全国高中数学联赛A卷试题和答案1838.docx

1、全国高中数学联赛A卷试题和答案18382017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1.设 f ( x)是定义在 R 上的函数，对任意实数x 有 f ( x 3)f ( x 4)1.又当 0x 7时， f (x)log 2 (9x) ，则 f (100) 的值为 _ .2.若实数 x, y 满足 x 22 cos y1 ，则 xcos y 的取值范围是 _.3.在平面直角坐标系x 2y2xOy 中，椭圆 C 的方程为 :1，F 为 C的上焦点， A为C 的910右顶点， P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为 _.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超

2、过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥 P ABC 中， AB1， AP2 ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为 _ .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集 K( x, y) x, y1,0,1.在 K 中随机取出三个点， 则这三点中存在两点之间距离为5 的概率为 _.7.在ABC 中， M 是边 BC 的中点， N 是线段 BM 的中点 .若 A， ABC 的面积为33 ，则 AM AN 的最小值为 _.8.设两个严格递增的正整数数列an , bn满足： a10b102017 ，对任意正整数n ，有an 2an1an ， bn 12bn ，则 a1b

3、1 的所有可能值为 _.二、解答题9.设 k, m 为实数，不等式 x 2 kx m 1对所有 x a, b 成立 .证明： b a 2 2 .10.设 x1 , x2 , x3 是非负实数，满足 x1 x2x3 1，求 ( x1 3x2 5x3 )( x1x2x3 ) 的最35小值和最大值 .11.设复数 z1 , z2 满足 Re( z1 ) 0， Re(z2 ) 0 ，且 Re(z12 ) Re(z22 ) 2（其中 Re(z) 表示复数 z 的实部） .（ 1）求 Re( z1 z2 ) 的最小值；（ 2）求 z1 2 z2 2 z1 z2 的最小值 .2017 年全国高中数学联赛 A

4、 卷二试一.如图，在 ABC 中， AB AC ， I 为 ABC 的内心，以 A为圆心， AB 为半径作圆 1 ，以 I 为圆心， IB 为半径作圆 2 ，过点 B, I 的圆 3 与 1, 2 分别交于点 P,Q （不同于点 B ）.设IP 与 BQ 交于点 R .证明： BR CR二 .设数列 an定义为 a11 ， an 1ann, ann,2017ann, ann 1,2, .求满足 ar r 3n,的正整数 r 的个数 .三.将 33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一， 使得每种颜色的小方格的个数相等 .若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边” .试求分隔边条数的最小值 .四.设 m, n 均是大于1 的整数， m n ， a1, a2 , , an 是 n 个不超过 m 的互不相同的正整数，且 a1 , a2 , , an互 素 . 证 明 ： 对 任 意 实 数 x ， 均 存 在 一 个 i (1 in) ， 使 得2x ，这里 y 表示实数 y 到与它最近的整数的距离 .ai xm(m 1)2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A 卷二试答案一 .二 .三 .四 .