完整word版大一下册高数习题册答案第9章.docx
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完整word版大一下册高数习题册答案第9章
第9章多元函数的微分法及其应用
1
、设f（x,y）x2
多元函数概念
y2,（x,y）
求:
f[（x,y）,y2].
答案：
f（（x,y）,y2）（x2
2\2
y）
x42x2y22y4
1、
、求下列函数的定义域:
f（x,y）-x2（1y）
1
x2
2
{（x,y）|y
x21};
2、
.y
zarcsin
x
求下列极限：
2.
xsin
、lim2
（x,y）（0,0）x2
{（x,y）|yx
x
0}；
（0）
四、
2
证明极限丿叫右心
证明：
当沿着x轴趋于（0,0）
时，极限为零，当沿着
趋于（0，0）时，极限为-
2
二者不相等，所以极限不存在
五、证明函数f（x,y）xysin茯七，（x,y）
0,（x,y）
f（x,y）为初等函数，连续
（0,0）
（0,0）
在整个xoy面上连续。
证明：
当（x,y）（0,0）时，
1
limxysin0
（x,y）（0,0）J22
vxy
f（0,0），所以函数在（
。
当（x,y）（0,0）时,
0,0）也连续。
所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设zxy2f（xy）且当y=0时zx2，求f（x）及z的表达式.
解：
f（x）
2=x
x，z
x22y22xyy
§2
偏导数
1、设z=xy
y
xex
，验证
zz
xyxyz
xy
yy
y
y
证明：
丄
ye
x工ex
，—xex，x—
z匚
yxyxyxexxyz
x
x
yx
y
2、求空间曲线
1在点（—,-,1）处切线与y轴正向夹角
（一）
y224
2
3、设f（x,y）xy（y1）2a如;求fE
（1）
4、设u
xl求-
u
u
u
x
y
z
z
z
解：
上
z1
y
x
u
zy.
2xInx
x
y
y
y
z
12
5、设ux2y2z2，证明：
U
x
u
z
z
xylnx
y
2u2
6判断下面的函数在（0,0）处是否连续？
是否可导（偏导）
?
说明理由
f（x,y）
0,
xsin二x
x2
x2
limf（x,y）0f（0,0）
x0
y0
连续;
fx（0,0）
xim0
0
1
sin—2
x
不存在,
fy（0,0）lim0
八y0y0
7、设函数f（x,y）在点（a,b）处的偏导数存在，求
limf（ax,b）f（ax,b）
x0
（2fx（a,b））
3全微分§
1、单选题
（1）二元函数f（x,y）在点（x,y）处连续是它在该点处偏导数存在的
（A）必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f（x,y），下列有关偏导数与全微分关系中正确的是
（A）偏导数不连续，则全微分必不存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续
2、求下列函数的全微分：
（B）偏导数连续，则全微分必存在
（D）全微分存在，而偏导数不一定存在
1）z
y
dzex
2）z
3）u
sin（xy2）
y_
xz解:
解：
dz
y
dux
z
*
x
22cos（xy）（ydx
「•1
xdy）
2xydy）
y
.y_
dxxzlnxdy2xzlnxdzzz
3、设zycos（x2y）,求dz
（0,4）
解:
dzysin（x2y）dx（cos（x2y）
2ysin（x2y））dy
dzKO^rdx2dy
z
4、设f（x,y,z）2
x
求：
df（1,2,1）
—（2dx4dy5dz）
25
5、讨论函数f（x,y）
（x2
1
）sin
/122
xy
的连续性、偏导数、
（x,y）（0,0）在（0,0）点处
（x,y）（0,0）
可微性
j
x2
解:
（J）m（0,0）（X2y2）sin^
f（0,0）
所以f（x,y）在（0，o）点处连续。
fx（0,0）lim
（x,y）（0,0）
f（x,y）0
.（x）2（y）2
4
f（x,0）f（0,0）
0,fy（0,0）
lim
（x,y）（0,0）
f（0,y）f（0,0）0
0，所以可微。
、rV
1、设zu,u
sint,v
多元复合函数的求导法则
et求dz
e，求一
dt
解:
字cost.（si刖
