四年级数学鸡兔同笼解法.docx
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四年级数学鸡兔同笼解法
鸡兔同笼问题的解法集锦
鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学问题。
那是已知鸡兔的总头数和总足数,求鸡兔各有多少只的一类典型应用题。
它的题型虽然固定,但解题思路方法却多种多样,如假设法、削补法、转化法、分组法、盈亏法、倍比法、设零法、代数法等等,且解法还在不断创新。
下面举一例给出几种解法供参考。
例:
鸡兔同笼,上有40个头,下有100只足。
鸡兔各有多少只?
1、极端假设
解法一:
假设40个头都是鸡,那么应有足2×40=80(只),比实际少100-80=20(只)。
这是把兔看作鸡的缘故。
而把一只兔看成一只鸡,足数就会少4-2=2(只)。
因此兔有20÷2=1(0只),鸡有40-10=30(只)。
解法二:
假设40个头都是兔,那么应有足4×40=160(只),比实际多160-100=60(只)。
这是把鸡看作兔的缘故。
而把一只鸡看成一只兔,足数就会多4-2=2(只)。
因此鸡有60÷2=30(只),兔有40-30=10(只)。
解法三:
假设100只足都是鸡足,那么应有头100÷2=50(个),比实际多50-40=10(个)。
把兔足看作鸡足,兔的只数(头数)就会扩大4÷2倍,
即兔的只数增加(4÷2-1)倍。
因此兔有10÷(4÷2-1)=10(只),鸡有40-10=30(只)。
解法四:
假设100只足都是兔足,那么应有头100÷4=25(个),比实际少40-25=15(个)。
把鸡足看作兔足,鸡的只数(头数)就会缩小4÷2倍,
即鸡的只数减少1-1÷(2÷4)=1/2。
因此鸡有15÷1/2=30(只),兔有40-30=10(只)。
2、任意假设
解法五:
假设40个头中,鸡有12个(0至40中的任意整数),则兔有40-12=28(个),那么它们一
共有足2×12+4×28=136(只),比实际多136-100=36(只)。
这说明有一部分鸡看作兔了,而把一只鸡看成一只兔,足数就会多4-2=2(只),因此把鸡看成兔的只数是36÷2=18(只)。
那么鸡实际有12+18=30(只),兔实际有28-18=10(只)。
解法六:
假设100只足中,有鸡足80只(0至100中的任意整数,最好是2的倍数),则兔足有100-80=20(只),那么它们一共有头80÷2+20÷4=45(个),比实际多45-40=5(个)。
这说明把一部分兔足看作鸡足了,而把兔足看成鸡足,兔的只数(头数)就会增加(4÷2-1)倍。
因此把兔看作鸡的只数是5÷(4÷2-1)=5(只),那么兔实际有20÷4+5=10(只),鸡实际有40-10=30(只)。
通过比较可知:
任意假设是极端假设的一般形式,而极端假设是任意假设的特殊形式,也是简便解法。
3、除减法解法七:
用脚的总数除以2,也就是100÷2=5(0只)这里我们可以设想为,每只鸡都是一只脚站着;而
每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着。
这样在50这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从50减去总头数40,剩下的就是兔子头数10只。
有10只兔子当然鸡就有30只。
这种解法就是《孙子算经》中记载的:
做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!
