高考数学一轮复习 第十篇 统计统计案例 第1讲 随机抽样教案 理 新人教版.docx
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高考数学一轮复习第十篇统计统计案例第1讲随机抽样教案理新人教版
2019-2020年高考数学一轮复习第十篇统计、统计案例第1讲 随机抽样教案理新人教版
【xx年高考会这样考】
1．以选择题或填空题的形式考查随机抽样方法以及有关的计算．特别是对分层抽样的考查，几乎每年都出现在高考试题中.
2．在解答题中与概率统计的有关问题相结合进行综合考查．
【复习指导】
1．本讲复习时，应准确理解三种抽样方法的定义，搞清它们之间的联系与区别，灵活选择恰当的抽样方法抽取样本．
2．新课标高考近几年常将抽样方法与频率分布直方图、概率等相结合进行综合考查，因此，要加强这方面的训练．
基础梳理
1．简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机数法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
（1）编号：
先将总体的N个个体编号；
（2）分段：
确定分段间隔k，对编号进行分段，当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
；
（3）确定首个个体：
在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）获取样本：
按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
4．分层抽样的步骤
（1）分层：
将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：
计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
一条规律
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是
.
三个特点
（1）简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．
（2）系统抽样的特点：
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（3）分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
双基自测
1．（人教A版教材习题改编）某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ）．
A．33人，34人，33人B．25人，56人，19人
C．30人，40人，30人D．30人，50人，20人
解析 因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为：
25人，56人，19人．
答案 B
2．（xx·福州质检）为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）．
A．总体是240B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生D．样本容量是40
解析 总体容量是240，总体是240名学生的身高；个体是每名学生的身高；样本是40名学生的身高；样本容量是40.
答案 D
3．（xx·昆明调研）下列说法中正确说法的个数是（ ）．
①总体中的个体数不多时宜用简单随机抽样法；
②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；
③百货商场的抓奖活动是抽签法；
④整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等（有剔除时例外）．
A．1B．2C．3D．4
解析 ①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等概率抽样；④不正确．
答案 C
4．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（ ）．
A．随机抽样B．分层抽样
C．系统抽样D．以上都不是
解析 因为所抽取学生的学号成等差数列，即为等距离抽样，属于系统抽样．
答案 C
5．（xx·天津）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
解析 抽取的男运动员的人数为
×48＝12.
答案 12
考向一 简单随机抽样
【例1】►某车间工人加工一种轴承100件，为了了解这种轴承的直径，要从中抽取10件轴承在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
[审题视点]考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本．须按这两种抽样方法的操作步骤进行．抽签法应“编号、制签、搅匀、抽取”；随机数表法应“编号、确定起始数、读数、取得样本”．
解 法一 （抽签法）将100件轴承编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．
法二 （随机数表法）将100件轴承编号为00,01,02，…，99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行（见随机数表）第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30,77,40，这10件即为所要抽取的样本．
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（2）随机数表中共随机出现0,1,2，…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各个数字的机会都是相等的．在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
【训练1】福利彩票的中奖号码是在1～36个号码中，选出7个号码来按规则确定中奖情况，这种从36个号码中选7个号的适宜的抽样方法是________．
答案 抽签法
考向二 系统抽样
【例2】►用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．
[审题视点]根据系统抽样的特点，确定组数和每组的样本数，写出每组抽取号码的表达式，确定第一组所抽取的号码数，代入公式即可求得第2组抽取样本的号码．
解析 由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋（n－1）×8，所以第16组应抽出的号码为x＋（16－1）×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋（2－1）×8＝11.
答案 11
（1）系统抽样的特点——机械抽样，又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
（2）系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
【训练2】从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）．
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.
答案 B
考向三 分层抽样
【例3】►某市电视台在因特网上征集电视节目的现场参与观众，报名的共有1xx人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场节目，应当如何抽取？
[审题视点]因为地域有名显的差异，故采用分层抽样．
解 因为：
60∶1xx＝1∶200，所以
＝12，
＝23，
＝19，
＝6.
故从东城区中抽取12人，从西城中抽23人，从南城中抽19人，从北城区中抽6人．
在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.
【训练3】（xx·重庆）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）．
A．7B．15
C．25D．35
解析 由题意知，青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案 B
难点突破22——高考中抽样方法问题
从近两年新课标高考试题可以看出高考主要是以选择题或填空题的形式考查抽样方法，难度并不大．其中重点考查分层抽样，其次是系统抽样．计算时应注意：
分层抽样是按比例抽样，系统抽样首先是对总体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间距是一样的．
【示例1】►（xx·福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）．
【示例2】►（xx·山东）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
【示例3】►（xx·湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：
001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）．
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
2019-2020年高考数学一轮复习第十篇统计、统计案例第2讲 用样本估计总体教案理新人教版
【xx年高考会这样考】
1．考查样本的频率分布（分布表、直方图、茎叶图）中的有关计算，样本特征数（众数、中位数、平均数、标准差）的计算．主要以选择题、填空题为主．
2．考查以样本的分布估计总体的分布（以样本的频率估计总体的频率、以样本的特征数估计总体的特征数）．
【复习指导】
1．由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有所涉及，其中频率分布直方图、均值与方差、茎叶图是核心考点，需要好好掌握．复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习．
2．高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁．因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础．
基础梳理
1．频率分布直方图
（1）通常我们对总体作出的估计一般分成两种：
一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．
（2）作频率分布直方图的步骤
①求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）．
②决定组距与组数．
③将数据分组．
④列频率分布表．
⑤画频率分布直方图．
（3）在频率分布直方图中，纵轴表示
，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.