Insint（sint）ed
2、设z（xy）2x3y,，
z（2x3y）（x
3、设Z
xnf&），
4、设z
f（x2
解:
—
x
2xf1
y
=2f1
4xyfn
2x3y1
y）3（x
f可微，证明
\2x
y）
3yln（x
z
2y-
y
y）,
nz
2
y,2xy），其中f具有二阶连续偏导数，求
2yf2
2xf2
2
—2x（fn（2y）f122x）xy
4（x2y2）f124xyf22
2
z
2
X
2
z
2
y
2f22y（f21（
2y）f222x）
5、
解:
6、
解:
7、设Z
其中
证明:
2
z
2
y
得:
2fi
4xf118xyf12
f（xy,f）
4f2
x
y（fn
F（x,y,z）,
du
dx
2z
4yf22,2
y
2fi
4yf8xyf12仁2
4xf22
/X、
g（—），
y
1
g
y
其中
12
f具有二阶连续偏导数、
g具有二阶连续导数，求
2（f12x
x
22
-）
x
f（x,y）,y
（x），求字
dx
F1F2（x）
u
z（u,v），且变换
v
F3（fx
x
z具有二阶连续偏导数，求常数
（x））。
2y可把方程6
ay
a
的值
（10
4a
uv
2
z
za-
v
2
z
v2
2
z
-2
x
3）
2z
~2
x
2Tu
（a
2z
=0
化为
2z
2
z
-2
u
（a
uv
2
2）z
uv
2
u
~2
v
2
u
ar
v
5a）（6
uv
2u
a2）2
v
a=3
8、设函数f（x,y）具有连续的一阶偏导数,又，（x）
fx,f[x,f（x,x）]求
f（1,1）=1,f
（1）.和
/
（1）
5隐函数的求导公式§
.dy
1、设ylnyxy，求dx
解：
令F（x,y）ylnyxy，Fx1,Fylny,凹
dx
2、设z
z（x,y）由方程
2x
2
y
2z
yfU）确定，其中
y
“2
22、Z
2xy
z
2xz
（x
yz）—
—
x
y
3、设z
z（x,y）由方程
x
ey
z所确定,
其中f可微，求
z
2
z
zz
z
z
z
xx（1
Z），y1
J
z
xy
x（1z）3
2z
/（1,1）a,
f<（1,1）b
（1）,（a+ab+ab+b3）
1
lny
f可微，证明
4、
2
y
dz
dx
¥0）
解:
令F（x,y,z）F（xy,y
乙xz），则—旦
F1y
zF3
z
Fy
F-ixF2
xFz
F2
XF3
y
Fz
F2XF3
6、
设zf（x,y）由方程z
xyezxy0所确定，
求dz
（
dz
dx
dy）
z（x,y）由方程F（xy,y
z,xz）
F可微,
设
5、
z
y
0所确定,
7、设z=z（x,y）由方程3xyxcos（yz）
z3xy.yin3cos（yz）
2，
x3zxysin（yz）
z3y所确定，求-z,—
xy
zx.3xyln3xzsin（yz）1
2
y3zxysin（yz）
6微分法在几何中的应用§
1、
求螺旋线x
2cost,y2sint,z
3t在对应于t匸处的切线及法平面方程
解:
切线方程为
y、2
2、
法平面方程
2
x
求曲线
z2
解：
切线方程为
2（x
x2
22
求曲面2x3y
解：
切平面方程为2（x
x1
及法线方程——
2
3、
z2
.2）.2（y.2）
3（z
4
2
z
1）
50
在（3,4，5）
处的切线及法平面方程
y4
3
9在（1，
z5
0
-1，2）
3（y1）2（z
z2
，法平面方程：
4x3y0
处的切平面及法线方程
2）0
y
3
4、设f（u,v）可微，证明由方程f（axbz,aybz）0所确定的曲面在任一点处的切平面与定向量平行
证明：
令F（x,y,z）f（axbz,aybz），贝y
Fx
f1a,Fy
f2a,Fz
bf1bf2,n（f1a,f2a,bf1bf2）
n（b,b,a）
2
5、证明曲面x3
方和为a2
0，
2
y3
所以在（
2
z3
x°,y°,z°）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。
2
a^（a
0）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平
证明：
令F（x,y,z）
2
y3
2
z3
2
a3，则Fx
-2-
3,Fy-y3,Fz
（0,0,0）
7方向导数与梯度
11