4、盈亏法
解法八:
把总足数100看作标准数。
假设鸡有25只,兔则有40-25=15(只),那么它们有足2×25+4×15=110(只),比标准数盈余110-100=10(只);再假设鸡有32只,兔则有40-32=8(只),那么它们有足2×32+4×8=96(只),比标准数不足100-96=4(只)。
根据盈不足术公式,可以求出鸡的只数。
即鸡有(25×4+32×10)÷(4+10)=30(只),兔则有40-30=10(只)。
5、比例分配
解法九:
40个头一共100只足,平均每个头有足
100÷40=2.5(只)。
而一只鸡比平均数少(2.5-2)
只足,一只兔比平均数多(4-2.5)只足。
根据平均问题的“移多补少”思想:
超出总数等于不足总数,故知:
(2.5-2)×鸡的只数=(4-2.5)×兔的只数。
因此,
鸡的只数︰兔的只数=(4-2.5)︰(2.5-2)=1.5︰0.5=3︰1
按比例分配可以求出鸡兔各有多少只。
即鸡有40×3/(3+1)=30(只),而兔则有40×1/(3+1)=10(只)。
6、布列方程
解法十:
设鸡有x只,那么兔有(40-x)只。
根据题意列方程:
2x+4(40-x)=100
解这个方程得:
x=3040-x=40-30=10那么鸡有
30只,兔有10只。
鸡兔的头数关系除了“和”的形式外,还可以把“差”和“倍数”作为已知条件。
同样,鸡兔的足数关系除了“和”的形式外,也可以把“差”和“倍数”作为已知条件。
如果把鸡兔头数关系的三种条件与第5页共9页
足数关系的三种条件交叉组合,除了上面的例题,
还可以形成以下变式练习题。
1、鸡兔同笼,它们一共有100只,而鸡足比兔足
多80只。
鸡兔各有多少只?
2、鸡兔同笼,它们一共有84只,而鸡足是兔足的
3倍。
鸡兔各有多少只?
2、鸡兔同笼,鸡比兔多26只,它们一共有274只
足。
鸡兔各有多少只?
4、鸡兔同笼,鸡比兔多3只,兔比鸡多28只足。
鸡兔各有多少只?
5、鸡兔同笼,鸡比兔少10只,兔足是鸡足的3倍。
鸡兔各有多少只?
6、鸡兔同笼,鸡的只数是兔的3倍,它们一共有
120只足。
鸡兔各有多少只?
第6页共9页
7、鸡兔同笼,鸡的只数是兔的3倍,鸡足比兔足多120只。
鸡兔各有多少只?
8、鸡兔同笼,鸡比兔的3倍多6只,鸡足比兔足的2倍少24只。
鸡兔各有多少只?
附:
鸡兔同笼变式题组的参考答案
以上题组,每道题都有多种解法。
下面提供的仅仅是参考答案,其思想方法,还需要读者作进一步的探讨明晰。
1、解一:
(2×100-80)÷(4+2)=20(只)
兔)
解二:
(4×100+80)÷(4+2)=80(只)
鸡)
解三:
(100-80÷2)÷(4÷2+1)=20(只)
兔)
解四:
(100+80÷4)÷(4÷2+1)-80÷4=20只)(兔)
2、解一:
84÷(4×3÷2+1)=12(只)(兔)解二:
2×84÷(4×3+2)=12(只)(兔)
3、解一:
(274-2×26)÷(4+2)=37(只)
兔)
解二:
(274+4×26)÷(4+2)=63(只)
鸡)
解三:
(274÷2-26)÷(4÷2+1)=37(只)
兔)
4、解一
:
(28+2×3)
÷(4-2)
=17(
只)
兔)
解二:
(
28+4×3)÷(
4-2)=20(
只)
(鸡)
解三:
(
3+28÷2)÷
(4÷2-1)
=17(
只)
兔)
解四:
(
3+28÷4)÷
(1-2÷4)
=20(
只)
鸡)
5、解一:
10÷(2×3÷4-1)=20(只)(鸡)
第8页共9页
鸡)
解二:
4×10÷(3-2)÷2=20(只)
6、解一:
120÷(4+2×3)=12(只)(兔)
解二:
120÷(2×3÷4+1)÷4=12(只)
兔)
7、解一:
120÷(2×3-4)=60(只)(兔)
解二:
120÷2÷(3-2)=60(只)(兔)
解三:
120÷4×3÷(3-2)-120÷4=60(只)
兔)
8、解一:
(24÷2+6)÷(2×2-3)=18(只)(兔)
解二:
(6×2+24)÷(2-3÷2)÷4=18(只)
(兔)