一元二次方程测试题.docx

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一元二次方程测试题

一元二次方程测试题（辅优三）　

一．选择题（4×9＝36´）

1．用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（　　）

A．

（x+3）2=8

B．

（x﹣3）2=1

C．

（x﹣3）2=10

D．

（x+3）2=4

2．已知a，b为实数，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则代数式a2+b2的值为（　　）

A．

B．

C．

﹣2

D．

3或﹣2

3．在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）=8，则OP的长（　　）

A．

B．

C．

D．

或1

4．关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（　　）

A．

有最大值13

B．

有最小值﹣3

C．

有最大值37

D．

有最小值1

5．若M=2x2﹣12x+15，N=x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　）

A．

M≥N

B．

M＞N

C．

M≤N

D．

M＜N

6．若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限．

A．

四

B．

三

C．

二

D．

一

7．方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（　　）

A．

﹣2012

B．

C．

2012

D．

2013

8．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（　　）

A．

B．

C．

D．

9．有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（4×10≡40´）

10．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是　　　　　　．

11．已知实数x满足x2+

﹣x﹣

=0，则x+

=　　　　　　．

12．已知x、y是实数，并且

+y2﹣6y+9=0．则（xy）2015的值是　　　　　　．

13．若

+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　　．

14．已知m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根，则

（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）=　　　　　　．

15．若关于x的方程x2+2nx+n2﹣3n+2=0有两个实数根x1、x2，则x1•x2+5n的最小值为　　　　　　．

16．为应对金融危机，某工厂从2008年到2010年把某种产品的成本下降了19%，

则平均每年下降的百分数为　　　　　　．

17．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为　　　　　　m．

18．有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了　　　　　　人．

19．如图：

等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上作等边△EDC，连结AE．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m=0的两根，当m为符合题意的最大的整数时，则不同位置的D点共有　　　　　　个．

三．解答题（3×8＝24´）

20已知：

关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：

的值；

（3）根据

（2）的结果你能得出什么结论？

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k=1时，设方程的两根分别为x1，x2，求x12+x22的值；

（3）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

22．为更好地响应丽水市的创国卫活动，某校抽取了九年级部分同学对饮食卫生知识进行了测试，并将测试结果按照A，B，C，D四个等级绘制成如下两个统计图，请结合图中信息解答下列问题：

（1）请把条形统计图补充完整，并求出扇形统计图中B部分所对应的圆心角的度数；

（2）该校共有学生1000人，若把测试结果为A的记为优秀，请根据样本估计全校饮食卫生知识了解情况达到优秀的学生人数是多少？

（3）为进一步提高学生对饮食卫生知识的知晓率，学校又连续组织了两次测试，最后一次达到优秀的学生增加到750人，求平均每次的增长率．

2015年09月21日1105107430的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2015•安庆二模）用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（　　）

A．

（x+3）2=8

B．

（x﹣3）2=1

C．

（x﹣3）2=10

D．

（x+3）2=4

考点：

专题：

计算题．

分析：

先移项得到x2+6x=﹣1，再把方程两边加上9，然后利用完全平方公式即可得到（x+3）2=8．

解答：

解：

x2+6x=﹣1，

x2+6x+9=﹣1+9，

（x+3）2=8．

故选A．

点评：

本题考查了解一元二次方程﹣配方法：

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．注意方程两边同时加上一次项系数一半的平方．

2．（2014•始兴县校级模拟）已知a，b为实数，（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6=0，则代数式a2+b2的值为（　　）

A．

B．

C．

﹣2

D．

3或﹣2

考点：

分析：

设a2+b2=x，将原方程变形，解一元二次方程即可．

解答：

解：

设a2+b2=x，

原方程变形为，x2﹣x﹣6=0，

解得x=3或﹣2，

∵a2+b2≥0，

∴a2+b2=3，

故选B．

点评：

本题考查了用换元法解一元二次方程，解题的关键是找出要变形的整体．

3．（2014秋•麦积区校级期末）在直角坐标系xOy中，已知P（m，n），m、n满足（m2+1+n2）（m2+3+n2）=8，则OP的长（　　）

A．

B．

C．

D．

或1

考点：

分析：

OP=m2+n2．设t=m2+n2．则用t代替方程中的m2+n2，将原方程转化为关于t的新方程，通过解新方程求得t即m2+n2的值即可．

解答：

解：

设t=m2+n2．则由原方程，得

（1+t）（3+t）=8，

整理，得

t2+4t﹣5=0，即（t+5）（t﹣1）=0，

解得t=﹣5（舍去）或t=1．

∵P（m，n），

∴OP=m2+n2=1．

故选：

B．

点评：

本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

4．（2015春•重庆校级期末）关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（　　）

A．

有最大值13

B．

有最小值﹣3

C．

有最大值37

D．

有最小值1

考点：

配方法的应用；非负数的性质：

分析：

利用配方法将已知多项式转化为﹣2（x﹣2）2+13的形式，然后利用非负数的性质进行解答．

解答：

解：

﹣2x2+8x+5=﹣2（x﹣2）2+13，

∵（x﹣2）2≥0，

∴﹣2（x﹣2）2+13≤13，即多项式﹣2x2+8x+5的最大值为13，没有最小值．

故选：

A．

点评：

本题考查了非负数的性质和配方法的应用．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

5．（2015春•张家港市校级期中）若M=2x2﹣12x+15，N=x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（　　）

