离散序列傅里叶变换习题.docx

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离散序列傅里叶变换习题

离散序列傅里叶变换习题

日期:

（1）Xj"）

（n3）

（2）x2（n）

1

-（n1）

2

1

（n）-（n1）

2

（3）X3（n）

anu（n）,0

a1

（4）x4（n）

u（n3）

u（n4）

2、设X（ej

）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换,

求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（1）g（n）

x（n）x（n

1）

⑵g（n）x

*（n）

（3）g（n）

x*（n）

（4）g（n）

x（2n）

（5）g（n）

nx（n）

（6）g（n）

x2（n）

（7）g（n）

x

（2）.

n为偶数

0,

n为奇数

3、试求以下各序列的时间傅里叶变换

（1）X1（n）

anu（n）,|a

l1

⑵X2（n）anu（n）,|a|

11

a|n|,

|n|M

n为其他

（3）X3（n）

0,

（4）x4（n）

anu（n3）,

|a|1

1、试求以下各序列的时间傅里叶变换

利用离散时间傅里叶变换的定义与性质

（6）X6（n）

1

m0（Z）n（n3m）

sin（n/3）sin（n/4）

4、设x（n）是一有限长序列，已知

x（n）

1,2,0,3,2,1,

0,

n0,1,2,3,4,5

n为其他

它的离散傅里叶变换为X（ej）。

（1）

X（ej0）

（2）

X（ej）

⑶

X（ej）d

⑷

|X（ej）|d

不具体计算X（ej），试直接确定下列表达式的值。

5、试求以下各序列的时间傅里叶变换

（1）Xi（n）

1,

0,

|n|N

n为其他

1|n|/N,

0,

|n|N

n为其他

（3）X3（n）

cos（2N）,

0,

|n|N

n为其他

6、证明：

若X（ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换，而

-为整数

k

其他

则X1（ej）X（ej）。

7、设序列x（n）u（n）,证明x（n）的离散时间傅里叶变换为

1

X（ej）Ll（2l）

8、如图所示四个序列，已知序列x1（n）的离散时间傅里叶变换为X1（ej）,试用X1（ej）表示

其他序列的离散时间傅里叶变换。

iXi（n）

1x3（n）

即

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理

|x（n）|2r

n2

|X（ej）|2d

10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质

DTFT[nx（n）]j罕」）d

式中，X（ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换。

11、证明：

（1）若x（n）是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换

X（ej）是的实偶函数。

（2）若x（n）是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换

X（ej）是的虚奇函数。

12、设x（n）R4（n），试求x（n）的共轭偶对称序列

Xe（n）和共轭奇对称序列Xo（n），并分别

画出其波形。

13、设实序列x（n）的偶对称

1

序列Xe（n）-[x（n）x（n）],奇对称序列

2

Xo（n）—[x（n）x（n）],试证明

2

|x（n）|2

n

|Xe（n）|2

n

|xo（n）|2

n

14、设实序列x（n）的波形如图所示,

x（n）

2■

（1）试求x（n）的共轭偶对称序列xe（n）和共轭奇对称序列xo（n）,并分别画出其波形。

（2）设序列xi（n）Xe（n）Xo（n）,式中，Xe（n）和Xo（n）为

（1）所求结果。

画出xi（n）的

波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么?

（3）分别求序列x（n）、Xe（n）和Xo（n）的离散时间傅里叶变换X（ej）、Xe（ej）和Xo（ej）,

分析X（ej）、Xe（ej）和Xo（ej）的实部Re{X（ej）}Xr©）、虚部

15、已知序列x（n）anu（n）（0

lm{X（ej）}Xi（ej）的关系。

a1），试分别求x（n）的共轭偶对称序列^（n）和共轭奇

对称序列Xo（n）的离散时间傅里叶变换Xe（ej）和Xo（ej）。

Xe（ej）为

16、若序列x（n）是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X（ej）的实部

XR（ej）1cos

求序列x（n）及其离散时间傅里叶变换X（ej）。

XI（ej）为

Xi（ej）sin

y（n）的离散时间

19、设x（n）是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为X（ej），若序列

傅里叶变换为

Y（ej）DTFT{y（n）］中心巧X（e門］

试求序列y（n）。

离散时间傅里叶变换习题解答:

1、试求以下各序列的时间傅里叶变换

（1）X1（n）（n3）

解:

X（ej）ej3

（3）X3（n）anu（n）,0

⑷x4（n）u（n3）u（n4）

2、设X（ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性

质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。

（2）g（n）x*（n）

⑶g（n）x*（n）

解:

G（ej）X*（ej）

（4）g（n）x（2n）

n'2n，

G（ej）

jn

x（n'）e2

n为偶数

1njn?

