离散数学期末考试试题与答案.docx

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离散数学期末考试试题与答案

离散数学试题(B卷答案1)

一、证明题(10分)

1)(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)R

证明:

左端(P∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)

((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)

((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)

((P∨Q)∨(Q∨P))∧R

((P∨Q)∨(P∨Q))∧R

T∧R(置换)R

2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)

证明:

x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))

xA(x)∨xB(x)

xA(x)∨xB(x)

xA(x)xB(x)

二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明:

(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))

(P∧(Q∨R))∨(P∧Q∧R)

(P∧Q)∨(P∧R))∨(P∧Q∧R)

(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨

(P∧Q∧R)

m0∨m1∨m2∨m7

M3∨M4∨M5∨M6

三、推理证明题(10分)

1)C∨D,(C∨D)E,E(A∧B),(A∧B)(R∨S)R∨S

证明:

(1)(C∨D)EP

(2)E(A∧B)P

(3)(C∨D)(A∧B)T

(1)

(2),I

(4)(A∧B)(R∨S)P

(5)(C∨D)(R∨S)T(3)(4),I

(6)C∨DP

(7)R∨ST(5),I

2)x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))

证明

(1)xP(x)P

(2)P(a)T

(1),ES

(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))P

(4)P(a)Q(y)∧R(a)T(3),US

(5)Q(y)∧R(a)T

(2)(4),I

(6)Q(y)T(5),I

(7)R(a)T(5),I

(8)P(a)∧R(a)T

(2)(7),I

(9)x(P(x)∧R(x))T(8),EG

(10)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))T(6)(9),I

四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5

人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

而6个会打网球的人都会打另外一种球,

求不会打这三种球的人数(10分)。

解:

A,B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。

则|A|=12,|B|=6,|C|=14,

|A∩C|=6,|B∩C|=5,|A∩B∩C|=2。

先求|A∩B|。

∵6=|(A∪C)∩B|=|(A∩B)∪(B∩C)|=|(A∩B)|+|(B∩C)|-|A∩B∩C|=|

(A∩B)|+5-2,∴|(A∩B)|=3。

于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。

不会打这三种球的人数25-20=5。

五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(10分)。

证明:

∵xA-(B∪C)xA∧x(B∪C)

xA∧(xB∧xC)

(xA∧xB)∧(xA∧xC)

x(A-B)∧x(A-C)

x(A-B)∩(A-C)

∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:

R={|x,yN∧y=x2},S={|x,

yN∧y=x+1}。

求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}](10分)。

解:

R-1={|x,yN∧y=x

-1={|x,yN∧y=x

2}

R*S={|x,yN∧y=x2+1}

S*R={|x,yN∧y=(x+1)2},R{1,2}={<1,1>,<2,4>},S[{1,2}]={1,

4}。

七、设R={},求r(R)、s(R)和t(R)(15分)。

解:

r(R)={}

s(R)={}

R2=R

2=R

5={}

R3={}

R4={}

t(R)={,,

c>}

八、证明整数集I上的模m同余关系R={|xy(modm)}是等价关系。

其中,xy(mod

m)的含义是x-y可以被m整除(15分)。

证明:

1)x∈I,因为(x-x)/m=0,所以xx(modm),即xRx。

2)x,y∈I,若xRy,则xy(modm),即(x-y)/m=k∈I,所以(y-x)/m=-k

∈I,所以yx(modm),即yRx。

3)x,y,z∈I,若xRy,yRz,则(x-y)/m=u∈I,(y-z)/m=v∈I,于是(x-z)

/m=(x-y+y-z)/m=u+v∈I,因此xRz。

九、若f:

A→B和g:

B→C是双射,则(gf)

-1=f-1g-1(10分)。

证明:

因为f、g是双射,所以gf:

A→C是双射,所以gf有逆函数(gf)

-1:

C→A。

同理可推f

-1g-1:

C→A是双射。

因为∈f

-1g

-1

-1

存在z(∈g

∈f

-1)存在z(∈f

x>∈g)∈gf∈(gf)-1,所以(gf)-1=f

-1,所以(gf)-1=f

-1g-1。

离散数学试题(B卷答案2)一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明:

