF=\\sT（ytdxcly
—
0
8x
a
0
¥
d
d
oy
u
v
1_
8x2Ady2A'
dNi1,dN.—一—勺，
dx2A'
5Ni
dx
8N;
8x
dx
u：
oNi
dNidNi
dydx
8Nj
Sy
込
dx
8Nk
dx
UJ
=B8e
b当一dx2A八dy
2A
_Lb殂=丄
2AA，dy2A
b'巧必齐暮Cjck
=DB8e
将以上格式代入虚功方程式，得
[K]=BlDBtdA
JA
五、耦合场分析常用的方法有哪两种，以图5所示的冷却栅管热应力分析为例说明其中一种耦合场分析的过程。
答：
耦合场分析是指在有限元分析的过程屮考虑了两种或者多种工程科学（物理场）的交义作用和相互影响（耦合）。
耦合场分析的方法有序贯偶合法和直接偶合法。
序贯偶合法是按照顺序进行两次或更多次的相关分析。
它是通过把第一次场分析的载荷作为第二次场分析的载荷來实现两种场藕合。
例如序贯热应力分析是将热分析得到的节点温度作为体力载荷施加在后续的应力分析中來实现耦合。
直接偶合法利用包含所有必需的口由度耦合单元类型，仅通过一次求解就能得出耦合场的分析结果。
在这种情形下，耦合是通过计算包含所有比西想的的单元矩阵或单元载荷来实现。
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