计时双基练 垂直关系.docx

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计时双基练垂直关系

计时双基练四十三　垂直关系

A组　基础必做

1．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两条直线相互平行；

②垂直于同一平面的两个平面相互平行；

③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面。

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析　由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直于底面，而不平行，故②错；③中两平面有可能相交，故③错；由直线与平面垂直的定义知④正确。

答案　B

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面命题正确的是（　　）

A．m⊥α，nβ，m⊥n⇒α⊥β

B．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n

C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m∥n

D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β

解析　对于选项A，α与β还可能平行，选项A错；对于选项B，设α∩β＝l，在β内作c⊥l，则c⊥α，所以m∥c，且n⊥c，所以m⊥n，选项B正确；而对于选项C和D，容易举出反例来否定。

答案　B

3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥c，b⊥c

B．α⊥β，aα，bβ

C．a⊥α，b∥α

D．a⊥α，b⊥α

解析　对于选项C，在平面α内存在m∥b，因为a⊥α，所以a⊥m，故a⊥b；A，B选项中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D选项中一定推出a∥b。

答案　C

4．（2016·南昌模拟）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“aα，bβ，且α⊥β”的平面α，β（　　）

A．不存在B．有且只有一对

C．有且只有两对D．有无数对

解析　过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α。

故选D。

答案　D

5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1。

又∵AC平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC。

∴C1在面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上。

答案　A

6．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．MN∥AB

B．MN与BC所成的角为45°

C．OC⊥平面VAC

D．平面VAC⊥平面VBC

解析　对于A，MN与AB异面，故A错，对于B，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B错；对于C，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C错；对于D，由于BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D正确。

答案　D

7．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________。

解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC。

∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥PA。

与AP垂直的直线是AB。

答案　AB，BC，AC　AB

8.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________（写出全部正确命题的序号）。

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE。

解析　由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确。

答案　③

9．（2016·盐城模拟）已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：

①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β。

由上述条件可推出的结论有________（写出全部正确结论的序号）。

解析　由条件知α⊥γ，γ∩α＝m，lγ，l⊥m，则根据面面垂直的性质定理有l⊥α，即②成立；又lβ，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立。

答案　②④

10.（2016·哈尔滨模拟）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD。

（1）证明：

PA⊥BD；

（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D－PBC的高。

解　

（1）证明：

因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝

AD，

从而AB2＝AD2＋BD2，故AD⊥BD，

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，

又PD平面PAD，AD平面PAD，PD∩AD＝D，

所以BD⊥平面PAD，

又PA平面PAD，故PA⊥BD。

（2）如图，作DE⊥PB，垂足为E。

已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC。

由

（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，

∴BC⊥BD。

又PD，BD平面PBD，PD∩BD＝D，

故BC⊥平面PBD，

又DE平面PBD，所以BC⊥DE。

又BC，PB平面PBC，BC∩PB＝B，则DE⊥平面PBC。

∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°。

∴BD＝

。

又PD＝1，∴PB＝2。

根据DE·PB＝PD·BD，得DE＝

，

即棱锥D－PBC的高为

。

11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点。

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE；

（3）求三棱锥E－ABC的体积。

解　

（1）证明：

在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC。

所以BB1⊥AB。

又因为AB⊥BC，

所以AB⊥平面B1BCC1。

因为AB平面ABE。

所以平面ABE⊥平面B1BCC1。

（2）证明：

取AB的中点G，连接EG，FG。

因为E，F分别是A1C1，BC的中点，

所以FG∥AC，且FG＝

AC。

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，

所以FG∥EC1，且FG＝EC1。

所以四边形FGEC1为平行四边形。

所以C1F∥EG。

又因为EG平面ABE，C1F⃘平面ABE，

所以C1F∥平面ABE。

（3）因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝

＝

。

所以三棱锥E－ABC的体积V＝

S△ABC·AA1＝

×

×

×1×2＝

。

B组　培优演练

1．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E。

要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（　　）

A.

　　B．1C.

　　D．2

解析　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1⊥DF。

由已知可以得A1B1＝

，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝

h。

又2×

＝h

，所以h＝

，DE＝

。

在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

。

由等面积法得

×

＝

x，得x＝

。

答案　A

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________。

解析　∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN平面ABB1A1。

∴MN⊥B1C1。

又MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，

∴MN⊥平面B1C1M，又MC1平面B1C1M，

∴MN⊥MC1即∠C1MN＝90°。

答案　90°

3．（2016·天津模拟）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC。

其中正确的是________。

解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错。

答案　①②③

4.（2015·湖北卷）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

在如图所示的阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE。

（1）证明：

DE⊥平面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑。

若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（2）记阳马P－ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求

的值。

解　

（1）证明：

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC。

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，

而PD∩CD＝D，

所以BC⊥平面PCD。

DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE。

又因为PD＝CD，点E是PC的中点，

所以DE⊥PC。

而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC。

由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，

可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，

即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB。

（2）由已知，PD是阳马P－ABCD的高，

所以V1＝

SABCD·PD＝

BC·CD·PD；

由

（1）知，DE是鳖臑D－BCE的高，BC⊥CE，

所以V2＝

S△BCE·DE＝

BC·CE·DE。

在Rt△PDC中，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE＝CE＝

CD，

于是

＝

＝

＝4。