A．

M≥N

B．

M＞N

C．

M≤N

D．

M＜N

考点：

配方法的应用；非负数的性质：

分析：

利用求差法判定两式的大小，将M与N代入M﹣N中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．

解答：

解：

M﹣N=（2x2﹣12x+15）﹣（x2﹣8x+11），

=x2﹣4x+4，

=（x﹣2）2．

∵（x﹣2）2≥0，

∴M≥N．

故选：

A．

点评：

本题考查了配方法的应用和非负数的性质．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

6．（2015•安顺）若一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第（　　）象限．

A．

四

B．

三

C．

二

D．

一

考点：

分析：

根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4m＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m+1）x+m﹣1图象经过的象限．

解答：

解：

∵一元二次方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，

∴△＜0，

∴△=4﹣4（﹣m）=4+4m＜0，

∴m＜﹣1，

∴m+1＜1﹣1，即m+1＜0，

m﹣1＜﹣1﹣1，即m﹣1＜﹣2，

∴一次函数y=（m+1）x+m﹣1的图象不经过第一象限，

故选D．

点评：

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．

7．（2015•怀化校级自主招生）方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是（　　）

A．

﹣2012

B．

C．

2012

D．

2013

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

先根据绝对值的意义分类讨论：

当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0；当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，然后根据根与系数的关系分别得到两个方程的两根之和，再求所有根之和．

解答：

解：

当x＞0时，原方程化为x2﹣2012x+2013=0，方程的两根之和为2012；

当x＜0时，原方程化为x2+2012x+2013=0，方程的两根之和为﹣2012，

所以方程x2﹣2012|x|+2013=0的所有实数根之和是0．

故选B．

点评：

本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

．

8．（2015•港南区一模）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

利用根与系数的关系及一元二次方程的解的定义得出m+n=﹣2，m•n=﹣5，m2=5﹣2m，再将m2﹣mn+3m+n变形为两根之积或两根之和的形式，然后代入数值计算即可．

解答：

解：

∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，

∴mn=﹣5，m+n=﹣2，m2+2m﹣5=0，

∴m2=5﹣2m，

∴m2﹣mn+3m+n

=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n

=10+m+n

=10﹣2

=8．

故选C．

点评：

此题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解的定义，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

9．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

应用题．

分析：

根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

解答：

解：

根据题意得：

1+x+x（1+x）=49，

解得：

x=6或x=﹣8（舍去），

则x的值为6．

故选：

B．

点评：

此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键．

二．填空题（共10小题）

10．（2015•齐齐哈尔）△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是　8　．

考点：

分析：

先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．

解答：

解：

解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5，

∴△ABC的第三边为3或5，

但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，

∴△ABC的第三边长为3，

∴△ABC的周长为2+3+3=8，

故答案为：

8．

点评：

本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．

11．（2014•武侯区一模）已知实数x满足x2+

﹣x﹣

=0，则x+

=　2　．

考点：

分析：

根据方程的特点，可用换元法求解，根据因式分解法，可得答案．

解答：

解：

设x+

=u，x

，

u2﹣u﹣2=0，

（u﹣2）（u+1）=0，

u=2或u=﹣1（不符合题意的要舍去），

故答案为：

2．

点评：

本题考查了换元法解一元二次方程，换元是解题的关键．

12．（2015•芜湖三模）已知x、y是实数，并且

+y2﹣6y+9=0．则（xy）2015的值是　﹣1　．

考点：

配方法的应用；非负数的性质：

偶次方；非负数的性质：

专题：

计算题．

分析：

已知等式变形后，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出原式的值．

解答：

解：

∵

+y2﹣6y+9=

+（y﹣3）2=0，

∴

，

解得：

x=﹣

，y=3，

则原式=﹣1．

故答案为：

﹣1．

点评：

此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13．（2015•诏安县校级模拟）若

+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是　k≤4且k≠0　．

考点：

根的判别式；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

分析：

根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．

解答：

解：

∵

+|b﹣1|=0，

∴a=4，b=1，

则原方程为kx2+4x+1=0，

∵该一元二次方程有实数根，

∴△=16﹣4k≥0，

解得，k≤4．

∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，

∴k≠0，

故答案为k≤4且k≠0．

点评：

本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于m的不等式是解题的关键．

14．（2015•郫县模拟）已知m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）=　2008　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

先根据根与系数的关系求得x1+x2及x1•x2的值；然后化简（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）；最后将其代入求值即可．

