牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题.docx

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牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题

牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题

牛吃草问题是行测数学运算中的重要问题，我刚开始也不会做，于是在论坛上找了很久，看了很久，终于找到了一种“无敌”解题办法，可对各种“牛吃草”以及到目前为止演变出来的各种新题型通杀。

在此我特别感谢以下给出思路的三位前辈，谢谢！

序章：

问题提出

我将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明

　　例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。

那么它可供21头牛吃几天？

   例2.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

   分析与解：

例1是在同一块草地上，例2是三块面积不同的草地．（这就两者本质的区别）

第一章：

核心思路

[普通解法请参考上面三位前辈的帖子。

我没把链接做好，不好意思]

现在来说我的核心思路：

例1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。

那么它可供21头牛吃几天？

将它想象成一个非常理想化的数学模型：

假设27头牛中有X头是“剪草工”

，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的（27－X）头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。

（请慢慢理解，这是关键）

例1：

解:

设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）

可供27头牛吃6天，列式:

（27－X）·6注：

（27－X）头牛6天把草场吃完

可供23头牛吃9天，列式:

（23－X）·9注：

（23－X）头牛9天把草场吃完

可供21头牛吃几天？

列式：

（21－X）·Y注：

（21－X）头牛Y天把草场吃完

因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3

（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y

（27－X）·6＝（23－X）·9【1】

（23－X）·9＝（21－X）·Y【2】

解这个方程组，得 X＝15（头）    Y＝12（天）

例2：

有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

   解析：

现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这是面积不同时得解题关键）

求【5，6，8】得最小公倍数为120

1、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264（头）牛吃10天．

2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240（头）牛吃14天．

3、120÷8＝15，问题变为：

120公顷草地可供19*15＝285（头）牛吃几天？

这样一来，例2就转化为例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y

（264－X）·10＝（240－X）·14   【1】

（240－X）·14＝（285－X）·Y    【2】

解方程组：

X=180（头）   Y=8（天）

典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

第二章：

“牛吃草”变型

以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下面的例题不再给出详解，略作说明即可。

请大家自行验证。

例3由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

解析：

本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设X、Y一样来理想化，解出的X为负数（无所谓，因为X是我们理想化的产物，没有实际意义），解出Y为我们所求。

例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：

该扶梯共有多少级？

解析：

总楼梯数即总草量，设略

列式（20－X）·5＝（15-X）·6

 X=－10（级）？

？

？

（例3已说过，X是理想化的产物，没有实际意义）

将X=－10代入（20－X）·5得150级楼梯

例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

解析：

原有旅客即原有草量，新来排队得旅客即每天新长出得草量，其它不用我多说了吧。

例6现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。

若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。

问：

若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

解析：

原有水量即原有草量，新匀速注入得水即每天新长出得草量，继续。

。

。

。

。

。

例7一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

解析：

（10-X）*3=（5-x）*8=（n-x）*2。

例8、牧场有一片青草，每天生成速度相同。

现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

解析：

思路，把羊转化为牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草”

[16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y

x=10    y=8

例9.某牧场上长满牧草,,每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头?

解：

设原有Y头，x还是“剪草的”

[17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2

注意：

剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算

（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了

x=9  y=40

例10.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?

（）

A.2/5B.2/7C.1/3D.1/4

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30

x=3   y=9

15-9=6

即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5

例11.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水抽完。

如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？

解析：

（3-X）*24=（9-X）*12得X=-3（不要理会负数，按正3理解好了）

带入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

 一、问题提出 

　　有这样的问题，如：

牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么它可供21头牛吃几周？

这类问题统称为牛吃草问题，它们的共同特点是由于每个单位时间草的数量在发生变化，从而导致时间不同，草的总量也不相同。

　　目前小学奥数辅导教材中对此类问题的通用解法是用算术方法求出每个单位时间草的变化量等于多少头牛的吃草量，再求出原有草的量等于多少头牛的吃草量，从而得出答案。

这种方法在数量之间的关系换算上较麻烦，一旦题目增加难度，或与工程问题结合，转成进水排水问题，常常使人找不到解题的正确思路。

如果用方程思想求解此类问题，思路可以清晰，步骤也可以明确，并形成一个通用的方法。

二、方程解题方法 

　　用方程思路解决牛吃草问题的步骤可以概括为三步：

　　1、 设定原有草的总量和单位时间草的变化量，一般设原有总量为1，单位时间变化量为X； 

　　2、 列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量+一定时间内变化的量）、每头牛单位时间吃草数量 

