全国高中数学联赛A卷试题和答案1838.docx
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全国高中数学联赛A卷试题和答案1838
2017年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1.设f（x）
是定义在R上的函数，对任意实数
x有f（x3）
f（x4）
1.又当0
x7
时，f（x）
log2（9
x），则f（
100）的值为__________.
2.若实数x,y满足x2
2cosy
1，则x
cosy的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系
x2
y2
xOy中，椭圆C的方程为:
1，F为C的上焦点，A为C的
9
10
右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，
则四边形OAPF的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过
1，则称其为“平稳数”
.平稳数的个数是
5.正三棱锥PABC中，AB
1，AP
2，过AB的平面
将其体积平分，则棱
PC与
平面
所成角的余弦值为__________.
6.在平面直角坐标系
xOy中，点集K
（x,y）x,y
1,0,1
.在K中随机取出三个点，则这
三点中存在两点之间距离为
5的概率为__________.
7.在
ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若A
，ABC的面积为
3
3，则AMAN的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列
an,bn
满足：
a10
b10
2017，对任意正整数
n，有
an2
an
1an，bn1
2bn，则a1
b1的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设k,m为实数，不等式x2kxm1对所有xa,b成立.证明：
ba22.
10.设x1,x2,x3是非负实数，满足x1x2
x31，求（x13x25x3）（x1
x2
x3）的最
3
5
小值和最大值.
11.设复数z1,z2满足Re（z1）0，Re（z2）0，且Re（z12）Re（z22）2（其中Re（z）表示
复数z的实部）.
（1）求Re（z1z2）的最小值；
（2）求z12z22z1z2的最小值.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试
一.如图，在ABC中，ABAC，I为ABC的内心，以A
为圆心，AB为半径作圆1，以I为圆心，IB为半径作圆2，
过点B,I的圆3与1,2分别交于点P,Q（不同于点B）.设
IP与BQ交于点R.证明：
BRCR
二.设数列an
定义为a1
1，an1
an
n,an
n,
2017
an
n,an
n1,2,.求满足arr3
n,
的正整数r的个数.
三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相
邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
四.设m,n均是大于
1的整数，mn，a1,a2,,an是n个不超过m的互不相同的正整数，
且a1,a2,,an
互素.证明：
对任意实数x，均存在一个i（1i
n），使得
2
x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.
aix
m（m1）
2017年全国高中数学联赛A卷
一试答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷
二试答案
一.
二.
三.
四.
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