二项式定理知识点总结.docx
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二项式定理知识点总结
二项式定理
、二项式定理:
（a+b）n=C0an+cWb+…+C：
anJV+…+C肘（龙N）等号右边的多项式叫做@+盯的二项展开式，其中各项的系数Ck（k=0,1,2,3…n）叫做二项式系数。
对二项式定理的理解：
（1）二项展开式有n1项
（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；
字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方
便。
在定理中假设“1，b=x，则
1xn=C；xn「cny-「n■）
（4）要注意二项式定理的双向功能：
一方面可将二项式（a+b『展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式
（a+bJ
二、二项展开式的通项：
Tk1乂冷气*
kn―kk
二项展开式的通项Tk1=Cnab（—O,1,2,3…n）是二项展开式的第k1项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，
是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂
的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用
kn_kk
对通项Tki二Cnab（k=°,1,2,3n）的理解：
（1）字母b的次数和组合数的上标相同
（2）a与b的次数之和为n
（3）在通项公式中共含有a，b，n，k，Tki这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
例「C：
+30；+9Cn3十…+3n」C；；等于（）
4n_14n-1
A.4nB。
34nC。
3一D.3
例2.
（1）求（12x）7的展开式的第四项的系数；
（X_丄）9
（2）求7的展开式中X3的系数及二项式系数・
三、二项展开式系数的性质:
①对称性：
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二
项式系数相等，即C>Cnn,C>Cnn4,C2=C：
"/C^C：
"；-
②增减性与最大值：
在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数:
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，
n-1
Cnmax二6^
3二项展开式的各系数的和等于2n，令a=1，b=1即CnC•…二（11）n=2n；
4奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a=1，
b一1即C0Cn2-=cnCn—=2nJ
11
例题：
写出（x-y）的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）项的系数绝对值最大的项；
（3）项的系数最大的项和系数最小的项；
（4）二项式系数的和；
（5）各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式佝^n）n的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。
（2+12）3
例题：
求多项式）的展开式
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。
25o
例题：
求（「x）（1-X）的展开式中X3的系数
例题：
（1）如果在124X丿的展开式中，前一项的系数成等
差数列，求展开式中的有理项。
【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的
展开式系数和特征来定
例题：
已知（1-2x）7+aix+a2x2+川+a7X7，求:
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面:
（1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
（3）证明有关的等式和不等式。
如证明：
，公门一3,n・N取+仃的展开式中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法
（1）近似计算的处理方法
当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求（1•x）n的近
似值。
6
例题：
⑴05）的计算结果精确到0.01的近似值是
（）
A.1.23B.1.24
C.1.33D.1.34
（2）整除性问题或求余数的处理方法
1解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
2用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为-1，若k为其他数，则需对幂的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
3要注意余数的范围，对给定的整数a，b（b=O），有确定的一对整
数q和r，满足a=bq+r，其中b为除数，r为余数，“0,b［利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数
例题：
求201363除以7所得的余数
n1n」2n_2n~1
例题：
若n为奇数，则7Cn7Cn^'Cn7被9除得的余
数是（）
A.0B。
2C。
7D.8
【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目
而定
综合测试
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在的展开式中，x6的系数为
D.9C：
o
2.已知a+b>0,b=4a,®+b）n的展开式按a的降幂排列，其中
第n项与第1项相等，那么正整数n等于
11:
2,则
C.12
A.10
D.13
4.5310被8除的余数是
1.24
A.1.23
6.二项式2-X4x（）的展开式中，前三项的系数依次成等
差数列，则此展开式有理项的项数是
11
7.设（332）n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h,
若272，则展开式的x2项的系数是
（）
A.2B.1C.2D.3
8.在（「X—X2）6的展开式中X5的系数为
（）
A.4B.5C.6D.7
9.（瞧+舉）°展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项
的系数中最大的值是
A.330
B.462
C.680
D.790
10.（X1）4（x-1）5
（）
的展开式中，
X4的系数为
11.二项式
（1）n的展开式中，末尾两项的系数之和为7且系数
5
最大的一项的值为
2，贝Ux在［0,2n］内的值为
（
）
兀5兀兀2兀
A.6或3
B.
6或6C.3或3
JT5兀
D.3或6
12.在
（1）5+
（1）6+
（1）7
的展开式中
含x4项的系数是等差数列
3n-5的（
）
A.第2项B.第11项
C.第20项
D.第24项
写出结果.
（X2-丄）9
13.（2x丿展开式中x9的系数是
14.若（2x+Q=a。
+a1X+…+a4X4，贝y（a。
+a?
+a4f-佃+a3f的值为.
/3丄n
15.若（xx）的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中
的常数项是
16.对于二项式
（1）1999，有下列四个命题：
2展开式中非常数项的系数和是1;
3展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
4当2000时，
（1）1999除以2000的余数是1.
其中正确命题的序号是.（把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：
本大题满分74分.
（仮+丄）n
17.（12分）若x展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.
（）求n的值；
（2）此展开式中是否有常数项，为什么？
和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数.
19.（12分）是否存在等差数列玄：
使
aiCna2Cna3Cn…ann2对任意nN都成立？
若存在，
求出数列Qi的通项公式；若不存在，请说明理由.
20．（12分）某地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。
如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）？
21.（12分）设f（x）=
（1）
（1）n（m、nN），若其展开式中，关于
x的一次项系数为11,试问：
mn取何值时，f（x）的展开
式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.
…x（x-1）（x-m1）
Cx=
22.（14分）规定m!
，其中x€Rm是正整数，
且Cx"，这是组合数Cn（n、m是正整数，且men）的一种推广.
3
（1）求C45的值;
⑵设x>0,当x为何值时，耐取得最小值?
（3）组合数的两个性质;
是否都能推广到c「（x€Rm是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.
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