r>R2时，E3=R1V0RV（r-R1）QR1Q-；V2=10+22r4πε0R2rr4πε0R2rR1V0（R2-R1）QR1V0（R2-R1）Q+；V=+3r4πε0R2rr24πε0R2r2
题8.3：
在一半径为R1=6.0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B。
已知球壳B的内、外半径分别为R2=8.0cm，R3=10.0cm。
设球A带有总电荷QA=3.0⨯10-8C，球壳B带有总电荷QB=2.0⨯10-8C。
（l）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势；
（2）将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求球A和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳B的电势。
题8.3分析：
（1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球A表面，球壳B内表面带电荷-QA，外表面带电荷QB+QA，电荷在导体表面均匀分布，
由带电球面电势的叠加可求得球A和球壳B的电势。
（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。
球壳B接地后，外表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电-QA。
断开球壳B的接地后，再将球A接地，此时球A的电势为零。
电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B内表面感应-qA，外表面带电qA-QA。
此时球A的电势可表示为
VA=qA
4πε0R1+-qAq-QA+A4πε0R24πε0R3
由VA=0可解出球A所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，可求出球A和球壳B的电
势。
解：
（1）由分析可知，球A的外表面带电3.0⨯10-8C，球壳B内表面带电-3.0⨯10-8C，外表面带电5.0⨯10-8C。
由电势的叠加，球A和球壳B的电势分别为
VA=
VB=QA4πε0R1+-QAQ+QB+A=5.6⨯103V4πε0R24πε0R3QA+QB=4.5⨯103V4πε0R3
（2）将球壳B接地后断开，再把球A接地，设球A带电qA，球A和球壳B的电势为VA=
VB=qA4πε0R1+-qA-QA+qA+=04πε0R24πε0R3-QA+qA4πε0R3
R1R2Q=2.12⨯10-8CR1R2+R2R3-R1R3解得qA=
即球A外表面带电2.12⨯10-8C，由分析可推得球壳B内表面带电-2.12⨯10-8C，外表面带电-0.9⨯10-8C。
另外球A和球壳B的电势分别为
VA=0
VB=-7.92⨯102V
导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。
题8.4：
地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100km，试估算地球－电离层系统的电容。
设地球与电离层之间为真空。
题8.4解：
由于地球半径R1=6.37⨯106m；电离层半径R2=1.00⨯105m+R1=6.47⨯106m，根据球形电容器的电容公式，可得
C=4πε0R1R2=4.58⨯10-2FR2-R1
题8.5：
两线输电线，其导线半径为3.26mm，两线中心相距0.5m，线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略。
求输电线单位长度的电容
题8.5解：
两输电线的电势差
λd-RU=lnπε0R
因此，输电线单位长度的电容
C=λ
U=πε0/lnd-Rd≈πε0/lnRR
代人数据
C=4.86⨯10-12F
题8.6：
由两块相距0.50mm的薄金属板A、B构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B分别相距0.25mm，金属板面积为30mm⨯40mm求：
（1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；
（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰，
问此时的电容又为原来的几倍。
题8.6分析：
薄金属板A、B与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两导体间距离较小。
电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得A、B间的电容。
。
解：
（1）如图，由等效电路可知
C=C23+C1=C2⋅C3+C1C2+C3
由于电容器可视作平板电容器，且d1=2d2=2d3，故C2=C3=2C1，因此A、B间的
总电容
C=2C1
