高考立体几何题型与方法全归纳文科docx.docx

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2019高考立体几何题型与方法全归纳文科

配套练习

、四棱锥

PABCD

中

PA

⊥底面

ABCD,

PA23

BCCD2,ACBACD

.

1

3

（Ⅰ）求证:

BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF7FC,求三棱锥PBDF的体积。

【答案】

（

Ⅰ

证明

因为

，即BCD为等腰三角形，又ACB

ACD

故BD

AC

.

）

:

BC=CD

因为PA

底面ABCD，所以PA

BD,从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，

故BD⊥平面PAC。

（Ⅱ）解：

SBCD1BC?

CD?

sin

BCD

1

2

2sin2

3

.

2

2

3

由PA

1

SBCD

PA

1

32

3

2.

底面ABCD知VPBDC

3

3

由PF

7FC,得三棱锥FBDC的高为1PA,

8

11

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故：

VFBDC

1

SBCD

1PA

1

3

1

23

1

3

8

3

8

4

VPBDFVPBCD

VF

1

7

BCD

2

4

4

2、如图，四棱锥P

ABCD中，四边形ABCD为矩形，PAD为等腰三角形，APD

90，平面PAD

平面ABCD，且AB

1,AD2

，E,F分别为PC和BD的中点．

P

E

D

C

F

A

B

（Ⅰ）证明：

EFP平面PAD；

（Ⅱ）证明：

平面PDC平面PAD；

（Ⅲ）求四棱锥PABCD的体积．

P

E

D

C

OF

AB

【答案】

（Ⅰ）证明：

如图，连结AC．

∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．

又E是PC的中点，EFPAP

22

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∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EFP平面PAD；

（Ⅱ）证明：

∵平面PAD平面ABCD，CDAD，平面PADI平面ABCDAD，

所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PACD

又PAPD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD

又PA平面PAD，平面PDC平面PAD；

（Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以POAD，

因为面PAD面ABCD且面PADI面ABCDAD，

所以，PO面ABCD，

即PO为四棱锥PABCD的高．

由AD2得PO1．又AB

1．

∴四棱锥PABCD的体积V

1POABAD

2

3

3

考点：

空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图，在四棱锥P

ABCD中，PD

平面ABCD，CD

PA，DB平分

ADC，E为PC的中点，

DAC45o，AC

2.

（Ⅰ）证明：

PA∥平面BDE；

33

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（Ⅱ）若PD2,BD22,求四棱锥EABCD的体积

【答案】（Ⅰ）设ACBDF，连接EF，

PD平面ABCD，CD平面ABCD，PDCD

又CDPA，PDPAP，PD，PA平面PAD

CD平面PAD，AD平面PADCDAD

∵DAC45,∴DADC,

∵DB平分ADC,F为AC中点，E为PC中点，

∴EF为CPA的中位线.

∵EF∥PA,EF平面BDE，PA平面BDE

∴PA∥平面BDE.

（Ⅱ）底面四边形ABCD的面积记为S;

SSADCSABC

1

2

2

1

2

3

22．

2

2

2

2

点E为线段PC的中点，

VEABCD

1

S

1

PD

1

2

1

2

2．

3

2

3

2

3

考点：

1.

线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.

4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，其中PAPDAD2，BAD60，Q为AD

的中点．

44

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（1）求证：

AD平面PQB；

（2）若平面PAD平面ABCD,且M为PC的中点，求四棱锥MABCD的体积．

【答案】

（1）QPAPD，Q为中点，ADPQ

连DB，在ADB中，ADAB，BAD60，

ABD为等边三角形，Q为AD的中点，

ADBQ,

PQBQQ,PQ平面PQB,BQ平面PQB,

AD平面PQB.

（2）连接QC,作MHQC于H.

P

M

C

D

H

Q

AB

55

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QPQAD,PQ平面PAD,平面PAD平面ABCDAD,平面PAD平面ABCD，

PQ平面ABCD,QC平面ABCD,

PQQC

PQ//MH.

MH平面ABCD,

又PM

12PC,MH

1PQ

1

3

2

3.

2

2

2

2

在菱形ABCD中，BD2,

SABD

1

ABADsin600=1

22

3=3,

2

2

2

S菱形ABCD

2SABD

23.

VMABCD1

S菱形ABCD

MH

123

3

1．

3

3

2

5、如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，ABAE

2AD4，现将ABE沿

3

BE边折至

PBE位置，且平面PBE

平面BCDE.

⑴求证：

平面PBE平面PEF；

⑵求四棱锥PBEFC的体积.

