打印机的生产效能Beta35.docx
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打印机的生产效能Beta35
打孔机的生产效能
摘要
本文针对提高打孔机生产效能问题的不同途径和规模，利用了图论中最小生成树问题和欧拉路径问题的思想建立模型，并运用改进后的Kruskal算法进行求解。
针对行进路径、钻头转换次序和时间花费三个方面求出最优解，并对问题进行了拓展。
首先，我们利用了图论中的思想并结合实际，建立了刀具类型转换模型，求解出最优刀具转换顺序为a→b→c→d→e→g→h→f→c。
这种刀具转换方式不仅能保证每个过孔都可以按要求加工，而且保证了刀具的转换次数最少，这样在降低了转换成本的同时也使转换时间缩小到最少。
其次，我们类比经典的最小生成树问题，通过图论中欧拉路径的思想，对点的出度和入度之和进行了限制，选用改进后的Kruskal算法建立数学模型，在孔间距离函数上，本文以“实用性”为原则选择了效果较好的欧氏距离。
对于问题一，在这两个模型的基础之上即可直接求解出单钻头时钻头行进的最优路径即各种孔型行进路程的最小和。
经过我们的反复计算，最终的总行进时间为310.332s，作业成本为1043.789元。
对于问题二，由于问题二中是双钻头的打孔机，且两个钻头之间作业相互独立。
为了避免钻头间的碰撞和干扰，我们采取了分区域的做法，即两个钻头分别负责一个区域的钻孔作业。
将各类刀具的需要加工的过孔进行了分类，并根据计算过孔坐标分布的密集程度及转头需要跑动的时间，最终选择了左半区域点数略高于右半区域的x=0为轴的划分方式，对钻头作业区域进行了划分。
再利用建立的两个数学模型分别求解出各类过孔的左右半区域钻头行进的最优路径，经过计算和统计，最终的总行进时间为269.271s，作业成本为1079.514元，同单钻头相比时间效率提高了15.25%，提升了打孔机的生产效能。
关键词：
欧拉路径最小生成树Kruskal算法欧氏距离
1、问题重述与分析
印制线路板PCB（PrintedCircuitBoard）是电子设备最重要的部件之一．而印制板的打孔是印制板制作过程的一个重要环节。
本问题旨在提高某类打孔机的生产效能，打孔机的生产效能主要取决于以下几方面：
（1）单个过孔的钻孔作业时间，假定对于同一孔型钻孔作业时间都相同；
（2）钻头加工作业时的行进时间；
（3）针对不同孔型加工作业时，刀具的转换时间。
1.1问题一的重述与分析
问题一要求根据附件1提供的某块印刷线路板过孔中心坐标的数据，给出单钻头作业的最优作业线路（包括刀具转换方案）、行进时间和作业成本。
由于作业成本由行进距离和刀具转换时间决定，所以本题主要需考虑的是刀具转换和钻头行进的成本和时间，即为：
（1）可重复的最优刀具类型转换顺序问题
（2）各种孔型行进路程的最小和问题
1.2问题二的重述与分析
问题二要求假设若有一种双钻头的打孔机（每个钻头的形状与单钻头相同），两钻头可以同时作业，且作业是独立的。
为避免钻头间的触碰和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头间距不小于3cm，要求解：
（1）针对附件1的数据，给出双钻头作业时的最优作业线路、行进时间和作业成本，并与传统单钻头打孔机进行比较，其生产效能提高多少？
（2）研究打孔机的两钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响。
问题二最大的限制条件就是必须时刻保持两钻头间距不小于3cm且两钻头作业相互独立，对于此问题我们采取分区域的方式，即两个钻头分开作业，这样就能很好的确保两钻头之间的距离。
经过对点的分布图的分析，我们将线路板分为两个区域分别进行独立工作以提高生产效率。
2、模型假设
1.假设钻头行进灵活可自由改变方向
2.假设最初钻头从坐标（0,0）处出发开始打孔
3.假设每种孔型打孔作业花费的时间和费用均相同
4.假设打孔作业过程不会对生产效能产生影响
3、符号说明及名词定义
3.1符号说明
符号
说明
v[i]
打孔过程中经过孔i的次数
刀具转换时间
钻头行进时间
刀具转换成本
钻头行进成本
N
刀具转换次数
L
钻头行进距离
3.2名词定义
欧拉路径：
若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。
最小生成树：
在一给定的无向图G=（V,E）中，（u,v）代表连接顶点u与顶点v的边,即
，而w（u,v）代表此边的权重，若存在T为E的子集，即
，且为无循环图，st：
的w（T）最小，则此T为G的最小生成树。
4、模型的建立
4.1基于图论的刀具类型转换模型
刀具类型转换问题决定了打孔机的打孔顺序，是提高打印机生产效能的关键问题，我们根据题目中所给信息建立了基于图论的刀具类型转换模型，题目中所给的10种孔型所需加工刀具及加工次序表格如下：
孔型
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
所需刀具
a
b
a,c
d,e*
c,f
g,h*
d,g,f
h
e,c
f,c
表4.110种孔型所需加工刀具及加工次序
由表格可以看出孔型E和F所需的刀具顺序c,f和f,c正好相反，可以知道在刀具类型转换过程中c或f刀具必将重复出现，且根据分析可知c重复出现更有利于减少刀具转换次数，根据表格作图如下：
图4.1所有类型刀具加工顺序条件示意图
可以得出制约条件如图4.2：
图4.2刀具类型转换的制约条件
可得出最优刀具转换顺序为：
a→b→c→d→e→g→h→f→c
根据该顺序，一共需转换12次。
转换道具花费时间
=18*12=216s，费用
