中考数学复习讲义第五章 轴对称 模型十九海盗埋宝模型.docx

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中考数学复习讲义第五章轴对称模型十九海盗埋宝模型

第五章.轴对称

模型（十九）——海盗埋宝模型

【结论】如图，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B为直角顶点，F为DE的中点，连接FA，FB，则△FAB是等腰直角三角形.

【特征】⑴两等腰直角三角形

⑵一组底角共顶点

⑶另一组底角顶点相连取中点

【证明】（方法一∶倍长中线法）

如图，延长AF至点P使得FP=AF，连接PE，PB，延长PE交AC于点Q.

在△DAF和△EPF中，DF=EF,∠DFA=∠EFP,AF=PF,

∴△DAF≌△EPF（SAS），∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA∥EP.

∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.

在四边形EQCB中，

∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.

又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，∴∠QCB＝∠PEB.

在△ACB和△PEB中，AC=PE,∠ACB＝∠PEB,BC=BE,

∴△ACB≌△PEB（SAS）.∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE

∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.

∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP的中点，∴BF⊥AP,BF=AF.

∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点.

（方法二∶构造手拉手模型）

将△DAC沿AC对称，得△PAC，将△EBC沿BC对称，得△QBC，连接EP，DQ.

易证△PCE≌△DCQ（手拉手模型），∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的结论）.∵AF是△DPE的中位线，BF是△DQE的中位线，

∴AF＝

PE，AF∥PE，BF＝

DQ.BF∥DQ，

∴AF=BF，AF⊥BF，

∴△FAB是等腰直角三角形，F为直角顶点

典例1☆☆☆☆☆

在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?

并说明理由

【解析】MD＝ME，MD⊥ME.理由如下∶

如图，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，FM，MG，EG，设AB与DM交于点H

∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形，

∴∠DFA＝∠EGA＝90°,DF＝AF＝

AB，EG＝AG＝

AC，

∵M是BC的中点，∴FM和MG都是△

ABC的中位线，

∴AF∥MG,AF＝DF＝MG,∴四边形AFMG是平行四边形，

∴FM=AG=GE，∠AFM＝∠AGM，∴∠DFM＝∠MGE.

在△DFM和△MGE中，FM＝GE,∠DFM＝∠MGE,DF＝MG,

∴△DFM≌△MGE（SAS）,∴MD＝ME,∠FDM＝∠GME,

∴∠BHM＝90°＋∠FDM＝90°＋∠GME.又AF∥MG，

∴∠BHM＝∠HMG＝∠DME＋∠GME，∴∠DME=90°，即MD⊥ME.

典例2☆☆☆☆☆

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC＝

，点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD的中点.

⑴若过点D作DE⊥AB于点E，连接CF，EF，CE，如图1，设CF＝kEF，则k=_____.

⑵将△ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点F仍为BD的中点，如图2所示，求证∶BE－DE＝2CF.

⑶若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD的中点，求线段CF长度的最大值.

【解析】⑴∵F为BD的中点，DE⊥AB，∠ACB=90°，

∴CF＝

BD，EF＝

BD，∴CF=EF,∴k=1.

⑵如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.

∵tan∠BAC＝

，∴

，

∵D，E，B三点共线，∴AE⊥DB.

∵∠BQC＝∠AQD,∠ACB＝∠AEQ＝90°,∴∠QBC＝∠EAQ.

∵∠ECA＋∠ACG＝90°，∠BCG＋∠ACG＝90°

∴∠ECA＝∠BCG.∴△BCG∽△ACE,∴

，∴GB=DE.

∵F是BD的中点，∴F是EG的中点.

在Rt△ECG中，CF=

EG,

∴BE－DE＝BE－GB＝EG＝2CF.

⑶①如图，当AD＝

AC时，取AB的中点M，连接MF，CM.

∵∠ACB=90°,tan∠BAC＝

，且BC＝6，

∴AC＝12,AB＝6

.

∵M为AB的中点，∴CM＝

AB＝3

.