（2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于C2（或者C3）极板短接，其电容
为零，则总电容
C'=3C1
题8.7：
在A点和B点之间有5个电容器，其连接如图所示。
（1）求A、B两点之间的等效电容；
（2）若A、B之间的电势差为12V，求UAC、UCD和UDB。
题8.7解：
（1）由电容器的串、并联，有
CAC=C1+C2=12μF
CCD=C3+C4=8μF
求得等效电容CAB=4μF
（2）由于QAC=QCD=QDB=QAB，得
UAC=
UCD=
UDB=CABUAB=4VCACCABUAB=6VCCDCABUAB=2VCCD
题8.8：
盖革—米勒管可用来测量电离辐射。
该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为R2的同轴圆柱筒为另一个电极。
它们之间充以相对电容率εr≈1的气体。
当电离粒子通过气体时，能使其电离。
若两极间有电势差时，极板间有电流，从而可测出电离粒子的数量。
如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度。
（1）求极板间电势的关系式；
（2）若E1=2.0⨯106V⋅m-1,R1=0.30mm,R2=20.0mm，两极板间的电势差为多少？
题8.8解：
（1）由上述分析，利用高斯定理可得E⋅2πrL=
则两极板间的电场强度
λE=2πε0r
导线表面（r=R1）的电场强度
λE1=2πε0R1
两极板间的电势差
U=⎰R2
R11ε0λL，E⋅dr=⎰R2R1Rλdr=R1E1ln22πε0rR1
（2）当E1=2.0⨯106V⋅m-1,R1=0.30mm,R2=20.0mm时，
U=2.52⨯103V
题8.9：
一片二氧化钛晶片，其面积为1.0cm2，厚度为0.10mm。
把平行平板电容器的两级板紧贴在晶片两侧。
（1）求电容器的电容；
（2）当在电容器的两板上加上12V电压时，极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？
此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？
（3）求电容器内的电场强度.
题8.9解：
（1）查表可知二氧化钛的相对电容率εr=173，故充满此介质的平板电容器的电容
d
（2）电容器加上U=12V的电压时，极板上的电荷
Q=CU=1.84⨯10-8CC=εrε0S=1.53⨯10-9F
极板上自由电荷面密度为
σ0=Q=1.84⨯10-4C⋅m-2S
晶片表面极化电荷密度
-4-2'=σ01-ε⎪⎪σ0=1.83⨯10C⋅m⎛⎝1⎫r⎭
（3）晶片内的电场强度为
E=U=1.2⨯105V⋅m-1d
题8.10：
如图所示，半径R=0.10m的导体球带有电荷Q=1.0⨯10-8C，导体外有两层均匀介质，一层介质的εr=5.0，厚度d=0.10m，另一层介质为空气，充满其余空间。
求：
（1）离球心为r=5cm、15cm、25cm处的D和E；
（2）离球心为r=5cm、15cm、25cm处的V；（3）极化电荷面密度σ'。
题8.10分析：
带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的
任取同心球面为高斯面，电位移矢量D的通量只与自由电荷分布有关，因此在高斯面D上呈均匀对称分布，由高斯定理D⋅dS=∑q0可得D（r）再由E=Dε0εr可得E（r）。
介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系V=⎰rE⋅dl求得，或者由电势叠
加原理求得。
极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化电荷体面密度'=Pn。
解：
（1）取半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理得∞
rD1=0；E1=0
RD2=QQ；E=24πr24πε0εrr2
r>R+d，D3⋅4πr2=Q
D3=QQ；E=34πr24πε0r2
将不同的r值代人上述两式，可得r=5cm、15cm和
25cm时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外。
r1=5cm，该点在导体球内，则
Dr1=0；Er1=0
r2=15cm，该点在介质层内，εr=5.0，则
Dr2=
Er2=Q4πεr22=3.5⨯10-8C⋅m-2Q4πε0εrr
Q
4πεr
Q
4πε0r22032=8.0⨯103V⋅m-1r3=25cm，该点在空气层内，空气中ε≈ε0，则Dr3=Er3==1.3⨯10-8C⋅m-2=1.4⨯103V⋅m-1
（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得
∞Qr3=25cm,V3=⎰E3⋅dr==360Vr14πε0r2
r2=15cm,V2=⎰R+d
r2E2⋅dr+⎰∞R+dE3⋅dr
QQ=-+=480V4πε0εrr24πε0εrR+d4πε0R+dr1=5cm,V1=⎰R+d