=7*216/60=25.2（元）
4.2类比Kruskal的求解行进路线模型
对于各种孔型间行进路程的最小和问题，最初我们把此问题抽象为TSP问题，但使用TSP模型不能找到每次打孔路径的起始点和终点，而是让刀具作业后又回到起始点，因此增加了刀具的行进路程，进而增加了成本。
本问题要求寻找一条最短且经过所有打孔点的路径，可抽象成图论模型中的最小生成树问题。
最小生成树问题有两种求解算法：
Prim算法和Kruskal算法。
本例中我们选用Kruskal算法，建立求解行进路线模型，将钻孔抽象为点，任意两钻孔直接连一条边，钻孔之间的欧氏距离作为边的权重，来规划行进路线，从而克服了TSP模型的缺点。
任意两钻孔间的欧式距离计算公式如下：
Kruskal算法构造最小生成树的过程如下：
先构造一个只含n个顶点，边集为空的子图。
之后，从网的边集E中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。
依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有n-1条边为止，假设存在图如图4.3，求解模型的具体过程如下：
图4.3八边无向图
传统的最小生成树Kruskal算法计算出的结果如下图4.4:
图4.4由Kruskal算法求解出的最佳路径
此时得到的最短路径为4，虽然看起来正确但实际上这种方案是不可行的。
虽然这条路径是一个正确的最小生成树解，但它不是一条欧拉路径，导致在实际打孔过程中会走一些重复的路径，从而导致实际的行进距离远大于理论值。
对上面的错误解进行仔细分析可发现，在所有的错误解中，都会存在一个或几个顶点A，它的入度大于2，这样就造成了同一个点上连接了超过两个边，从而导致整个路径不再是一个欧拉路径。
因此我们在传统最小生成树Kruskal算法的基础上进行了改进，对每个钻孔的出入度之和进行了限制，使每个钻孔的出入度之和不大于2，这样就可以选择出一条最优的通路。
改进思路如下：
（1）对于每一个点i，设v[i]表示当前已经建立的路径中i的入度
（2）对于一个可以一笔连通的路径，规定该路径上每个点i都满足v[i]<=2
（3）在寻找权值最小的边时，若该边的两个顶点中存在v值已经等于2的点，则舍弃该边。
改进后的求解行进路线模型示意图如下：
初始：
从a点出发
v[a]=0v[b]=0v[c]=0v[d]=0v[e]=0
选择当前最短的边a—d
v[a]=1v[d]=1
选择当前最短的边a—e
v[a]=2v[e]=1
因为v[a]=2，所以所有与a相连的边都不再可选
选择b—d
v[b]=1v[d]=2
选择b—cv[b]=2,v[c]=1
图4.5由改进后的Kruskal算法求解最佳路径的示意图
5、模型的求解
5.1问题一的求解
根据题目所给出的印刷线路板过孔中心坐标的数据，我们利用matlab画出了如下坐标分布图（图5.1）：
图5.1印刷线路板过孔坐标分布图
通过4.1建立的模型可知最优刀具转换顺序为a→b→c→d→e→g→h→f→c，再利用4.2中建立的模型求解各种孔型间的最优行进路程，求解结果如表5.1所示：
（具体的行进路线见附录一）
刀具类型
加工孔型
加工点数目（个）
起始点坐标（xy）（1/100mil）
终止点坐标（xy）（1/100mil）
孔点之间最短行进路程（mm）
转换下一刀具的路程（mm）
路程总和（mm）
时间（s）
a
AC
930
-298800
897000
-268400
-76200
2873.950
240.146
3114.096
17.3
b
B
788
352200
447000
186800
150700
2589.700
206.175
2795.876
15.53
c
CE
365
447700
918900
351400
-65200
2618.612
197.251
2815.864
15.64
d
DG
232
-301300
-62400
-220525
556200
1452.192
26.873
1479.065
8.22
e
DI
222
-257400
129400
-220525
556200
1462.676
108.811
1571.487
8.73
g
FG
54
213000
892600
-301300
-62400
674.1892
255.660
929.8494
5.17
h
FH
40
317392
170572
4780
837100
653.9299
172.799
826.7297
4.59
f
EGJ
144
447700
907900
100800
-65200
1797.198
289.940
2087.139
11.6
c
IJ
39
-38800
659800
-268400
-65200
1225.921
133.792
1359.714
7.55
表5.1使用各刀具所走路程及其他相关信息
计算生产成本的方法为，生产成本=刀具转换花费+各类刀具所走路程的总花费
即为：
由此可计算出总计结果如下：
totaltime:
310.33235136830336（second）
price:
1043.7893947776765（Yuan）
5.2问题二的求解
5.2.1双钻头的生产效能
考虑到路线的复杂性与生产的常规性，考虑到路线的复杂性与生产的常规性以及最大利用两个钻头的优势，我们决定将图形划为两块区域，通过求出两块区域的点数来近似确定划分的依据
分别以x=-50，-30，-10,0,10,30,50为轴，求出各区域点数如下表：
X=/区域
-50
-30
-10
0
10
30
50
左半区域
357
760
1034
1158
1289
1555
1687
右半区域
1769