P

A

E

D

E

D

F

F

B

CB

C

（1）

（2）

66

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DEF中

ED

DF

DEF

45

【答案】

（1）

证明：

由题可知，

ED

DF

EFBE

中

AE

AB

45

ABE

AE

AEB

AB

平面ABE平面BCDE

平面ABEI平面BCDE

BE

EF

平面PBE

平面PBE

平面PEF

EF

BE

EF

平面PEF

（2）

SBEFC

SABCD

SABE

SDEF6

4

1

44

122

14，则

2

2

V

1

1

14

2

28

2

SBEFC

h

2

.

3

3

3

6、已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD,ABCD是正方形，E是PA的中点，

P

E

AB

DC

（1）若PDAD，求PC与面AC所成的角

（2）求证：

PC//平面EBD

（3）求证：

平面PBC⊥平面PCD

【答案】

（1）QPD平面ABCD，DC是直线PC在平面ABCD上的射影，PCD是直线PC和平

77

v1.0

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面ABCD所成的角。

又QPDDA，四边形ABCD是正方形，DADC,

PDDC，PCD

450；

直线PC和平面ABCD所成的角为450

（2）连接AC交BD与O,连接EO,∵E、O分别为PA、AC的中点

∴EO∥PC

∵PC平面EBD,EO平面EBD∴PC∥平面EBD

（3）∵PD

平面ABCD,BC平面ABCD，∴PDBC，

∵ABCD为正方形∴BC

CD，

∵PD∩CD=D,PD，CD平面PCD

∴BC平面PCD

又∵BC平面PBC

∴平面PBC平面PCD

7、在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．

（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；

（2）证明AB平面BEF；

（3）求四棱锥EAFNM的体积．【答案】

（1）MN平行平面AEF

88

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证明：

由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点（折叠后B、C两点重合）

所以MN平行AF

MN

面AEF

因为AF

面AEF，所以MN平行平面AEF.

MN平行AF

（2）证明：

由题意可知ABBE的关系在折叠前后都没有改变.

因为在折叠前ADDF，由于折叠后AD与AB重合，点D与F重合，所以ABBF

AB

BE

AB

BF

因为BE

面BEF，所以AB

平面BEF.

BF

面BEF

BE

BF=B

（3）VE

AFNM

VE

ABFVE

MBN

VABEF

VMBEN

1SBEF

AB

1S

BENMB

1

122

4

1

1

212

3

3

3

2

3

2

2.

8、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

（1）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（2）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

99

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【答案】

（1）证明：

∵MA平面ABCD，PD∥MA，

∴PD平面ABCD，

又BC平面ABCD，∴PDBC，

∵ABCD为正方形，∴BCDC.

∵PDIDC＝D，∴BC平面PDC.

在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

∴GF∥BC，∴GF平面PDC.

又GF平面EFG，∴平面EFG平面PDC.

（2）不妨设MA=1，∵ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2，

又∵PD平面ABCD，

所以VP－ABCD＝1S正方形ABCDPD＝8.

33

由于DA平面MAB，且PD∥MA，

所以DA即为点P到平面MAB的距离，

三棱锥VP－MAB

＝1

×1

12×2＝2.

3

2

3

所以V－

MAB

:

V－

ABCD

＝1:

4.

P

P

9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥

S-ABCD中，

ABC

90,SA

面ABCD，SAAB

BC1,AD

1.

2

1010

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S

BC

AD

（1）求四棱锥S-ABCD的体积;

（2）求证：

面SAB面SBC;（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值。

【答案】

（1）解：

1

1

1

1

1

1

v

Sh

2

（ADBC）ABSA

（

1）11

3

3

6

2

4

（2）证明：

SA

面ABCD，BC

面ABCD,又

ABBC，SAABA,

BC面SAB

SA

BC

BC面SAB面SAB面SBC

（3）解：

连结AC,则SCA就是SC与底面ABCD所成的角。

在三角形SCA中，SA=1,AC=1212

2,tanSCA

SA

1

2

AC

2

2

10、如图，DC平面ABC，EB//DC，ACBCEB

2DC

2，

ACB120o

，

分别为

AE,AB

P,Q

的中点．（I）证明：

PQ//平面ACD；（II）求AD

与平面ABE所成角的正

弦值．

1111

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【答案】（Ⅰ）证明：

连接DP,CQ，在ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以PQ//1BE，

2

又DC//1BE，所以PQ//DC，又PQ平面ACD，DC平面ACD，所以PQ//平面ACD

2

（Ⅱ）在ABC中，ACBC2,AQBQ，所以CQAB

而DC平面ABC，EB//DC，所以EB平面ABC

而EB平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以CQ平面ABE

由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ

所以DP平面ABE，所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，

所以直线AD与平面ABE所成角是DAP

在RtAPD中，ADAC2DC222125，DPCQ2sinCAQ1

所以sinDAP

DP15

AD55

1212