x>∈g)∈gf∈(gf)-1,所以(gf)-1=f
-1,所以(gf)-1=f
-1g-1。
离散数学试题(B卷答案2)一、证明题(10分)
1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T
证明:
左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)
((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)
((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(等幂律)
T(代入)
2)xy(P(x)Q(y))(xP(x)yQ(y))
证明:
xy(P(x)Q(y))xy(P(x)∨Q(y))
x(P(x)∨yQ(y))
xP(x)∨yQ(y)
xP(x)∨yQ(y)
(xP(x)yQ(y))
二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
解:
(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)
(P∨Q)∨(P∨Q)
(P∧Q)∨(P∨Q)
(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)
(P∨Q)
M1
m0∨m2∨m3
三、推理证明题(10分)
1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS
证明:
(1)R
(2)R∨P
(3)P
(4)P(QS)
(5)QS
(6)Q
(7)S
(8)RS
2)x(A(x)yB(y)),x(B(x)yC(y))xA(x)yC(y)。
证明:
(1)x(A(x)yB(y))P
(2)A(a)yB(y)T
(1),ES
(3)x(B(x)yC(y))P
(4)x(B(x)C(c))T(3),ES
(5)B(b)C(c)T(4),US
(6)A(a)B(b)T
(2),US
(7)A(a)C(c)T(5)(6),I
(8)xA(x)C(c)T(7),UG
(9)xA(x)yC(y)T(8),EG
四、只要今天天气不好,就一定有考生不能提前进入考场,当且仅当所有考生提前进入
考场,考试才能准时进行。
所以,如果考试准时进行,那么天气就好(15分)。
解设P:
今天天气好,Q:
考试准时进行,A(e):
e提前进入考场,个体域:
考生
的集合,则命题可符号化为:
PxA(x),xA(x)QQP。
(1)PxA(x)P
(2)PxA(x)T
(1),E
(3)xA(x)PT
(2),E
(4)xA(x)QP
(5)(xA(x)Q)∧(QxA(x))T(4),E
(6)QxA(x)T(5),I
(7)QPT(6)(3),I
五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(10分)
证明:
∵xA∩(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∨xC)(xA
∧xB)∨(xA∧xC)x(A∩B)∨xA∩Cx(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B
∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
六、A={x1,x2,x3},B={y1,y2},R={,,},求其关系矩阵及关系
图(10分)。
七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>},求r(R)、s(R)和t(R),并作出它
们及R的关系图(15分)。
解:
r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>,
<3,3>,<4,4>,<5,5>}
s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>}
R2=R5={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
R3={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>}
R4={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>}
t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}
八、设R1是A上的等价关系,R2是B上的等价关系,A≠且B≠。
关系R满足:
<y1>,>∈R∈R1且∈R2,证明R是A×B上的等价关系(10分)。
证明对任意的∈A×B,由R1是A上的等价关系可得∈R1,由R2是B
上的等价关系可得∈R2。
再由R的定义,有<,>∈R,所以R是自反
的。
对任意的、∈A×B,若R,则∈R1且∈R2。
由R1对称得∈R1,由R2对称得∈R2。
再由R的定义,有<,>
∈R,即R,所以R是对称的。
对任意的、、∈A×B,若R且R,则u>∈R1且∈R2,∈R1且∈R2。
由∈R1、∈R1及R1的传递
性得∈R1,由∈R2、∈R2及R2的传递性得∈R1。
再由R的定义,
有<,>∈R,即R,所以R是传递的。
综上可得,R是A×B上的等价关系。
九、设f:
AB,g:
BC,h:
CA,证明:
如果hgf=IA,fhg=IB,gfh=IC,则f、
-1、g-1和h-1(10分)。
g、h均为双射,并求出f
解因IA恒等函数,由hgf=IA可得f是单射,h是满射;因IB恒等函数,由fhg
=IB可得g是单射,f是满射;因IC恒等函数,由gfh=IC可得h是单射,g是满射。
从
而f、g、h均为双射。
由hgf=IA,得fB,得gC,得h-1=hg;由fhg=I-1=fh;由gfh=I-1=gf。
离散数学试题(B卷答案3)
一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)?