1366
1092
968
837
571
439
表5.2各区域中的钻孔数目
结合图中点的密集程度，考虑到转头需要跑动的时间，我们最终选择了左半区域点数略高于右半区域的x=0为轴的划分方式。
以x=0轴将图形分为两块，分别在两块区域上同时进行打孔工作，考虑到钻头之间有距离的限制和图中点的均匀性，在选择每个钻头的的工作起点时，两块区域分别以轴线处和边界处的点为起点按问题1的方式求出路径。
我们对问题二的求解方法以a孔型为例（如图5.2），求解的过程如下：
（1）根据不同孔型的坐标分布图对两钻头的独立工作区域进行划分
（2）根据4.1中得到的最优刀具转换顺序确定各孔型钻孔的先后顺序
（3）利用4.2中建立的模型分区域求解各种孔型间的最优行进路程
（4）计算最终各区域的行进时间和作业成本之和
图5.2a孔型坐标分布图
以Y轴将图形分为两块，分别在两块区域上同时进行打孔工作，考虑到钻头之间有距离的限制和图中点的均匀性，在选择每个钻头的的工作起点时，两块区域分别以轴线处和边界处的点为起点按问题1的方式求出路径。
通过计算最终完成左半部分区域的时间为258.0542853997497，完成右半部分区域的时间为269.2711155472317,显然以Y轴分区域，使二个钻头都得到的最大的利用，具体结果如下：
sumtimeL:
258.0542853997497（second）
sumtimeR:
269.2711155472317（second）
total:
67553433.74195535（mil）
total:
17158.57217045666（mm）
totaltime:
269.2711155472317（second）
price:
1079.514330227399（yuan）
考虑到钻头可能在中间某个时刻碰头，而在计算出完成每个区域的时间后（见附录二）发现基本近似相等，但在12号区域即在钻G刀型的时候二者时间差已经接近5s了，通过调整运行位置在后方的刀头，使之停下5s的时间，拉长二个刀头的距离,避免碰头，则最终所需要的时间为：
275s
同问题一单钻头相比时间效率提高了15.25%，显然通过使用双钻头打孔机可以缩短打孔时间，从而提高打孔机的生产效能。
5.2.2双钻头合作间距对作业路线和生产效能产生的影响
根据题目要求打印机的两钻头为避免钻头间的碰触和干扰，在过孔加工的任何时刻必须保持两钻头之间的间距不小于3cm，这一距离对打印机的作业路线和生产效能起到制约作用，不利于打孔机的最短线路优化，同时会制约钻头的走刀路线，增大作业路线的行程，不能对提高打孔机的生产效能起一个很好的辅助作用。
所以间距若能小于3cm将可以使前一问中求得的两钻头最小时间差的范围变得更大，即可以缩短运行位置在后方的刀头的等待时间，甚至不需要等待以拉长距离，这样则可以缩短最终所需要的时间，相应的也就节省的打孔机的生产消耗时间提高了生产效能。
6、模型的评价
该模型的分析过程清晰、简单易行。
在单钻头问题上，此模型采取了单刀具对应孔型完成再进入下一道具的方式，即任一种刀具，先完成其所能钻取的孔型后，再转换道具进入下一孔型的钻取，而每种刀具的工作路线都是通过建立的类比Kruskal的求解行进路线模型得出的最优解。
这样，既减少了刀具不断转换带来的时间损耗，提高了作业效率，又可以尽可能降低作业的成本，且通过使用该模型避免了使用TSP模型不能找到每种刀具的起始点和终点的缺点，让刀具作业后直接在转换刀具的同时到达下一类型的起始点，因此降低了刀具的行进路程，进而降低了成本。
而对于双钻头问题，此问题采用了分区域的做法，以双质点操作优化的优势，取代了单钻头问题中蚁群算法只能单质点优化路线的缺陷，是较为优化的。
7、参考文献
[1]肖人彬，陶振武.孔群加工路径规划问题的进化求解[J]．计算机集成制造系统,2005
[2]FredBuckley等（著），李慧霸等（译）.图论简明教程[M].清华大学出版社
[3]王立东等（著）.约束最小生成树算法的研究[J].西安电子科技大学
[4]ThomasH.Cormen等（著），殷建平等（译）.算法导论[M].机械工业出版社
8、附录
附录一：
问题一的行进路线
1
866,868,867,865,713,707,855,848,843,849,893,881,863,882,822,897,821,828,760,762,765,764,763,759,497,880,892,879,862,837,832,838,841,476,719,725,726,716,475,720,722,723,717,885,883,886,889,890,887,884,888,736,735,738,751,750,754,739,743,745,740,744,741,724,714,715,712,710,697,692,840,835,831,836,683,698,699,700,701,705,702,708,477,478,709,403,691,689,334,340,820,896,819,827,826,817,895,816,757,674,748,768,770,767,746,185,184,302,221,126,53,2,588,565,523,694,695,703,704,392,393,846,842,847,854,662,175,99,68,668,663,661,666,664,669,672,675,681,682,685,857,852,845,851,686,679,342,338,330,276,316,319,323,322,311,310,300,286,287,268,283,298,297,282,265,247,248,249,250