《半导体物理》讲义.doc

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晶体结构晶格

§1晶格相关的基本概念

1.晶体：

原子周期排列，有周期性的物质。

2.晶体结构：

原子排列的具体形式。

3.晶格：

典型单元重复排列构成晶格。

4.晶胞：

重复性的周期单元。

5.晶体学晶胞：

反映晶格对称性质的最小单元。

6.晶格常数：

晶体学晶胞各个边的实际长度。

7.简单晶格&复式晶格：

原胞中包含一个原子的为简单晶格，两个或者两个以上的称为复式晶格。

8.布拉伐格子：

体现晶体周期性的格子称为布拉伐格子。

（布拉伐格子的每个格点对应一个原胞，简单晶格的晶格本身和布拉伐格子完全相同；复式晶格每种等价原子都构成和布拉伐格子相同的格子。

）

9.基失：

以原胞共顶点三个边做成三个矢量，α1，α2，α3，并以其中一个格点为原点，则布拉伐格子的格点可以表示为 αL=L1α1+L2α2+L3α3。

把α1，α2，α3称为基矢。

10.平移对称性：

整个晶体按9中定义的矢量αL平移，晶格与自身重合，这种特性称为平移对称性。

（在晶体中，一般的物理量都具有平移对称性）

11.晶向&晶向指数：

参考教材。

（要理解）

12.晶面&晶面指数：

参考教材。

（要理解）

立方晶系中，若晶向指数和晶面指数相同则互相垂直。

§2金刚石结构，类金刚石结构（闪锌矿结构）

金刚石结构：

金刚石结构是一种由相同原子构成的复式晶格，它是由两个面心立方晶格沿立方对称晶胞的体对角线错开1/4长度套构而成。

常见的半导体中Ge，Si，α-Sn（灰锡）都属于这种晶格。

金刚石结构的特点：

每个原子都有四个最邻近原子，它们总是处在一个正四面体的顶点上。

（每个原子所具有的最邻近原子的数目称为配位数）

每两个邻近原子都沿一个<1,1,1,>方向，

处于四面体顶点的两个原子连线沿一个<1,1,0>方向，

四面体不共顶点两个棱中点连线沿一个<1,0,0,>方向。

四面体结构示意图

金刚石结构的密排面：

{1，1，1}晶面的原子都按六方形的方式排列。

每两层{1，1，1}原子层完全相同，ABCABC……

在这种结构中，关于任何两个相邻原子连线中点具有反演对称性。

类金刚石结构：

GaAs，InSb，GaP等化合物晶体的晶格是由两种不同原子组成的面心立方晶格套构而成的，称为类金刚石结构或闪锌矿结构，显然闪锌矿不再具有反演中心。

§3共价结合

§3.1晶体结合的四种基本方式

1.离子结合：

原子间交换电子，形成正负离子，之间相互库仑作用结合成固体。

2.共价结合：

相邻原子共用电子对形成共价键。

（半导体中晶体普遍是共价结合，因此本节重点是共价结合。

）

3.金属结合：

价电子共有化形成负电子云，正离子浸泡在电子云中。

4.范德瓦尔结合：

发生在饱和电子结构中，相互作用靠很弱的瞬时偶极矩。

§3.2成键态与反键态（以H2为例）

A，B两原子相互靠近形成分子，两个价电子为A，B共有。

ψAψB

成键态：

ψ=C（ψA+ψB）

反键态：

ψ=C’（ψA-ψB）其中C和C’为归一常数

成键态电子云集中在两原子核之间，同时受到两个原子核的库仑吸引作用，库仑能下降，故形成共价键。

反键态使能量升高△1，成键态能量下降△2且有△1>△2，只有未成对电子才能形成共价键。

ε0

反键态

成键态

△1

△2

§3.3SP3杂化（以Si为例）

Si的原子组态为：

（1S）2（2S）2（2P）6（3S）2（3P）2

稳定电子价电子

由Si原子组态可知，若不改组的话只能形成2个共价键，但实际上有4个共价键，成四面体，这是因为发生了SP3杂化的缘故。

即价电子的组态发生了如下改组：

（3S）2（3P）2→（3S1）（3Px）（3Py）（3Pz）

组成了新的4个轨道态，实际上四个共价键是以S态和P态波函数线形组合为基础的，这样使得系统能量最低。

杂化的好处：

①成键数增多，四个杂化态上全部是未成对电子。

②成键能力增强，电子云集中在四面体方向，电子重叠大，使能量下降更多，抵消杂化的能量，使总能量减小。

§4晶格缺陷

晶格缺陷分3类：

l点缺陷：

间隙原子和空位。

l线缺陷：

位错。

l面缺陷：

层错。

点缺陷的类型：

l弗兰克尔缺陷：

原子热运动，少量原子离开格点位置进入间隙形成空位间隙原子对。

l肖特基缺陷：

单一空位的缺陷。

l反肖特基缺陷：

单一缺陷原子的缺陷。

46

第一章半导体中的电子状态

§1半导体基本能带

§1.1布洛赫波

在晶体的周期场中，电子波函数的形式为ψk（r）=eikrμk（r），其中μk（r）=μk（r+αL）其中k称为简约波束，有波束的量纲，但要在一简约范围内取值。

k与动量类似，在跃迁过程中守衡，且有，故称为准动量。

在晶体中k取值在一定范围内，这范围称为简约布里渊区，下面以一维为例加以证明。

设晶格周期为α

∵μk（x）=μk（x+nα）

∴ψk（x+α）=eikα·eikx·μk（x+nα）

=eikα[eikx·μk（x）]