RQQ=-+=540V4πε0εrR4πε0εrR+d4πε0R+dQQE2⋅dr+⎰∞R+dE3⋅dr
（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率ε=ε0，极化电荷可忽略。
（εr-1）Q故在介质外表面；Pn=（εr-1）ε0En=24πεrR+dσ=Pn=（εr-1）Q
24πεrR+d=1.6⨯10-8C⋅m-2
在介质内表面：
Pn=（εr-1）ε0En=（εr-1）Q
4πεrR2
σ'=-Pn=-（εr-1）Q=-6.4⨯10-8C⋅m-2
4πεrR2
介质球壳内、外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。
题8.11：
一平板电容充电后极板上电荷面密度为σ0=4.5⨯10-3C⋅m-2。
现将两极板与电源断
开，然后再把相对电容率为εr=2.0的电介质插人两极板之间。
此时电介质中的D、E和P各为多少？
题8.11解：
介质中的电位移矢量的大小
D=Q=σ0=4.5⨯10-5C⋅m-2∆S
介质中的电场强度和极化强度的大小分别为
QE==2.5⨯106V⋅m-1ε0εr
P=D-ε0E=2.3⨯10-5C⋅m-2
D、P、E方向相同，均由正极板指向负极板（图
中垂直向下）。
题8.12：
在一半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为εr。
设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为λ。
试求介质层内的D、E和P。
题8.12解：
由介质中的高斯定理，有
D⋅dS=D⋅2πrL=λL得D=λer2πr
在均匀各向同性介质中
DλE==erε0εr2πε0εrr
⎛1P=D-ε0E=1-εr⎝⎫λ⎪⎪2πrer⎭
题8.13：
设有两个薄导体同心球壳A与B，它们的半径分别为R1=10cm与R3=20cm，并分别带有电荷-4.0⨯10-8C与1.0⨯10-7C。
球壳间有两层介质内层介质的εr1=4.0，外层介质的εr2=2.0，其分界面的半径为R2=15cm。
球壳B外为空气。
求
（1）两球间的电势差UAB；
（2）离球心30cm处的电场强度；（3）球A的电势。
题8.13分析：
自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上。
电场呈球对称分布。
取同心球面为高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布。
由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势，则A球壳的电势
VA=⎰AE⋅dl∞
解：
（1）由介质中的高斯定理，有
D⋅dS=D⋅4πr2=Q1
得D1=D2=
E1=
E2=D1Q1er4πr2Q1ererR14πε0εr2r2
R2ε0εr2R3
R1两球壳间的电势差UAB=⎰E⋅dl=⎰E1⋅dl+⎰R1R3R2E2⋅dl
⎛1Q11⎫⎪=-+⎪4πε0εr1⎝R1R2⎭4πε0εr2Q1⎛11⎫⎪R-R⎪3⎭⎝2
（2）同理由高斯定理可得
E3=Q1+Q2
4πε0r
∞2er=6.0⨯103erV⋅m-1（3）取无穷远处电势为零，则VA=UAB+⎰E3⋅dl=UAB+BQ1+Q2=2.1⨯103V4πε0εr1
题8.14：
如图所示，球形电极浮在相对电容率为εr=3.0的油槽中。
球的一半浸没在油中，
另一半浸入在油中，另一半在空气中。
已知电极所带净电荷Q0=2.0⨯10-6C。
问球的上、下
部分各有多少电荷？
题8.14分析：
我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在
油和空气中的半球形孤立容器，静电平衡时导体球上的
电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个
半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V，且
QQV=1=2
（1）C1C2
另外导体球上的电荷总量保持不变，应有
Q1+Q2=Q0
（2）
因而可解得Q1、Q2.
解：
将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为
C1=2πε0R
下半球在油中，电容为
C2=2πε0εrR
由分析中式
（1）和式
（2）可解得
Q1=C11Q0=Q0=0.50⨯10-6CC1+C2εr+1
Q2=C2εrQ0=Q0=1.5⨯10-6CC1+C2εr+1
E0由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变。
可以证明，此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足E=εr的关系。
事实上，只有当电介质均匀E0充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足E=εr.