左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)

((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)

((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)

T(代入)

2)xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))

证明:

xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))

x(P(x)∨yQ(y))

xP(x)∨yQ(y)

xP(x)∨yQ(y)

(xP(x)yQ(y))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式(10分)

解:

(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)

(P∨Q)∨(P∨Q)

(P∧Q)∨(P∨Q)

(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)

(P∨Q)

M1

m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS

证明:

(1)R

(2)R∨P

(3)P

(4)P(QS)

(5)QS

(6)Q

(7)S

(8)RS

2)x(A(x)yB(y)),x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。

证明:

(1)x(A(x)yB(y))P

(2)A(a)yB(y)T

(1),ES

(3)x(B(x)yC(y))P

(4)x(B(x)C(c))T(3),ES

(5)B(b)C(c)T(4),US

(6)A(a)B(b)T

(2),US

(7)A(a)C(c)T(5)(6),I

(8)xA(x)C(c)T(7),UG

(9)xA(x)yC(y)T(8),EG

四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入

考场,考试才能准时进行。

所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)。

解设P:

今天天气好,Q:

考试准时进行,A(e):

e提前进入考场,个体域:

考生

的集合,则命题可符号化为:

PxA(x),xA(x)QQP。

(1)PxA(x)P

(2)PxA(x)T

(1),E

(3)xA(x)PT

(2),E

(4)xA(x)QP

(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4),E

(6)QxA(x)T(5),I

(7)QPT(6)(3),I

五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(10分)

证明:

∵xA∩(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∨xC)(xA

∧xB)∨(xA∧xC)x(A∩B)∨xA∩Cx(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B

∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、A={x1,x2,x3},B={y1,y2},R={,,},求其关系矩阵及关系

图(10分)。

七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它

们及R的关系图(15分)。

解:

r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,

<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}

R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}

R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}

R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}

t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}

八、设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠且B≠。

关系R满足:

<

y1>,>∈R∈R1且∈R2,证明R是A×B上的等价关系(10分)。

证明对任意的∈A×B,由R1是A上的等价关系可得∈R1,由R2是B

上的等价关系可得∈R2。

再由R的定义,有<>∈R,所以R是自反

的。

对任意的∈A×B,若R,则∈R1且∈R2。

由R1对称得∈R1,由R2对称得∈R2。

再由R的定义,有<>

∈R,即R,所以R是对称的。

对任意的∈A×B,若RR,则

u>∈R1且∈R2,∈R1且∈R2。

∈R1、∈R1及R1的传递

性得∈R1,由∈R2、∈R2及R2的传递性得∈R1。

再由R的定义,

有<>∈R,即R,所以R是传递的。

综上可得,R是A×B上的等价关系。

九、设f:

AB,g:

BC,h:

CA,证明:

如果hgf=IA,fhg=IB,gfh=IC,则f、

-1、g-1和h-1(10分)。

g、h均为双射,并求出f

解因IA恒等函数,由hgf=IA可得f是单射,h是满射;因IB恒等函数,由fhg

=IB可得g是单射,f是满射;因IC恒等函数,由gfh=IC可得h是单射,g是满射。

而f、g、h均为双射。

由hgf=IA,得fB,得gC,得h-1=hg;由fhg=I-1=fh;由gfh=I-1=gf。

离散数学试题(B卷答案3)

一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?

(写过程)

1)P(P∨Q∨R)2)((QP)∨P)∧(P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)

解:

1)重言式;2)矛盾式;3)可满足式

二、(10分)求命题公式(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式,并求成真赋值。

解:

(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R

P∧(Q∨R)∨P∨Q∨R

(P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R

((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R

1∨((P∧R)∨R)1

m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7

该式为重言式,全部赋值都是成真赋值。

三、(10分)证明((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C

证明:

((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C))

((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C

((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C

((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C

((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C

(A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C

(A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C

(A∧((QP)∧(PQ)))C

(A∧(PQ))C

四、(10分)个体域为{1,2},求xy(x+y=4)的真值。

解:

xy(x+y=4)x((x+1=4)∨(x+2=4))