∵AD=

AC，∴AD=4.

∵M为AB的中点，F为BD的中点，∴FM＝

AD＝2.

当且仅当M，F，C三点共线且F在线段CM的延长线上时，CF最大.

此时CF＝CM＋FM＝2＋3

.

②如图，当AD＝

AC时，取AB的中点M，连接MF，CM，

同①可知，CF的最大值为4＋3

.

综上，线段CF的长度的最大值为4＋3

.

1.（★★★★☆）已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC＝

∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB,ME.

⑴如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证∶MB∥CF.

⑵如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长.

⑶如图2，当∠BCE=45°时，求证∶BM＝ME.

2.（★★★★★）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC=AC，点D在边AB上，DE⊥AB交BC于E，F是AE的中点.

⑴写出线段FD与线段FC的关系并证明.

⑵如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°<α<90°），其他条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化?

写出你的结论并证明.

⑶将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC=4，BE=2

，直接写出线段BF长度的范围.

1.如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点.

（1）问题解决∶如图1，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是__________，位置关系是__________。

（2）问题探究∶如图2，△AO´E是将图1中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO´的中点，连接PQ，PB.判断△PQB的形状，并证明你的结论.

第五章.轴对称

模型（十九）——海盗埋宝模型

答案：

小试牛刀

1.解析

（1）方法一∶如图，延长AB交CF于点D.

易知△BCD为等腰直角三角形，又△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC=BD,∴点B为线段AD的中点.

又∵点M为线段AF的中点，∴MB为△ADF的中位线，∴MB//CF.

方法二∶如图，延长BM交EF于点D.

∵∠ABC=∠CEF=90°,∴AB⊥CE,EF⊥CE,∴AB//EF，∴∠BAM=∠DFM.

∵M是AF的中点，∴AM=MF.

在△ABM和△FDM中，∠BAM=∠DFM，AM=FM,∠AMB=∠FMD，

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF,∴BC=DF

∵BE＝CE－BC，DE＝EF－DF，∴BE＝DE

∵△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°.

∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF.

（本小问可以用模型得出△EMB为等腰直角三角形，

得到∠EBM=∠ECF=45°，从而得到BM∥CF）

（2）方法一∶如图，延长AB交CF于点D.

∵△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝BC＝a,

∴AC＝CD＝

a，点B为AD的中点.又点M为AF的中点，∴BM＝

DF.

分别延长FE与CA交于点G，则△CEF与△CEG均为等腰直角三角形.

∴GE＝EF＝CE＝2a,∴CG＝CF＝2

a,

点E为FG的中点，又点M为AF的中点，∴ME=

AG

∵CG＝CF＝2

a，CA＝CD＝

a，∴AG＝DF＝

a,

∴BM＝ME＝

×

a=

a.

方法二∶如图，延长BM交EF于点D.

∵CB＝a,CE＝2a,∴BE=CE－CB＝2a－a＝a.∵△ABM≌△FDM,∴BM=DM.

又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，

∴BM＝ME＝

BE＝

a

（3）方法一∶如图，延长AB交CE于点D，连接DF.

∵△ABC与△BCD为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD,AC=CD,∴点B为AD的中

点.又点M为AF的中点，∴BM＝

DF.

分别延长FE与CB交于点G，连接AG，则△CEF与△CEG均为等腰直角三角形.∴CE＝EF＝EG,CF＝CG,∴点E为FG的中点.又点M为AF的中点，

∴ME＝

AG.

在△ACG与△DCF中，AC=CD,∠ACG＝∠DCF=45°,CG=CF,

∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF＝AG.BM＝ME.

方法二∶如图，延长BM交CF于点D，连接BE,DE.

∵∠BCE=45°,∴∠ACD=45°×2＋45°＝135°，

∴∠BAC＋∠ACF=45°＋135°=180°,

∴AB//CF,∴∠BAM＝∠DFM.∵M是AF的中点，∴AM＝FM.

在△ABM和△FDM中，∠BAM＝∠DFM,AM＝FM,∠AMB＝∠FMD,

∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF,BM=DM,∴BC=DF.

