集合的并 交 补基本运算法则.docx

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集合的并交补基本运算法则

集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．

定理4.2.1.设A,B,C为任意三个集合，Ω与∅分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：

（1）  交换律：

A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）  结合律：

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（可记作A∪B∪C）,

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（可记作A∩B∩C）；

（3）  分配律:

（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）,

（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）；

（4）  摩根（Morgan）律:

，；

（5）  等幂律:

A∪A=A，A∩A=A；

（6）    吸收律:

（A∩B）∪A=A，（A∪B）∩A=A；

（7）  0―1律:

A∪∅=A，A∩Ω=A，

 A∪Ω=Ω，A∩∅=∅；

（8）  互补律:

∅；

（9）  重叠律:

.

证.借助文氏（Venn）图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．

例4.2.1试证明等式

证.

＝Ω∩C＝C

对偶.定理4.2.1的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理.例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式 ．

例4.2.2的对偶为；的对偶为；的对偶式是