题8.15：
有一个空气平极电容器，极板面积为S，间距为d。
现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当
（1）充足电后；
（2）然后平行插入一面积相同、厚度为δ（δ分别求电容器的电容C，
极板上的电荷Q和极板间的电场强度E。
题8.15分析：
电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U。
插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱。
由于极板间的距离d不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有
QU=（d-δ）+Qδε0Sε0εrS
相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E增强，以维持两极板间的电势差不变，并有
QU=（d-δ）ε0S
综上所述，接上电源的平板电容器，插人介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变。
解：
（l）空气平板电容器的电容
C0=ε0Sd
充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为
Q0=E0=ε0SdUdU
（2）插入电介质后，电容器的电容C1为
⎛Q⎫ε0εrSQ⎪（）C1=Q/d-δ+δ=εS⎪δ+εd-δεεS0rr⎝0⎭
故有
Q1=C1U=ε0εrSUδ+εrd-δUδ+εrd-δ介质内电场强度E1'=Q1
ε0εrS=
空气中的电场强度
E1=Q1εrU=ε0Sδ+εrd-δ（3）插人导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为
C2=
Q2=ε0Sd-δε0SUd-δ
'=0导体中的电场强度E0
空气中的电场强度E2=Ud-δ
题8.16：
如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每种介质各占一半体积，试证其电容为C=ε0Sεr1+εr2
d2
题8.16证1：
将此电容器视为极板面积均为S2，分别充满相对电容率为εr1和εr2的电介质的两个平板电容器并联，则
C=C1+C2=ε0εr1S
2d+ε0εr2S
2d=ε0Sεr1+εr2
d2
证2：
假设电容器极板上带电荷Q，则由于电容器两侧所填充的电介质的电容率不同，故导体极板上自由电荷的分布不均匀。
设介质Ⅰ侧导体极板带电荷Q1，介质Ⅱ侧导体极板带电荷Q2，在导体达到静电平衡时，导体极板为等势体，
故有
2Q2d⎧2Q1d=⎪⎨ε0εr1Sε0εr2S⎪Q+Q=Q2⎩1
解得Q1=Q2=U=εr1Qεr1+εr2εr2Qεr1+εr22Q1d2Qd=ε0εr1Sε0Sεr1+εr2
C=Qε0Sεr1+εr2=⋅Ud2
题8.17：
为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εr的电
介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体极板，d0为两极板间的距离。
试说明检测原理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d之间的函数关系。
如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？
题8.17解：
由分析可知，该装置的电容为
ε0εrSC=d+εrd0-d则介质的厚度为
εdC-ε0εrSεεSεr=d0-0rd=r0εr-1Cεr-1Cεr-1
如果待测材料是金属导体，其等效电容为
εSC=0d0-d
导体材料的厚度
d=d0-ε0SC
实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。
题8.18：
利用电容传感器测量油料液面高度。
其原理如图所示，导体圆管A与储油随B相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d的导体棒C，d、D均远小于管长L并且相互绝缘。
试征明：
当导体团管与导体棒之间接以电压为U的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为εr）。
题8.18分析：
由于d、D<因此其等效电容C=C1+C2也是X的函数。
由于Q=CU，在电压一定时，电荷Q仅随C而变化，求出Q与液面高度X的函数关系，即可得证
证：
由分析知，导体A、C构成一组柱形电容器，它们的电容分别为
C1=2πε0εrXlnd
2πε0（L-X）lndC2=
其总电容
C=C1+C2=2πε0εrX2πε0（L-X）+=α+βXDDlnlndd
其中α=2πε0L2πε0（εr-1）;β=lnlndd
Q=CU=αU+βUX
即导体管上所带电荷Q与液面高度X成正比，油罐与电容器联通。
两液面等高，测出电荷Q即可确定油罐的液面高度。
题8.19：
有一平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01nm的聚四氯乙烯薄膜所隔开，求该电容器的额定电压。
－题8.19解：
查表可知聚四氯乙烯的击穿电场强度Eb=1.9⨯107V⋅m1。
当电容器不被击穿时，
电容器中的电场强度E≤Eb。
因此，由均匀电场中电势与电场强度的关系，可得电容器
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