=eikαψk（x）

其中eikα表示相邻原胞之间波函数位相差，因此-π≤kα≤π，三维情形，α1，α2，α3三个基矢有ψk（r+αn）=eikαnψk（r），其中n=1，2，3。

定义矢量b1，b2，b3分别等于

则有αibj=2πδij（δij函数表示，当i=j时为1，不等为0）

故称b1，b2，b3为倒矢量，以b1，b2，b3为基矢组成晶格，称为倒格子。

这样定义下有倒格子原胞的体积于原晶格原胞的体积相乘之积为常数（2π）3用Kn=n1b1+n2b2+n3b3表示倒格矢，则k和k+Kn表示相同状态。

因此简约布里渊区也称作不相差任何倒矢量，位相变化单值完备的区域。

对于金刚石结构的面心立方晶格，倒格子为体心立方，通常取倒格子中k=0原点做次近邻，近邻中垂面围成的区域，它称为维格纳—塞兹原胞。

§1.2周期性边界条件

由于实际晶体包含的原子是有限的，故每个能带所包含的状态数是有限的，又由于边界条件的差异对大块晶体性质并无本质影响，故引入周期性边界条件来计算k空间的取值密度。

l一维：

设一维晶格总长度L=Nα（N为包含原胞总数）

周期性边界条件为：

ψk（0）=ψk（L）=ψk（Nα）

ψk（0）=μk（0）ψk（Nα）=eikNαμk（Nα）=eikNαμk（0）

所以得到eikNα=1故有kNα=2nπ（n为整数）

因此k的可取值为k=（2nπ）/Nα,取值密度gk=Nα/2π=L/2π

对一维，简约布里渊区长度为2π/α，因此布里渊区内包含的状态数为（2π/α）·（L/2π）=L/α=N正好等于原胞数N

所以k空间的取值密度也可以用原胞总数除以布里渊区长度来计算（对于二维则除以布里渊区面积，三维除以布里渊区体积）

l三维：

对于三维可以类似地求得k空间的状态密度

gk=（N1α1·N2α2·N3α3）/（2π）3（N1，N2，N3表示三个维度上的原胞数）

显然，用倒格子原胞的体积（2π）3/Ω乘以k空间的密度gk得到k空间的状态数为N1·N2·N3，仍等于晶体所包含的原胞总数。

*注：

上面公式中Ω表示实际晶体原胞体积，有Ω=α1·α2·α3

§2电子准经典运动

§2.1电子准经典运动的两个基本公式

①

②▽kE（k）

§2.2加速度和有效质量

三维：

写成张量形式：

1/m可对角化，因此可以写成

称为有效质量张量

对于能带底（Ek最小处）设k0=0在k=0处泰勒展开有：

∵最小值处∴mx，my，mz均为正值，在满足上面抛物线性关系的能量范围内，有效质量各个分量可以看作常数，对立方对称性晶体mx=my=mz=m，可以写成：