　　3、 根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X，从而可以求出任意时间的草的总量，也可以求出每头牛单位时间吃草数量。

从而针对题目问题设未知数为Y进行求解。

　　下面结合几个例题进行分析：

      例题1：

一牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。

那么可供21头牛吃几周？

　    解：

第一步：

设牧场原有草量为1，每周新长草X； 

        第二步：

列表格如下:

牛的数量 27 23 21 

时间 

 6 9 Y 

草的总量 

 1+6*X 1+9*X 1+Y*X 

根据每头牛单位时间吃草数量保持不变这一关系列方程求解X 

有方程 （1+6*X） / （27*6） = （1+9*X） / （23*9）  

求出X 然后代到 （1+9*X） / （23*9）  = （1+Y*X）/21*Y 

牛吃草还有多种出题方式,例如 

题目演变之一（青草减少） 

例题2：

由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。

经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。

那么，可供11头牛吃几天？

解：

第一步，设牧场原有草量为1，每天减少草X；  

    第二步，列表如下：

牛的数量 20 

 16 

 11 

时间 5  6 Y 

草的总量 1-5X 1-6X  1-YX  

每头牛单位时间吃草数量  （1-5X）/20*5 （1-6X）/16*6 （1-YX）/11Y 

第三步：

根据表格第四行彼此相等列出方程：

 　　（1-5X）/20*5 = （1-6X）/16*6                

（1）  

　　（1-5X）/20*5 = （1-6X）/16*6                

（1） 

　（1-5X）/20*5 = （1-YX）/11Y                  

（2） 

由

（1）得到X=1/30，代入

（2）得到Y=8（天） 

题目演变之二（排水问题） 

例题3：

有一水池，池底有泉水不断涌出。

要想把水池的水抽干， 10台抽水机需抽 8时，8台抽水机需抽12时。

如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

　解：

第一步：

设水池原有水量为1，每小时泉水涌出X； 

　　第二步：

列表格如下：

抽水机数量  10  8 6  

时间  8 12  Y  

水的总量 1+8X 1+12X 1+YX  

每台抽水机单位时间抽水数量 

 （1+8X）/10*8 （1+12X）/8*12 （1+YX）/6Y 

第三步：

根据表格第四行彼此相等列出议程：

（1+8X）/10*8=（1+12X）/8*12  

（1） 

（1+8X）/10*8=（1+YX）/6Y  

（2） 

由1得到X=1/12，代入

（2）得到Y=24（小时） 

题目演变之三（排队问题） 

例题5：

某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，若同时开5个检票口则需30分钟，若同时开6个检票口则需20分钟。

如果要使队伍 10分钟消失，那么需同时开几个检票口？

（ 

　　解：

第一步：

设开始检票之前人数为1，每分钟来人X；  

  　  　第二步：

列表格如下：

检票口数量 5 6 Y 

时间 30 

 20 10  

人数总量 1+30X  1+20X 1+10X  

每个检票口单位时间检票数量  （1+30X）/50*30 （1+20X）/6*20 （1+10X）/10Y 

  第三步：

根据表格第四行彼此相等列出方程：

  　　（1+30X）/5*30 = （1+20X）/6*20                  

（1） 

　　（1+30X）/5*30 = （1+10X）/10Y                  

（2） 

　　由

（1）得到X=1/20， 代入

（2）得到Y=9（个）  

题目演变之四（数量上限问题） 

题目类似 :

 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天,要使这片草地上的草永远吃不完，至少可以放几头牛？

（晕哦 类似可持续发展问题） 

解答:

最多可以供多少牛吃,其实换言之,就是永远不要动原有草量（因为如果每天草的增量不够,只要吃一份的原有草量,就总有一天会吃完）,每天的牛刚好吃完草的增量就可以,牛的数量就是牛的最大数值 

那么从上可以解得 

x+20y=20*10 

x+10y=15*10 

x为原有草量 

y为每天新增草量 

解得y=5 

所以最多只能供5头牛吃,可以永远吃不完草场的草 

题目演变之五（宇宙超级霹雳无敌简便方法）  

内容:

我做了点小修改,原来的公式也许有人不明白 

核心公式:

草场草量=（牛数-每天长草量）*天数 

例如:

10牛可吃20天,15牛可吃10天,则25牛可吃多少天?