2．频率分布折线图和总体密度曲线
（1）频率分布折线图：
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．
（2）总体密度曲线：
随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：
一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
4．样本方差与标准差
设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为
，
（1）样本方差：
s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]．
（2）样本标准差：
s＝
.
两个异同
（1）众数、中位数与平均数的异同
①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.
③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．
④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．
（2）标准差与方差的异同
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
三个特征
利用频率分布直方图估计样本的数字特征：
（1）中位数：
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．
（2）平均数：
平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．
（3）众数：
最高的矩形的中点的横坐标．
双基自测
1．（人教A版教材习题改编）某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为（单位：
mm）：
14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为（ ）．
A．14.8mmB．14.9mm
C．15.0mmD．15.1mm
解析 平均数
＝
（14.7＋14.6＋15.1＋15.0＋14.8＋15.1＋15.0＋14.9）＝14.9（mm）．
答案 B
2．（xx·合肥月考）一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：
组别
（0,10]
（10,20]
（20,30]
（30,40]
（40,50]
（50,60]
（60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在（10,40]上的频率为（ ）．
A．0.13B．0.39
C．0.52D．0.64
解析 由列表可知样本数据落在（10,40]上的频数为52，故其频率为0.52.
答案 C
3．（人教A版教材习题改编）10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工人生产的零件的中位数是（ ）．
A．14B．16C．15D．17
解析 将这组数据从小到大排列得10,12,14,14,15,15,16,17,17,19.故中位数为
＝15.
答案 C
4.
某雷达测速区规定：
凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（ ）．
A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆
解析 由题图可知，车速大于或等于70km/h的汽车的频率为0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有200×0.2＝40（辆）．
答案 B
5．（xx·江苏）某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
解析 平均数
＝
＝7.
∴s2＝
[（10－7）2＋（6－7）2＋（8－7）2＋（5－7）2＋
（6－7）2]＝
×（9＋1＋1＋4＋1）＝3.2.
答案 3.2
考向一 频率分布直方图的绘制与应用
【例1】►某校从
参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70,80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．
[审题视点]利用各小长方形的面积和等于1求[70,80）内的频率．
解
（1）设分数在[70,80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005）×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．
（2）平均分为：
x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71（分）．
频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布．根据频率分布直方图估计样本（或者总体）的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法．
【训练1】（xx·湖北）有
一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12）内的频数为（ ）．
A．18B．36
C．54D．72
解析 样本数据落在区间[10,12）内的频率1－（0.19＋0.15＋0.05＋0.02）×2＝0.18，所以数据落在此区间的频数为200×0.18＝36.
答案 B
考向二 茎叶图的应用
【例2】►如图是某青年歌手
大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则一定有（ ）．
A．a1＞a2
B．a2＞a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
[审题视点]去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据，剩下的数我们只要计算其叶上数字之和，即可对问题作出结论．
解析 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2＞a1.故选B.
答案 B
由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．
【训练2】在
一项大西瓜品种的实验中，共收获甲种大西瓜13个、乙种大西瓜11个，并把这些大西瓜的重量（单位：
斤，1斤＝500克）制成了茎叶图，如图所示，据此茎叶图写出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是：
（1）__________________________________________；
（2）__________________________________________．
解析 从这个茎叶图可以看出，甲种大西瓜的重量大致对称，平均重量、众数及中位数都是30多斤；乙种大西瓜的重量除了一个51斤外，也大致对称，平均重量、众数及中位数都是20多斤，但甲种大西瓜的产量比乙种稳定，总体情况比乙好．
答案
（1）甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜
（2）甲种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定
考向三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例3】►甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
[审题视点]
（1）先通过图象统计出甲、乙二人的成绩；
（2）利用公式求出平均数、方差，再分析两人的成绩，作出评价．
解
（1）由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：
10分，13分，12分，14分，16分；
乙：
13分，14分，12分，12分，14分.
甲＝
＝13，
乙＝
＝13，
s
＝
[（10－13）2＋（13－13）2＋（12－13）2＋（14－13）2＋（16－13）2]＝4，
s
＝
[（13－13）2＋（14－13）2＋（12－13）2＋（12－13）2＋（14－13）2]＝0.8.
（2）由s
＞s
可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
【训练3】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：
环）：
甲
10
8
9
9
9
乙
10
10
7
9
9
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．
解析
甲＝
乙＝9环，s
＝
[（9－10）2＋（9－8）2＋（9－9）2＋（9－9）2＋（9－9）2]＝
，
s
＝
[（9－10）2＋（9－10）2＋（9－7）2＋（9－9）2＋（9－9）2]＝
＞s
，故甲更稳定，故填甲．
答案 甲
规范解答19——怎样解答茎叶图与概率的综合性问题
【问题研究】茎叶图是一个将数据分成主、次两部分，把主要部分当做茎、次要部分当作叶表达数据的一个图，它是一种常用的统计图.因此考题常将茎叶图作为载体来考查平均数、方差以及概率问题.
【解决方案】首先对茎叶图中的数据全面分析，然后再根据茎叶图的数据解决其它问题.
【示例】►（本题满分12分）（xx·北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
（1）如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．
（注：
方差s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]，其中
为x1，x2，…，xn的平均数）
第
（1）问直接套入公式求值；第
（2）问利用古典概型的知识解决．
[解答示范]
（1）当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：
8,8,9,10，所以平均数为
＝
＝
.（2分）
方差为
s2＝
＝
.（5分）
（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数
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