同理对于能带顶有：

，此时m为负值。

带底的m为正值，故开口向上

带顶的m为负值，故开口向下

|m|大小决定曲线的弯曲程度，

以左图为例可知，上面的曲线

开口较小故|m|相应较小，而下

面曲线的|m|较大

E-k曲线

§3导带的电子和空穴

§3.1基本原理

1.满带中电子不导电，未填满能带在有外加场时产生电流。

导带底EC

价带顶EV

2.绝缘体和半导体只有一系列满带和一系列空带，不存在半满带，最上面的满带叫价带，最下面的空带叫导带。

导带底与价带顶之间的能量间隙称为禁带（也叫能隙），禁带宽度用Eg表示。

可以用两条线代表导带底，和价带顶；能量值分别用EC和EV表示。

3.绝缘体，半导体和金属：

Eg在1ev附近的称为半导体，热激发时满带不满，空带不空，有一定的导电性；Eg大于10ev的称为绝缘体，电子很少激发，因而几乎不导电，而金属中则存在半满带，因此具有良好的导电性能。

4.近满带的空穴：

假想的粒子，等价于2N-1个电子的总体运动。

设空穴处有电子的时候，因为满带电流为0，有

J（k）+（-e）V（k）=0

其中J（k）表示2N-1个电子的总电流

推出2N-1个电子的总电流J（k）=eV（k）

说明2N-1个电子的总电流等效于带正电，速度为V（k）的粒子

又因为

而由于空穴出现在价带顶，m*<0,故引入空穴有效质量mh*=|m*|为正，综上，把空穴等价成一个正电荷，正有效质量的粒子。

§3.2常见半导体的能带结构，直接禁带与间接禁带半导体

1.对于半导体材料来说，E（k）函数的不同决定了其许多重要物理性质的不同，E（k）函数一般有两种表示法：

lE-k图：

由于是四维图像，无法直接画出，故选等价对称方向，做出E-k曲线。

l等能面：

Ek=常数，k空间的曲面。

2.直接禁带半导体和间接禁带半导体：

对于半导体来说，我们最关心的是导带底和价带顶的性质，光照激发价带电子到导带形成电子空穴对，所吸收光子的要大于Eg，这被称作光吸收。

有两种情况。

l价带顶和导带底有相同的k，（如图甲）此时可以吸收光子跃迁，电子能量差等于光子等量，忽略光子的动量，近似有跃迁前后的k相同，近似为竖直跃迁。

这类半导体称为直接禁带半导体，常见的半导体中InSb，GaAs，InP等都属于直接禁带半导体。

常用来做光学器件。

l价带顶和导带底不在相同的k，（如图乙）此时电子吸收光子跃迁要伴随着吸收一个声子，由光子提供能量变化，声子提供准动量变化，电子能量差=光子能量±声子能量，忽略声子能量近似有电子能量变化等于光子能量。