解:

可用公式,设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天 

则（10-X）*20=（15-X）*10=（25-X）*N 

可得X=5,Y=5 

编者解析:

这里设的是一头牛一天吃的草为单位 1 . 

而（10-X）*20 这个代表的是 草场 最初始的草量  

他的意思是 X头牛每天负责把新长出来的草吃掉,那么草场相当与没长草....... 

剩下 10-X 头牛  就负责吃 草场 初始草 （类似分工合作性质）... 

那一天就吃 10-X 单位的草 吃了20天吃完    15-X  头牛吃了  10天 

就可以算出X了 

不知道 大家明白么?

题目演变之六（漏水问题） 

题目:

一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果10人淘水，3小时可淘完；5人淘水8小时可淘完。

如果要求2小时淘完，要安排多少人？

分析：

这道题看起来与“牛吃草”毫不相关，其实题目中也蕴含着两个不变的量：

“每小时漏水量”（相当于草的生长速度）与“船内原有的水量”（相当于草地上原有的草量）因此，这道题的解题步骤与“例1”完全一样

牛吃草问题概念及公式　　牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

　　1）设定一头牛一天吃草量为“1”

　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

牛吃草

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

　　这四个公式是解决消长问题的基础。

　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。

牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。

正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。

由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

　　这类问题的基本数量关系是：

　　1.（牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。

　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

　　多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

“牛吃草”问题分析

　　华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员姚璐

　　【华图名师姚璐例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？

　　A.3B.4C.5D.6

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天

　　根据核心公式代入

　　（200-150）/（20-10）=510*20-5*20=100100/（25-5）=5（天）

　　璐例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？

　　A.20B.25C.30D.35

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，

　　根据核心公式代入

　　（20×10-15×10）=510×20-5×20=100100÷4+5=30（头）

　　【华图名师姚璐例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？

　　A.50B.46C.38D.35

　　【华图名师姚璐答案】D

　　【华图名师姚璐解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y，

　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛

　　根据核心公式：

　　，代入

　　，因此，选择D

　　【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。

　　【华图名师姚璐例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。

问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？

【广东2006上】

　　A.5台B.6台C.7台D.8台

　　【华图名师姚璐答案】B

　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

【北京社招2006】

　　A.16B.20C.24D.28

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？

（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】

　　A.2周B.3周C.4周D.5周

　　【华图名师姚璐答案】C

　　【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完

　　有恒等式：

　　解，得，代入恒等式

　　【华图名师姚璐例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。

某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】

　　A.2小时B.1.8小时C.1.6小时D.0.8小时

　　【华图名师姚璐答案】D

　　【华图名师姚璐解析】设共需X小时就无人排队了。

例题

　　1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了求增加人数的速度还有原来的人数

　　设一个检票口一分钟一个人

　　1个检票口30分钟30个人

　　2个检票口10分钟20个人

　　（30-20）÷（30-10）=0.5个人

　　原有1×30-30×0.5=15人

　　或2×10-10×0.5=15人

　　2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

　　这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

　　把每头牛每天吃的草看作1份。

　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

　　第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

　　所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

　　两种解法：

　　解法一：

　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：

10*30/5=60；每亩45天的总草量为：

28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）

　　解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量（28×45-30×30）/（45-30）=24；15亩原有草量：

1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：

（180/80+24）*（24/15）=42头

扩展阅读：

1.http:

//www.imsc.edu.hk/~cc_ng/ufiles/2005/26-2-05u1n.doc

2.

有一牧场，17头牛30天可以将草吃完，19头牛24天可将草吃完，现有牛若干头，吃6天后卖了4头，又吃了2天将草全部吃完，问原有几头牛？

（草每天匀速生长） 

三块牧场，草长得一样密一样快，面积分别为3又1/3公顷，10公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头牛可吃9星期，第三块可供多少