,267,266,285,284,299,309,315,308,307,321,320,306,296,281,280,279,275,274,258,244,230,211,192,193,212,213,194,195,214,196,197,216,215,234,235,236,237,198,217,218,199,180,179,169,170,168,167,166,165,164,147,148,149,150,151,152,153,110,109,95,97,108,107,106,94,78,61,15,658,644,645,657,14,13,59,60,77,93,105,104,92,82,96,102,103,146,145,162,157,161,144,74,57,75,81,76,58,12,11,656,655,654,10,9,8,55,56,73,72,88,91,71,7,653,6,54,70,89,90,101,142,143,156,160,159,178,158,241,260,259,240,239,277,292,325,326,304,312,295,294,293,278,271,261,242,243,227,226,225,223,204,205,206,207,189,208,209,190,191,210,224,229,228,252,251,257,256,272,273,289,290,291,324,313,314,318,327,328,305,245,253,262,263,264,246,233,232,231,163,65,3,83,87,171,176,186,188,254,270,288,301,317,331,333,339,344,343,341,680,673,303,676,684,359,690,909,908,907,899,900,901,902,910,905,904,903,911,912,913,914,906,449,450,728,727,730,856,853,844,850,174,173,255,238,222,219,203,200,187,177,172,154,141,125,100,98,84,67,66,35,5,660,584,583,582,580,577,576,575,568,563,561,557,553,545,536,534,530,524,521,516,512,506,498,493,486,479,472,448,413,362,220,85,155,491,544,578,616,345,350,374,421,458,473,482,487,494,372,422,460,474,483,488,495,500,509,514,517,522,529,531,535,539,546,555,558,562,894,818,825,815,624,601,625,602,626,603,627,604,628,605,629,606,630,607,608,631,609,632,610,633,611,634,612,635,613,636,614,124,140,123,139,122,138,121,137,120,136,119,135,118,134,117,133,116,132,115,131,114,130,113,129,112,128,111,127,677,678,348,833,830,834,839,671,667,37,20,622,599,621,598,620,597,619,596,618,595,617,594,19,36,525,540,551,566,559,541,532,526,518,513,501,489,480,432,351,335,201,650,573,502,357,484,572,638,182,329,352,391,346,181,640,356,649,332,349,891,877,861,878,554,581,579,591,592,615,769,593,637,16,62,79,80,69,64,63,17,659,646,643,647,4,652,648,639,930,929,927,928,926,925,923,924,922,921,919,917,915,916,918,920,537,766,761,543,503,511,507,508,459,183,560,485,496,651,202,337,353,336,18,586,552,492,1,269,504,564,86,642,587,347,515,574,641,402,466,481,490,499,510,519,527,533,542,550,567,569,556,528,520,505,570,549,548,538,547,571,590,585,589,600,623,38,21,39,22,40,23,41,24,42,25,43,26,44,27,45,28,46,29,47,30,48,31,49,32,50,33,51,34,52,665,670,711,718,731,732,734,749,755,758,869,872,875,871,752,756,753,737,747,742,733,729,721,693,706,696,431,447,446,440,430,439,438,429,428,437,444,456,457,
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