而忽略光子动量，则有准动量变化等于声子准动量。

此时跃迁不再是竖直跃迁。

这类半导体称为间接禁带半导体，常见半导体中Ge，Si等都属于间接禁带半导体。

由于跃迁需要光子，声子二维作用，所以跃迁几率大大减小，复合几率小，因此常用来做电子器件。

EE

导带底导带底

kk

价带顶价带顶

图甲图乙

3.轻重空穴带：

Ge，Si中的价带结构比较复杂，由四个带组成，价带顶附近有三个带，两个最高的带在k=0处简并，分别对应重空穴带和轻空穴带。

（曲率大者为轻空穴带）

4.导带底附近的等能面：

lSi中导带底附近的等能面：

导带底<1,0,0>方向，位于（kx0，0，0）点，等能面是旋转椭球，共有6个等能面。

lGe中导带附近等能面<1,1,1>的端点，旋转椭球，共有4个旋转椭球（8个半球）。

l价带的有效质量各向异性，等能面不是椭球。

§4杂质能级

1.施主：

能向晶体提供电子，同时自身成为带正电的离子的杂质称为施主杂质。

2.浅能级施主杂质：

一般是V族元素，比Si多一个价电子，原子实多一个正电荷，当电子束缚于施主中心时，其能量低于导带底能量，能级在禁带之中，与导带之差（称为电离能）Ei≈（1/100）ev（在Si中）。

杂质能级很接近导带底，称为浅能级杂质。

3.施主能级：

占有电子时为中性，不占有电子时带正电。

一般用EA表示。

4.n型半导体：

主要依靠电子导电。

5.受主:

能接受电子，并使自身带负电的杂质。

6.浅能级受主杂质：

III族元素，少一个电子，原子实多一个负电荷，形成束缚杂质能级，在禁带中释放一个空穴需要一定的能量，约为（1/100）ev，称为浅受主能级。

7.受主能级：

不占有电子时（即束缚空穴时）电中性，占据电子时带负电。

EcEc

ED

EA

EVEV

施主能级受主能级

8.p型半导体：

主要依靠空穴导电。

9.深能级杂质：

杂质能级距离导带底和价带顶都很远，主要起复合中心作用。

10.多重能级：

如Si中的Se和Te，代替Si多出两个电子，第二个电子的电离能更大。

11.两性杂质：

既可以起施主作用，又可以起受主作用，如Si中的金Au在n型半导体中起受主作用，在p型半导体中起施主作用。

12.重掺杂：

浅能级杂质掺杂很高。

13.类氢模型:

