数值分析课程报告——多项式插值的振荡现象.doc
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数值分析课程设计
多项式插值的振荡现象
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一、问题的提出
使用差值多项式来近似函数时，由余式可见，其逼近的程度不单与插值节点的个数及其分布情况有关，还有函数本身有关。
直觉上，似乎插值节点愈密，相应的插值多项式的次数愈高，被插值函数与插值函数间的差别愈小。
因此，我们自然关心插值多项式增加时，Ln（x）是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的：
因此，本课程设计针对以及其他函数做出探讨和分析。
二、实验内容
考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为，则拉格朗日插值多项式为，其中的ai（x）,i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值基函数。
Ⅰ.选择不断增大的分点数,取n=2,3,5,10,13,15,20
1.画出原函数f（x）及插值多项式函数Ln（x）在[-1,1]上的图像；
2.给出每一次逼近的最大误差；
3.比较并分析实验结果。
Ⅱ.选择其它函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数:
重复上述实验,看其结果如何。
Ⅲ.区间[a,b]上切比雪夫点的定义为
以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。
三、实验结果及分析
Ⅰ.
（1）图像
图表1n=2
图表2n=3
图表3n=5
图表4n=10
图表5n=13
图表6n=15
图表7n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.6462
0.7070
0.4327
1.9156
1.0700
2.1076
59.8223
（3）比较并分析实验结果
图表8误差波动情况
由1的实验结果图像可知，随着n的增大，插值多项式函数的在区间中部的拟合情况逐渐趋优，而端点附近的拟合情况却逐渐趋劣。
通过每次拟合，可以得出在区间内原函数值与插值多项式函数值的最大误差，记录得出2中表格。
图表8为每次拟合的误差值的波动情况，可以看出随着n的增大，误差值不断上下波动，且逐渐走高。
Ⅱ.ⅰ.
（1）图像
图表9n=2
图表10n=3
图表11n=5
图表12n=10
图表13n=13
图表14n=15
图表15n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.5687
0.4766
0.6584
0.8547
6.0287
1.5229
9.7538
（3）比较并分析实验结果
由实验结果可知，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。
ⅱ.
（1）图像
图表16n=2
图表17n=3
图表18n=5
图表19n=10
图表20n=13
图表21n=15
图表22n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.5728
0.3593
0.3264
0.2026
1.4297
2.4624
2.6527
（3）比较并分析实验结果
由实验结果可知，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，而端点附近的则出现振荡的情况，且误差逐渐增大。
Ⅲ.ⅰ.
（1）图像
图表23n=2
图表24n=3
图表25n=5
图表26n=10
图表27n=13
图表28n=15
图表29n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.6006
0.7503
0.5559
0.1092
0.1234
0.0831
0.0153
（3）比较并分析实验结果
由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。
ⅱ.
（1）图像
图表30n=2
图表31n=3
图表32n=5
图表33n=10
图表34n=13
图表35n=15
图表36n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.5677
0.5092
0.3514
0.3431
0.1019
0.0600
0.0462
（3）比较并分析实验结果
由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。
ⅲ.
（1）图像
图表37n=2
图表38n=3
图表39n=5
图表40n=10
图表41n=13
图表42n=15
图表43n=20
（2）每次逼近的最大误差
n
2
3
5
10
13
15
20
误差r
0.5173
0.2325
0.1378
0.0622
0.0172
0.0102
0.0057
（3）比较并分析实验结果
由实验结果可知，通过切比雪夫点的变换，随着n值的增大，插值多项式函数在区间中部的拟合情况愈来愈好，且端点的振荡现象消失，误差也不断下降。
四、关于本设计的体会
从龙格现象中得出启发，对于一些应用性的结论，要注意应用的现实情形，避免出现特殊现象，影响了实验结果。
例如，在数学建模比赛的时候，有时可以套用一系列的算法，但是要注意是否会出现特殊的情况，避免不必要的误差。
另外，学会借助一些变换，例如，切比雪夫点的变换，可以使结果更精确，这也是在平时应用时必不可少的方法。
通过这次的课程报告，在今后的学习中，我也会更加注意类似方法的积累，在今后的应用中，做出更好的数学模型。
最后，就是学会抓主要因素，快速得出结果。
例如，如果只需要一个区间的中部的拟合情况，那只需要尽可能地增大n值，从而忽略端点的振荡情况；而如果需要精确的结果，则可以通过变化，花多一点时间，得出理想的结果。
综上所述，本设计的体会就是在应用一些方法的时候，自习思考应用的实用性，并注重积累更多更优的方法，并根据不同的需要选择相应的方法，得到理想的结果。
五、参考文献
[1]MATLAB7.6从入门到精通/张琨，毕靖，丛滨编著/电子工业出版社/2009.5
[2]精通MATLAB科学计算/王正林，龚纯，何倩编著—2版/电子工业出版社2009.8
六、附录
拉格朗日插值代码
f（x）代码
h（x）代码
g（x）代码
切比雪夫点f（x）代码
切比雪夫点h（x）代码
切比雪夫点g（x）代码
计算机型号：
程序运行时间（制图取点精度为0.001）
f（x）
h（x）
g（x）
切比雪夫
f（x）
切比雪夫h（x）
切比雪夫g（x）
n
t/s
n
t/s
n
t/s
n
t/s
n
t/s
n
t/s
2
0.1090
2
0.1090
2
0.1090
2
0.1560
2
0.1090
2
0.1090
3
0.1400
3
0.1560
3
0.1250
3
0.1720
3
0.1720
3
0.1090
5
0.1710
5
0.1870
5
0.2030
5
0.2020
5
0.1870
5
0.1720
10
0.3430
10
0.3430
10
0.3280
10
0.3900
10
0.3740
10
0.3750
12
0.4990
12
0.4830
12
0.4840
12
0.4990
12
0.4990
12
0.4990
13
0.5460
13
0.5610
13
0.5620
13
0.5930
13
0.5930
13
0.6080
15
0.6860
15
0.7170
15
0.6870
15
0.7330
15
0.7330
15
0.7480
20
1.1700
20
1.1080
20
1.1230
20
1.2790
20
1.3580
20
1.3110
算法步骤叙述
①输入分点数，由插值点求出插值点对应函数值；
②由被插值点求出对应的原函数值，作图；
③由插值点和被插值点求出对应的拉格朗日插值多项式值，作图；
④求原函数与插值多项式函数差的绝对值，即误差绝对值的函数，作图。
变量说明
n
分点数
k
切比雪夫点定义中的k
x
插值点
x0
区间左端点
x1
被插值点
y
插值点函数值
y1
被插值点函数值
z
拉格朗日插值多项式值
d
误差绝对值函数
r
误差绝对值
七、教师评价
36
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