在任一点X0,y0,Z0处的切平面方程为X03（xX。
）y。
列yy。
）z。
列zZ0）
121212
在在三个坐标轴上的截距分别为x03a3,y0sa3,z^a3,在三个坐标轴上的截距的平方和为
0）处的切平面都通过原点
证明曲面zxf（―）上任意一点M（x0,y0,z0）,（x0
x
7、设F（x,y,z）具有连续偏导数，且对任意实数t,总有F（tx,ty,tz）tkF（x,y,z）k为自然数，试证：
曲面F（x,y,z）=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明:
F（tx,ty,tz）tkF（x,y,z）两边对t求导，并令t=1
xFxyFyzFzkF（x,y,z）
设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
1、
2
设函数f（x,y）x
2）在点（1，3）处沿着方向
解：
梯度为gradf（1,3）
f
l
（1,3）cos
2、
解:
xy
2
y，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
i5j：
5sin,方向导数达到最大值的方向为
s（1,5），方向导数达到
（1,5）。
2
zx在（1，2，-1）处沿方向角为
最小值的方向为
2
求函数uxy
方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
33
1，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向
2
s
2
yz
600
90°
1500的
:
方向导数为u
l
（1,2,1）
gradu（1,2,1）2i5j
3k，此时最大值为
23
求函数uxyz在（1，1，
向（对应于t增大的方向）的方向导数。
解:
:
—y
x
3、
-1）处沿曲线x
u
l
t,yt2,z
（1,2,1）
38
3
t在（1，1，1）处的切线正方
23u
z,—
y
u
l
In（y2
2x
222>
xyzy
2•2一gradu（1,1,1）-i-j
33
向导数为
4、求函数U
解:
:
—
x
（1,1,
1）
z2
3u22
2xyz,3xyz，
z
4
■14'
2
x）在（1，1，-1）
u
（1,2,3），
处的梯度。
2y
x2y2z2,z2.
k
该函数在点（1，1，-1）处的方
2z
222，
xyz
Fx（Xo,yo,zc）（xxg）+Fy（Xo,yo,zc）（yyo）+Fz（xo,yo,Zo）（zZo）=O此平面过原点
§8多元函数的极值及求法
1求函数f（x,y）3x23y22x2y2的极值。
答案：
（
11
（1，1）极小值点
33
2•求函数f（x,y）x2y22lnx18lny的极值
答案：
极小值f（1,3）1018ln3
3.函数f（x,y）2x2axxy22y在点（1,1）处取得极值，求常数a（-5）
4、求函数z
解：
x2y21在条件xy30下的条件极值
F（x,y,）x2y21（xy3）
Fx0“22、+11
（,），极小值为-
Fy0332
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/
平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、在球面x2y2z25r2（x0,y0,z0）上求一点，使函数
f（x,y,z）InxIny3lnz达到极大值，并求此时的极大值。
利用此极大值
证明a,b,c有abc327（abc）5
5
证明：
令Llnxlny3lnz（x2y2z25r2）
r,z-3r。
所以函数
令丄0,丄0,丄0，x2y2z25r2解得驻点xy
xyz
f（x,y,z）
lnxln
y3lnz在x
ln（3.3r5）。
3
即xyz
3..3r5
r,z.3r处达到极大值。
极大值为
222
2（z2）327（r2）527（-y—）5，令
5
22
xa,y
b,z
c,得abc3
27（
abc、5
7、求椭球面
1被平面
x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的
长度
解：
Fx2
1）2（xyz）
2
1x
Fx
2x
2
0
3
Fy
2y
1y2
0
Fy
2z
2
1z2
0
2
2
x
y
2.