当V族原子（或III族原子）代替Si时，类似于氢原子，只需要作代换，用有效质量m代替电子质量m0，用e2/ε代替e2，我们就可以得到杂质的电离能为：

杂质的等效波尔半径为：

（氢原子的公式为和）

14.类氢杂质：

通常把能用类氢模型描述的杂质称为类氢杂质，它们是一些离导带很近的施主和离价带很近的受主杂质，称为浅能级杂质。

第二章电子和空穴的平衡统计分布

§1费米分布函数及其性质

我们认为半导体中的电子为全同粒子，且遵守泡利不相容原理，其分布为费米分布

f（E）是能量为E的电子能级被占据的几率，。

1-f（E）是不被占据的几率，也可以看成是被空穴占据的几率，用fp（E）表示，有fp（E）=1-f（E）。

l费米分布函数的性质：

u在EF处有f（EF）=0.5

u。

u。

u当T=0K时，对于EEF有f（E）=0。

T≠0时f（E）在EF附近kT范围内变化，反映了电子的热激发。

§2利用费米函数求载流子浓度

半导体中载流子包括导带中的电子（浓度用n表示）和价带中的空穴（浓度用p表示）。

有：

§2.1态密度g（E）

为了描述能带电子状态的分布，引入态密度g（E）表示单位能量间隔内的状态数，则E到E+dE内的状态数dN=g（E）dE。

则电子浓度dn=f（E）g（E）dE,因此有，故只要求得g（E）即可求出载流子浓度。

下面我们给出利用g（E）=dN/dE来求g（E）的一般步骤，并举例说明。

a）求k空间的体积（用k表示）进而利用g（k）求得N-k关系。

b）利用E-k关系，导出k=f（E），代入N-k表达式进而得到N-E关系。

c）对N-E表达式求导，得到dN/dE，即g（E）。

例1：

简单能带模型，，{m*}各向同性。

a）：

由第二章的讨论可知，单位体积晶体（即V=1）计入自旋、反自旋两个状态，在k空间的态密度为g（k）=2/（2π）3。

由于{m*}各向同性，k空间等能面是球形，体积是（4/3）πk3，乘以k空间态密度g（k）得到：

N=（4/3）πk3×2/（2π）3

b）：

由得到：

（其中ε=E-Ec）代入N的表达式，有。

c）对上面N的表达式求导得到：

，即（其中）

例2：

对于有效质量并非各向同性的情况，计算g（E）。

对于有效质量各向异性的情况k空间的等能面是椭球，体积是（4/3）πkxkykz而由E-k关系可以得到（其中i分别取x，y，z；ε=E-Ec），因此把例1结果中的（2m）3/2换成（8mxmymz）1/2即可。

再推广至有S个等价能谷的情况，此时体积为（4/3）πkxkykzS，只需把例1结果中的（2m）3/2换成S（8mxmymz）1/2也可引入定义态密度有效质量md=（S2mxmymz）1/3则对于三维情况都有，特别的，对Si来说，有6个能谷，等能面是旋转椭球，有md=（62mLmt2）1/3，对Ge，S=4，md=（42mLmt2）1/3。

例3：

若在某半导体中形成二维电子气，且m各向同性，求g（E）

对于二维情况，g（k）=2/（2π）2，若m各向同性，则等能线是圆，面积是2πk2因此N=2πk2×2/（2π）2代入得到，因此有是与E无关的常数。

§2.2载流子浓度

u导带电子浓度：

n=∫导带g（E）f（E）dE

两个近似：

①玻尔兹曼统计近似：

室温下kT=0.026evEC-EV>>kT在此条件下有f（E）≈e（EF-E）/kT。

②为了计算方便，把积分上限延拓到∞。

（因为随着E的增大，f（E）指数减小，E趋近于∞时f（E）很小，可以忽略）

由上面两个近似，得到：

其中称为有效导带密度，或导带等效态密度。

上面的推导中用到了

u同理可以由p=∫价带gv（E）[1-f（E）]dE（其中1-f（E）≈e（E-EF）/kT）

求得p=NVe-（EF-EV）/kT

其中称为价带等效态密度。

u从上面的推导结论可以看出，半导体中的载流子浓度n和p都是EF的函数，二者的乘积n·p却与EF无关，对任一给定的半导体，在给定的温度下，电子空穴浓度的乘积总是衡定的。

有n·p=NCNVe-（EC-EV）/kT

§3本征载流子浓度

本征半导体：

纯净的半导体中费米能级位置和载流子浓度只是由材料本身的本征性质决定的，这种半导体称为本征半导体。

本征激发：

本征半导体中载流子只能通过把价带电子激发到导带产生，这种激发过程称为本征激发。

l本征时由电中性条件得到n=p，设此时的费米能级用Ei表示，则

NCe-（EC-Ei）/kT=NVe-（Ei-EV）/kT

解此方程得到：

代入NC、NV的表达式得到

由于空穴的有效质量要mp大于电子的有效质量mn，故Ei位于禁带中央偏向导带，但由于一般情况下第一项比第二项大得多，只有在温度较高的时候才考虑第二项的影响，所以一般情况下可以认为本征情况下费米能级位于禁带中央。