(写过程)
1)P(P∨Q∨R)2)((QP)∨P)∧(P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)
解:
1)重言式;2)矛盾式;3)可满足式
二、(10分)求命题公式(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)的主析取范式,并求成真赋值。
解:
(P∨(Q∧R))(P∨Q∨R)(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R
P∧(Q∨R)∨P∨Q∨R
(P∧Q)∨(P∧R)∨(P∨Q)∨R
((P∨Q)∨(P∨Q))∨(P∧R)∨R
1∨((P∧R)∨R)1
m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7
该式为重言式,全部赋值都是成真赋值。
三、(10分)证明((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))(A∧(PQ))C
证明:
((P∧Q∧A)C)∧(A(P∨Q∨C))((P∧Q∧A)∨C)∧(A∨(P∨Q∨C))
((P∨Q∨A)∨C)∧((A∨P∨Q)∨C)
((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))∨C
((P∨Q∨A)∧(A∨P∨Q))C
((P∨Q∨A)∨(A∨P∨Q))C
((P∧Q∧A)∨(A∧P∧Q))C
(A∧((P∧Q)∨(P∧Q)))C
(A∧((P∨Q)∧(P∨Q)))C
(A∧((QP)∧(PQ)))C
(A∧(PQ))C
四、(10分)个体域为{1,2},求xy(x+y=4)的真值。
解:
xy(x+y=4)x((x+1=4)∨(x+2=4))
((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+2=4))
(0∨0)∧(0∨1)0∧10
五、(10分)对于任意集合A,B,试证明:
P(A)∩P(B)=P(A∩B)
解:
xP(A)∩P(B),xP(A)且xP(B),有xA且xB,从而xA∩B,xP(A∩
B),由于上述过程可逆,故P(A)∩P(B)=P(A∩B)
六、(10分)已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>},
求r(R)、s(R)和t(R)。
解:
r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,
<4,4>,<5,5>}
s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}
t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,
4>,<1,4>}
七、(10分)设函数f:
R×RR×R,R为实数集,f定义为:
f()=。
1)证明f是双射。
解:
1),∈R×R,若f()=f(),即=x2-y2>,则x1+y1=x2+y2且x1-y1=x2-y2得x1=x2,y1=y2从而f是单射。
2)
∈R×R,由f()=,通过计算可得x=(p+q)/2;y=(p-q)/2;
从而
的原象存在,f是满射。
八、(10分)是个群,u∈G,定义G中的运算“”为ab=a*u
-1*b,对任意a,b
∈G,求证:
也是个群。
证明:
1)a,b∈G,ab=a*u
-1*b∈G,运算是封闭的。
2)a,b,c∈G,(ab)c=(a*u
-1*b)*u-1*c=a*u-1*(b*u-1*c)=a(bc),运算
是可结合的。
3)a∈G,设E为的单位元,则aE=a*u-1*E=a,得E=u,存在单位元u。
4)a∈G,ax=a*u
-1*x=E,x=u*a-1*u,则xa=u*a-1*u*u-1*a=u=E,每个元素都有逆
元。
所以也是个群。
九、(10分)已知:
D=,V={1,2,3,4,5},E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,
4>,<3,5>,<5,1>},求D的邻接距阵A和可达距阵P。
解:
1)D的邻接距阵A和可达距阵P如下:
0101011111
0010011111
A=00011P=11111
0000000000
1000011111
十、(10分)求叶的权分别为2、4、6、8、10、12、14的最优二叉树及其权。
解:
最优二叉树为
权=(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2=148
离散数学试题(B卷答案4)一、证明题(10分)
1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P∧R)T
证明:
左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)((P∨Q)
∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧
(P∨R))(等幂律)T(代入)
2)x(P(x)Q(x))∧xP(x)x(P(x)∧Q(x))
证明:
x(P(x)Q(x))∧xP(x)x((P(x)Q(x)∧P(x))x((P(x)∨Q(x)∧
P(x))x(P(x)∧Q(x))xP(x)∧xQ(x)x(P(x)∧Q(x))
二、求命题公式(PQ)(P∨Q)的主析取范式和主合取范式(10分)
解:
(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨
(P∨Q)(P∨P∨Q)∧(Q∨P∨Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3
三、推理证明题(10分)
1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS
证明:
(1)R附加前提
(2)R∨PP
(3)PT
(1)
(2),I
(4)P(QS)P
(5)QST(3)(4),I
(6)QP
(7)ST(5)(6),I
(8)RSCP
2)x(P(x)∨Q(x)),xP(x)xQ(x)
证明:
(1)xP(x)P
(2)P(c)T
(1),US
(3)x(P(x)∨Q(x))P
(4)P(c)∨Q(c)T(3),US
(5)Q(c)T
(2)(4),I
(6)xQ(x)T(5),EG
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点,证明其中必存在三个点,使得由它们
组成的三角形(可能是退化的)面积不超过1/8(10分)。
证明:
把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形,则至少有一个小正方形内有
三个点,它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超过小正方形的一半,即1/8。
五、已知A、B、C是三个集合,证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(10分)
证明:
∵xA∩(B∪C)xA∧x(B∪C)xA∧(xB∨xC)(xA
∧xB)∨(xA∧xC)x(A∩B)∨xA∩Cx(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B
∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
六、={A1,A2,,,An}是集合A的一个划分,定义R={|a、b∈Ai,I=1,2,,,
n},则R是A上的等价关系(15分)。
证明:
a∈A必有i使得a∈Ai,由定义知aRa,故R自反。
a,b∈A,若aRb,则a,b∈Ai,即b,a∈Ai,所以bRa,故R对称。
a,b,c∈A,若aRb且bRc,则a,b∈Ai及b,c∈Aj。
因为i≠j时Ai∩Aj=,故i=j,
即a,b,c∈Ai,所以aRc,故R传递。
总之R是A上的等价关系。
七、若f:
A→B是双射,则f
-1:
B→A是双射(15分)。
证明:
对任意的x∈A,因为f是从A到B的函数,故存在y∈B,使∈f,
-1-1
∈f。
所以,f
是满射。
对任意的x∈A,若存在y1,y2∈B,使得∈f
-1且∈f
2,x>∈f
-1,则有1>∈f且
∈f。
因为f是函数,则y1=y2。
所以,f
-1是单射。
因此f
-1是双射。
八、设是群,和是的子群,证明:
若A∪B=G,则A=G或
B=G(10分)。
证明