-[x（n）

（1）x（n）]e2

2n

（5）g（n）

nx（n）

解:

HdX（ej）

（6）g（n）

x2（n）

解:

G（ej

⑺g（n）

x

（2），

0,

解:

G（ej

jnx（n）

1

2n

x（n）ejne

iX（e

x（n）ejne%

G（ej）

■dX（ej）

j

X（ej）*X（ej

n为偶数

n为奇数

x（n）ejn

n

3、试求以下各序列的时间傅里叶变换

（1）xi（n）anu（n）,|a|1

1

解:

X（ej）r

（2）X2（n）a

u（n）,|a|1

解:

X（ej

1

1a1ej

x（m）ej2mX（ej2

a|n|,

0,

|n|M

n为其他

解:

X（ej）

x（n）ejn

njnae

M

12Re[

nM

njn1

ae]

M

•—-n

2Re[ae

nM

jn

21

acos

aM1cos[（M1）]aM2cosM1

21

12acosa

a2

2aM

losKM1）]2aM2cosM

~-2

12acosa

（4）X4（n）

anu（n

3）,|a|1

3n3

aau（n3）,|a|1

解:

X（ej

3j3ae

1

a1ej

（5）X5（n）

（4）n

m04

（n

3m）

X（ej

x（n）e

n

jn

（6）X6（n）

sin（n/3）

sin（n

解:

sin（cn）

cn

sin（n

（-）3m（n3m）

（1）3m（n3m）ejn

m04

/4）

n

*（

c

/3）

n/3

X（ej

-n

12

X（ej）

4、设x（n）是一有限长序列，已知

zl\3mj3m

moGe

1

12

3^（

3

sin（n/3）

sin（n/4）

/3

/4

sin（n

n

/4）

/4

4^（

2

+41（）*g

乙3

12

7

12

X（ej）

X（ej

（

-三

*4

）]/2

）/2

1

J

4

（72

）/2,

12

12

7

12

x（n）

1,2,0,

0,

n0,1,2,3,4,5

n为其他

它的离散傅里叶变换为

X（ej）。

不具体计算

X（ej），试直接确定下列表达式的值。

（1）X（ej0）

解：

X（ej）

x（n）ejn

X（ej0）

5

x（n）1

n0

（2）X（ej）

解：

X（ej

x（n）ejn

X（ej）

5

（1）nx（n）

n0

X（ej）d

解：

x（n）

X（ej）ejn

X（ej）d

2x（0）2

（4）

|X（ej）|2d

|x（n）|2

|X（ej）|2d

（5）

|dX（ej|d

|X（ej

）|2d

2|x（n）|2

n

jnx（n）

|jnx（n）|22（01

试求以下各序列的时间傅里叶变换

1,|n|N

（1）x1（n）0,n为其他

⑵x2（n）0,|n|/N,

|n|N

n为其他

（1

1）

38

9916

25）2174348

（3）X3（n）C0S京）,

0,

|n|N

n为其他

6、证明：

若X（ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换，而

xi（n）

x®

0,

-为整数

k

其他

则X1（ej）X（ej）。

7、设序列x（n）u（n）,证明x（n）的离散时间傅里叶变换为

（2l）

8、如图所示四个序列，已知序列X1（n）的离散时间傅里叶变换为

X1（ej），试用X1（ej）表

示其他序列的离散时间傅里叶变换。

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即

|X（n）|22L|X（ej）|2d

n2

10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质

DTFT[nx（n）]jdX（e）d

式中，X（ej）是序列x（n）的离散时间傅里叶变换。

11、证明:

（1）若x（n）是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换

X（ej）是

的实偶函数。

（2）若x（n）是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换

X（ej）是

的虚奇函数。

Xe（n）和共轭奇对称序列Xo（n），并分

12、设x（n）R4（n），试求x（n）的共轭偶对称序列

别画出其波形。

1

13、设实序列x（n）的偶对称序列xe（n）-[x（n）x（n）],奇对称序列

2

Xo（n）-[x（n）x（n）]，试证明

2

|X（n）|

nn

|xe（n）|

|Xo（n）|

n

14、设实序列x（n）的波形如图所示,

（1）试求x（n）的共轭偶对称序列xe（n）和共轭奇对称序列xo（n）,并分别画出其波形。

（2）设序列xi（n）Xe（n）Xo（n）,式中，xe（n）和Xo（n）为

（1）所求结果。

画出Xi（n）的波

形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么?

（3）分别求序列x（n）、Xe（n）和Xo（n）的离散时间傅里叶变换X（ej

）、Xe（ej）和

Xo（ej），分析X（ej）、Xe（ej）和Xo（ej）的实部Re{X（ej）}

XR（ej）、虚部

Im{X（ej）}Xi（ej）的关系。

15、已知序列x（n）anu（n）（0a1）,试分别求x（n）的共轭偶对称序列

xe（n）和共轭奇

对称序列xo（n）的离散时间傅里叶变换Xe（ej）和Xo（ej）。

16、若序列x（n）是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换X（ej）的实部Xe（ej）为

XR（ej）1cos

求序列x（n）及其离散时间傅里叶变换X（ej）。

已知其离散时间傅里叶变换X（ej）的虚实部

Xi（ej）为

X|（ej）sin

傅里叶变换为

j1j-

Y（ej）DTFT{y（n）]尹©2）X（ej2）]

试求序列y（n）。

7、若序列x（n）是实因果序列，x（0）1