利用Ei的表达式即可求出本征载流子浓度ni的表达式如下：

（解的时候可以利用n=p把n、p的表达式相乘消去Ei，再开方即可得到ni）

对于给定半导体，室温下ni是常数，室温下Si的ni=1.5×1010cm-3，Ge的ni=2.5×1013cm-3

实际的半导体中总含有少量的杂质，在较低温度下杂质提供的载流子往往超过本征激发，但较高温度下，本征激发将占优势，把本征激发占优势的区域称为本征区。

对任何非简并（简并的定义参考本章最后一节）的半导体，无论EF的位置如何，都有n·p等于常数。

因此有：

n·p=ni2故可以利用ni来表示载流子浓度n和p。

表达式如下：

n=NCe-（EC-EF）/kT=NCe-（EC-Ei）/kT·e-（Ei-EF）/kT=ni·e-（Ei-EF）/kT=ni·e（EF-Ei）/kT

同理可以得到：

p=ni·e（Ei-EF）/kT

由上面可以的两个公式可以看出，若EF在Ei上，则n>p半导体是n型；反之EF在Ei下，则半导体是p型。

§4非本征载流子浓度

在介绍非本征载流子浓度之前，先介绍杂质能级的占有几率，由于杂质上的电子状态并非互相独立，电子占据施主能级的几率与费米分布函数略有不同。

为其中gD称为施主基态简并度，对于类氢施主有gD=2

类似地，对于受主，若以1-fA表示空穴占据受主态的几率，有同样称gA为受主基态简并度，对于类氢受主有gA=2。

§4.1单一杂质能级情形

以施主杂质为例：

它的中性条件不再是n=p而是

n=p+ND-nD（ND是施主杂质浓度，nD是施主杂质上电子浓度）

上式可以这样理解并记忆（推荐使用第二种方法）：

①价带向导带提供电子数为p杂质能级向导带提供电子数为ND-nD，故总电子数n=p+（ND-nD）。

②导带有浓度为n的电子，带浓度为n的负电荷，价带有浓度为p的空穴，带浓度为p的负电荷，杂质能级为施主能级，带有浓度为ND-nD的正电荷，由于半导体整体不带电，所以正负电荷电量相等，也可得到n=p+ND-nD。

下面针对不同条件进行化简并计算：

一、弱电离情形：

弱电离情形相应于低温情形，在低温条件下杂质大部分没有电离ND-nD<

代入n和ND-nD的表达式：

同理对于单一受主能级弱电离时有：

二、中等电离和强电离情形

以上弱电离的表达式只适用于于ED或EF低于EA若干kT的情况，但由于NC也与温度有关，温度稍高时，gD·NC将超过ND，为负，EF随温度升高而下降（由于等效态密度上升），更高时，EF可以接近ED此时就是我们要讨论的中等电离情况。

解得：

因为此时n=ND，相当于杂质完全电离，故χ>>1就是强电离条件。

当χ<<1时化简得到的结果与弱电离情形时的表达式相同。

χ<<1是弱电离条件。

三、向本征区过渡

以上一和二的讨论中，我们假定了本征激发可以忽略，但在温度进一步增高时，本征激发不能忽略，而由于此时完全电离，有nD=0故中性条件简化为n=p+ND，代入p=ni2/n得到关于n的二次方程，解得：

温度很高时

可见掺杂浓度越高，向本征情况过渡的温度越高，可以由nD=ni来确定是否向本征转变，把年n（或p）>>ni时称为非本征情形。

微电子做电路要求半导体处在强电离范围内，这样器件中载流子浓度随温度变化小，性能稳定。

T升高到本征激发开始时，器件将失效；最高温度由Eg决定，Eg大的半导体称为高温半导体。

（常见如SiC，GaN）

四、全温区的变化曲线

1）载流子浓度全温区变化曲线（lnni—1/T曲线）

关于图像的解释：

在本征区n约化为

斜率为。

强电离时n=nD曲线水平。

弱电离时斜率是

Lnn

本征区

强电离区（饱和区）

lnnD弱电离区

ni

1/T

2）费米能级全温区变化曲线

EF

EC

ED