解答：

解：

∵m、n是方程x2+2016x+7=0的两个根，

∴m+n=﹣2016，mn=7；

∴m2+2016m+7=0，

n2+2016n+7=0，

（m2+2015m+6）（n2+2017n+8），

=（m2+2016m+7﹣m﹣1）（n2+2016n+7+n+1），

=﹣（m+1）（n+1），

=﹣（mn+m+n+1），

=﹣（7﹣2016+1），

=2008．

故答案是：

2008．

点评：

本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．解答此题的技巧性在于利用了一元二次方程解的意义（方程的根满足原方程的解析式）化简了（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）．使问题变得简单了许多．

15．（2015•济南一模）若关于x的方程x2+2nx+n2﹣3n+2=0有两个实数根x1、x2，则x1•x2+5n的最小值为　

　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

先根据判别式的意义得到得n≥

，再根据根与系数的关系得x1•x2=n2﹣3n+2，所以x1•x2+5n=n2﹣3n+2+5n，然后配方得到（n+1）2+1，再利用二次函数的性质确定x1•x2+5n的最小值．

解答：

解：

根据题意得△=4n2﹣4（n2﹣3n+2）≥0，解得n≥

，

∵x1•x2=n2﹣3n+2，

∴x1•x2+5n=n2﹣3n+2+5n

=n2+2n+2，

=（n+1）2+1，

∴当n≥

时，x1•x2+5n随n的增大而增大，

且n=

时，x1•x2+5n有最小值，最小值=（

+1）2+1=

．

故答案为

．

点评：

本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

．也考查了根的判别式和二次函数的最值．

16．（2015•黄岛区校级模拟）为应对金融危机，某工厂从2008年到2010年把某种产品的成本下降了19%，则平均每年下降的百分数为　10%　．

考点：

专题：

增长率问题．

分析：

如果把2006年的成本看作单位“1”，设平均每年下降的百分率为x，那么2009年的成本为（1﹣x）元，2010年的成本为（1﹣x）2元，而此时的成本为（1﹣19%）元，根据这个等量关系列出方程．

解答：

解：

设每年下降的百分率为x，

由题意，可得（1﹣x）2=1﹣19%，

解得x1=0.1，x2=1.9（不合题意舍去）．

所以平均每年下降的百分率为10%．

故答案为：

10%．

点评：

本题考查了一元二次方程的解，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

17．（2015•东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为　2　m．

考点：

专题：

几何图形问题．

分析：

设路的宽度是xm．把两条曲路移到矩形花草区的两边，则剩下的部分是一个矩形，根据矩形的面积公式，即可列方程求解．

解答：

解：

设路的宽度是xm．根据题意，得

（40﹣2x）（26﹣x）=864，

x2﹣46x+88=0，

（x﹣2）（x﹣44）=0，

x=2或x=44（不合题意，应舍去）．

答：

路的宽度是2m．

点评：

此类题中注意利用平移的知识把道路平移到一块儿，对花草面积进行整体计算．

18．（2015春•启东市月考）有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了　13　人．

考点：

分析：

首先设每轮发送中平均一个人发送给x个人，第一轮后共有x人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有x（1+x）人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送后共有196人的手机上有了该短信列出方程，再解方程即可．

解答：

解：

设每轮发送中平均一个人发送了x人，由题意得：

1+x+x（1+x）=196，

解得：

x1=13，x2=﹣15（不合题意舍去）．

答：

每轮发送中平均一个人发送了13人．

故答案为：

13．

点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

19．（2014•无锡模拟）如图：

等边△ABC中，D在射线BA上，以CD为一边，向右上作等边△EDC，连结AE．若BC、CD的长为方程x2﹣15x+7m=0的两根，当m为符合题意的最大的整数时，则不同位置的D点共有　3　个．

考点：

分析：

先由根的判别式求出um的取值范围，再求出m的值，再解这个方程x2﹣15x+7m=0，就可以求出x的值从而得出BC、CD的值，进而可以得出结论．

解答：

解：

由题意，得

225﹣28m≥0，

解得：

m≤

．

∵m为最大的整数，

∴m=8．

∴x2﹣15x+56=0，

∴x1=7，x2=8．

当BC=7时，CD=8，

∴点D在BA的延长线上，如图1．

当BC=8时，CD=7，

∴点D在线段BA上，有两种情况，如图2，在D和D′的位置．

∴综上所述，不同D点的位置有3个．

故答案为：

3．

点评：

本题考查了根的判别式的运用，一元一次不等式的解法解运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出m的值是解答一元二次方程的关键．

三．解答题（共3小题）

20．（2015•合肥校级自主招生）已知：

关于x的方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：

的值；

（3）根据

（2）的结果你能得出什么结论？

考点：

分析：

（1）由方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；

（2）欲求

的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）

的值就为一定值．

解答：

解：

（1）△=4+4k，

∵方程有两个不等实根，

∴△＞0，

即4+4k＞0

∴k＞﹣1

（2）由根与系数关系可知α+β=﹣2，

αβ=﹣k，

∴

，

（3）由

（1）可知，k＞﹣1时，

的值与k无关．

点评：

将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

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