((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4))

(0∨0)∧(0∨1)0∧10

五、(10分)对于任意集合A,B,试证明:

P(A)∩P(B)=P(A∩B)

解:

xP(A)∩P(B),xP(A)且xP(B),有xA且xB,从而xA∩B,xP(A∩

B),由于上述过程可逆,故P(A)∩P(B)=P(A∩B)

六、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},

求r(R)、s(R)和t(R)。

解:

r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,

<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}

t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,

4>,<1,4>}

七、(10分)设函数f:

R×RR×R,R为实数集,f定义为:

f()=

1)证明f是双射。

解:

1)∈R×R,若f()=f(),即=

x2-y2>,则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2,y1=y2从而f是单射。

2)∈R×R,由f()=,通过计算可得x=(p+q)/2;y=(p-q)/2;

从而的原象存在,f是满射。

八、(10分)是个群,u∈G,定义G中的运算“”为ab=a*u

-1*b,对任意a,b

∈G,求证:

也是个群。

证明:

1)a,b∈G,ab=a*u

-1*b∈G,运算是封闭的。

2)a,b,c∈G,(ab)c=(a*u

-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a(bc),运算

是可结合的。

3)a∈G,设E为的单位元,则aE=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元u。

4)a∈G,ax=a*u

-1*x=E,x=u*a-1*u,则xa=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆

元。

所以也是个群。

九、(10分)已知:

D=,V={1,2,3,4,5},E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,

4>,<3,5>,<5,1>},求D的邻接距阵A和可达距阵P。

解:

1)D的邻接距阵A和可达距阵P如下:

0101011111

0010011111

A=00011P=11111

0000000000

1000011111

十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。

解:

最优二叉树为

权=(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2=148

离散数学试题(B卷答案4)一、证明题(10分)

1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T

证明:

左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)

∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧

(P∨R))(等幂律)T(代入)

2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))

证明:

x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧

P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))

二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式(10分)

解:

(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨

(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3

三、推理证明题(10分)

1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS

证明:

(1)R附加前提

(2)R∨PP

(3)PT

(1)

(2),I

(4)P(QS)P

(5)QST(3)(4),I

(6)QP

(7)ST(5)(6),I

(8)RSCP

2)x(P(x)∨Q(x)),xP(x)xQ(x)

证明:

(1)xP(x)P

(2)P(c)T

(1),US

(3)x(P(x)∨Q(x))P

(4)P(c)∨Q(c)T(3),US

(5)Q(c)T

(2)(4),I

(6)xQ(x)T(5),EG

四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点,证明其中必存在三个点,使得由它们

组成的三角形(可能是退化的)面积不超过1/8(10分)。

证明:

把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形,则至少有一个小正方形内有

三个点,它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半,即1/8。

五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(10分)

证明:

∵xA∩(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∨xC)(xA

∧xB)∨(xA∧xC)x(A∩B)∨xA∩Cx(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B

∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

六、={A1,A2,,,An}是集合A的一个划分,定义R={|a、b∈Ai,I=1,2,,,

n},则R是A上的等价关系(15分)。

证明:

a∈A必有i使得a∈Ai,由定义知aRa,故R自反。

a,b∈A,若aRb,则a,b∈Ai,即b,a∈Ai,所以bRa,故R对称。

a,b,c∈A,若aRb且bRc,则a,b∈Ai及b,c∈Aj。

因为i≠j时Ai∩Aj=,故i=j,

即a,b,c∈Ai,所以aRc,故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:

A→B是双射,则f

-1:

B→A是双射(15分)。

证明:

对任意的x∈A,因为f是从A到B的函数,故存在y∈B,使∈f,

-1-1

∈f。

所以,f

是满射。

对任意的x∈A,若存在y1,y2∈B,使得∈f

-1且∈f

2,x>∈f

-1,则有

1>∈f且

∈f。

因为f是函数,则y1=y2。

所以,f

-1是单射。

因此f

-1是双射。

八、设是群,的子群,证明:

若A∪B=G,则A=G或

B=G(10分)。

证明

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