在△BCE和△DFE中，BC=DF,∠BCE＝∠DFE＝45°,CE=FE,

∴△BCE≌△DFE（SAS）,∴BE＝DE,∠BEC＝∠DEF.

∴∠BED＝∠BEC＋∠CED＝∠DEF＋∠CED＝∠CEF＝90°,

∴△BDE是等腰直角三角形.又∵BM＝DM，

∴BM＝ME＝

BD,即BM＝ME.

2.解析

（1）结论∶FD＝FC，CF⊥DF.

理由∶∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵F是AE的中点，∴AF＝FE，

又∠ACB＝90°，∴DF=AF=EF=CF，∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，

∴∠DFE＝∠FDA＋∠FAD＝2∠FAD,

∴∠EFC＝∠FAC＋∠FCA＝2∠FAC.∵CA=CB,.∴BAC=45°,

∴∠DFC＝∠EFD＋∠EFC=2（∠FAD＋∠FAC）＝90°，∴DF⊥FC.

（2）结论不变.理由如下∶

方法一∶如图，延长AC到点M，使得CM＝CA，延长ED到点N，使得DN＝DE，连接BN，BM，EM，AN，延长ME交AN于点H，交AB于O.

∵BC⊥AM，AC=CM，∴BA＝BM.同理BE＝BN.

易知∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE,

∴AN＝EM，∠BAN＝∠BME.

∵AF＝FE,AC＝CM,∴CF＝

EM,FC∥EM.

同理，FD＝

AN,FD∥AN,∴FD=FC.

∵∠BME＋∠BOM＝90°,∠BOM=∠AOH,

∴∠BAN＋∠AOH=90°,∴∠AHO=90°,∴AN⊥MH，∴FD⊥FC.

方法二∶如图，延长CF到点M，使得FM＝CF，连接EM，CD，CE，DM，AM，延长ME交BC于点H.

∵F为AE的中点，∴AF＝EF,又FM＝CF，

∴四边形MECA是平行四边形，∴ME=AC.又AC＝BC，∴ME＝BC.

∵∠DBC=45°＋a,∠BEH＝90°－a,

∴∠DEM=180°－∠DEB－∠BEH＝180°－45°－（90°－a）=45°＋a,

∴∠DBC＝∠DEM.

在△BDC和△EDM中，BD=ED,∠DBC＝∠DEM,BC＝EM,

∴△BDC≌△EDM（SAS）.∴DM＝DC,∠BDC＝∠EDM,

∴∠MDC=∠MDE＋∠EDC=∠BDC＋∠EDC=∠BDE=90°,

∴△CDM是等腰直角三角形，∴FD＝FC,FD⊥FC.

（3）如图，当点E落在边AB上时，BF的长最大，最大值为3

.

如图，当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，最小值为

.

综上所述，

≤BF≤3

。

直击中考

1.解析

（1）∵点P和点Q分别为CB，BO的中点，

∴PQ为△BOC的中位线，∴PQ=

CO,PQ∥CO.

∵四边形ABCD是正方形，∴CO＝BO,CO⊥BO.

∴PQ＝

BO,PQ⊥BO.

（2）△PQB是等腰直角三角形.理由如下∶如图，连接O´P并延长交BC于点F.

由正方形的性质及旋转可得AB＝BC，∠ABC＝90°，△AO´E是等腰直角三角形，∴OE∥BC,O´E＝O´A,

∴∠O´EP＝∠FCP,∠PO´E＝∠PFC.

又∵点P是CE的中点，∴CP=EP,

∴△O´PE≌△FPC（AAS），∴OE＝FC＝O´A,O´P＝FP.

∴BO´=BF,∴△O´BF是等腰直角三角形.

∴BP⊥O´F,O´P＝BP,∴△BPO´也是等腰直角三角形.

又∵点Q为O´B的中点，∴PQ⊥O´B，且PQ=BQ，

∴△PQB是等腰直角三角形.