z1
3
2
x
y
z0
2z
2y
x2
1（T
3222
，y，z
2（3J'2J2（1J
2222
（xyz）d
1
6
长半轴
11,13
、选择题：
（每题
1、
设有二元函数f（x,y）
B、
c、
lim
（x,y）（0,0）
lim
（x,y）（0,0）
lim
（x,y）（0,0）
lim
（x,y）（0,0）
第八章
2分，共14分）
2
xy
24,
xy
0,
f（x,y）存在；
6'短半轴
自测题
（x,y）（°,。
），则
（x,y）（0,0）,
2、
函数
A、
C、
3、
函数
5、
6、
7、
f（x,y）不存在;
f（x,y）存在，且
f（x,y）存在，且
f（x,y）在（0,0）处不连续;
f（x,y）在（0,0）处连续。
f（x,y）在P0（x0,y0）各一阶偏导数存在且连续是必要条件；充要条件；
B、充分条件：
既非必要也非充分条件。
xy
f（x,y）
xy
0,
A、极限值为
C、连续；
zf（x,y）在P0（X0,
（A）必要条件；
（C）充要条件；
点0（0,0）是函数z:
（A）极小值点；
（C）极大值点；
曲面ezzxy
（A）2xy4
（C）x2y4
已知函数
（A）fx
（C）f
、填空题:
1、
（x,yl{m（0,0）
y,
f（x,y）在F0（X0,y0）连续的[]
在（0,0）点处
y
B、极限值为-1:
_D、无极限。
y0）处fx（x,y），fy（x,y）存在是函数在该点可微分的[]
（B）充分条件；既非必要亦非充分条件。
（D）
2
xy的[
3在点P（2,1,0）
0:
0:
uf（t,x,y）,x
（B）
t
（每题3分，共
2■
xsiny
2、设f（x,y,z）
exyz，则
]
（B）驻点但非极值点;
（D）最大值点。
处的切平面方程是
（B）
（D）
2xyz
2xy5
（S,t）,y
（S,t）均有一阶连续偏导数，那么
（D）
18分）
exyz（13xyzx2y2z2）
3、设f（x,y）
4、设z
5、曲线
6、曲线
（x
2
y
2
x
2
x
2x
sin（xy）
y
0,
2y）x，则在点
xy
0则fx（0,1）（
xy0,
（1,0）处的全微分.dz
（dx
2dy）
三、计算题
1、设f（x,y）
x
在点p0（1,1,1）处的切线方程为（z
2
y
4y
2z
6z
（每题6分）
xln（x2
fx（x,y）
In（x2
2、设f（x,y）
Inx
3xx
在点（1,1,1）处的切线方程为（—
4-2
#）
），求f（x,y）的一阶偏导数x2
x
求此函数在点
Fo到F（2,1）方向的方向导数
（df
3、设
解:
2z
2xf1
4、设
f（x,y）
x2
f（x,0）
lim
x0
当（x,y）
fx（x,y）
fy（x,y）
fy（x,y）22xy2
xy
F0（1,1）处的全微分
并求该函数在该点处沿着从
（1,1）dx
f具有各二阶连续偏导数，求
-dy
2
2z
f
「5）
2xf11
yf12
2f22
x
2z
f（0,0）
x0
（0,0）时，有
x
：
'22
xy
y
、x2y2
_21
ysin—
x
0,
xsinlim
x0
x2
fx（x,y）和fy（x,y）。
1
~2
红不存在,
x
1
sin
t22
xy
1
sin
/22
xy
fx（0,0）不存在，同理,
2x
372COS（xy）
2y_
3/2
y）
（x2
1
22
xy
1
COs~22
xy
fy（0,0）也不存在。
5、设z
f（x,y）由方程z
x
zxy
ye0所确定，求
dz
（dzdxdy）
6、设z
f[（x）y,（y）
x]，
f具有连续的二阶偏导数，
J
2
可导，求一-
z
2
xy
z
f1（x）f2
（x）[fnf12（y）][
f21
f22（y）]
x
xy
（x）f11[（x）
（y）
1]f12（y）f22
5x
7、设
xy
2
yu
2
u
8、设u
y
1
r~222
.xyz
0
确定函数
20
4xuu2
22，-
2（u22）
2yxy
2，—
u
fC.X2y
u（x,y）,（x,y），求—
4xy2
22~
2（u22）
2yuxy
~22~
u
解：
记r
x2
f（r）
r
f（r）r1
x
2
u
x
f（r）rf（r）u
x,
y
r2f（r）3[f（r）r
r5
2z2），式中f二阶可导，求
f（r）rf（r）
f（r）]
x2
f（r）r
f（r）rf（r）
2
u
-2
y
f（r）z
3
r
类似地，有
2
u
2
y
2
u
2
z
r2
f（r）
3[f（r）rf（r）]
5
r
2
rf（r）3[f（r）rf（r）]
f（r）rf（r）
f（r）rf（r）
2
u
2
x
2
u
~~2
z
2
u
~~2
y
Ir）
r
四、（io分）试分解正数
r2f（r）3[f（r）r
IOr2
3[f（r）r
3
r
f（r）]
a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。
111
设三个正数为x,y,z，贝Uxyza，记F，令
xyz
111
_——（xyza）
则由
1
x
2
0
x
1
y
2
0
“ra
y
解岀xyz-
3
1
z
2
0
z
xy
za
五、证明题：
（io分）
xyz
f连续可导。
试证：
曲面zxf（yz）上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中证明：
曲面在任一点M（x,y,z）处的切平面的法向量为n1,f,1f
定直线L的方向向量若为s1,1,1，则
ns0，即ns则曲面上任一点的切平面平行于以（1,1,1）为方向的定直线。
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