数学初三讲义T5Bcssx14.docx
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数学初三讲义T5Bcssx14
科目：
数学年级：
初三教师：
张立平
2005——2006学年第二学期第十四周
总复习（三）折叠问题例析
一、典型例题与分析
例1（2005年内江市中考题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD于E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A、AD＝BC＇ B、∠EBD＝∠EDB
C、△ABE∽△CBD D、
解C
例2（2005年北京市海淀区中考题）印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：
先将一张整版的纸对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1,图2,图3（图中的1,16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．
图1图2图3图4
8
9
16
1
5
12
13
4
解
例5（2005年苏州市中考题）如图1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10,0），C点坐标为（0,6），D是BC边上的动点（与点B,C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．
（1）如图2,若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线，y=x2+6的公共点的个数，在图2的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=x2+6始终有公共点，请在图1中作出这样的公共点．
图1图2
解：
（1）由题意，得D（6,6）、E（10，2），
直线DE的解析式为y=—x十12·
（2）根据题意，可知∠CDO=∠ODF,∠BDE＝∠GDE．
∵∠CDO＋∠ODF＋∠BDE＋∠GDE＝180°，
∴∠CDO十∠BDE=90°．
∵∠COD＋∠CDO=90°，∴∠COD＝∠BDE，
又∵∠OCD=∠DBE=90°，∴△COD∽△BDE,
∴
根据题意，可知BE=6一b，BD=10一a.
∴
∴b=
．
∴当a=5时，b最小=
．
（3）猜想：
直线DE与抛物线y=
x2+6只有1个公共点．
证明由
（1）可知，DE所在直线为Y=-x+12,
代入抛物线，
x2+6=-x+12.
化简，得x2一24x十144＝0，
∴x1＝x2＝12
直线DE与抛物线y=
x2+6只有1个公共点．
作法一延长OF交DE于点H.
作法二在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H．
例6（2005年福州市中考题）已知：
如图,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm,CD＝6cm,∠DCB=60°，∠ABC=90°．等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm.将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
解
（1）重叠部分的面积等于
（3）
（2）等边三角形的边长a至少应为10cm.
（3）等边三角形的边长为
例7（2005年龙岩市中考题）如图把矩形纸片OABC放人直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．
（1）将纸片OABC折叠，使点A与C重合，用直尺和圆规在原图上作出折叠后的图形，并在图中标明折．叠后点B的对应点B'（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在矩形OABC中，连结AC，且AC=2
，tan∠OAC＝
，求A、C两点的坐标；并求
（1）中折痕的长．
解
（1）①作出AC中垂线；
②作出点B的对称点B'；
③连结CB'、FB'、CE．
五边形OEFB'C为折叠后的图形（如图
（2））．
（2）∵tan∠OAC＝
，
∴OA＝2OC，设OC＝m，则OA=2m．
∵OC2＋OA2=AC2，
∴m2＋4m2＝20，
解得m＝2或m＝一2.（负值不合题意舍去）
∴m＝2，OA=4，
∴A（4，0），C（0，2）．
∵
∴PE＝
PA＝
，
∴EF=2PE=
．
折痕EF的长是
．
例9（2005江苏省淮安市中考题）已知：
ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
⑴求证：
四边形ABCD是矩形；
⑵在四边形ABCD中，求
的值．
解．
（1）证明：
连结OE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD
∴∠DOE=90°
即∠DAE=90°
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形
（2）∵四边形DEBF是菱形，∴∠FDB=∠EDB
又由题意知∠EDB=∠EDA
由
（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°
则∠ADB=60°
∴在Rt△ADB中，有AD∶AB=1：
，即
.
例9（2004年河北省课程改革实验区）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？
并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在
（1）中得到的结论还成立吗？
简要说明理由.
解
（1）BE=CF.
证明：
在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.
∴BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立.
根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.
例9如图，在平面直角坐标系中，已知A（－10，0），B（－8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．
（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
解：
（1）过点B作BQ⊥OA于点Q．（如图1）
∵点A坐标是（－10，0），
∴点A1坐标为（－10＋m，－3），OA＝10．
又∵点B坐标是（－8，6），
∴BQ＝6，OQ＝8．
在Rt△OQB中，
．
∴OA＝OB＝10，
．
由翻折的性质可知，PA＝OA＝10，PB＝OB＝10，
∴四边形OAPB是菱形，
∴PB∥AO，∴P点坐标为（－18，6），
∴P1点坐标为（－18＋m，3）．
（2）①当0＜m≤4时，（如图2）,
过点B1作B1Q1⊥x轴于点Q1，则B1Q1＝6-3＝3，
设O1B1交x轴于点F，∵O1B1∥BO，∴∠α＝∠β，
在Rt△FQ1B1中，
，
∴
，∴Q1F＝4，
∴B1F＝
＝5，
∵AQ＝OA－OQ＝10－8＝2，
∴AF＝AQ+QQ1+Q1F＝2+m+4＝6+m，
∴周长l＝2（B1F＋AF）
＝2（5＋6＋m）
＝2m＋22；
②当4＜m＜14时，（如图3）
设P1A1交x轴于点S，P1B1交OB于点H，
由平移性质，得OH＝B1F＝5，
此时AS＝m－4，
∴OS＝OA－AS
＝10－（m－4）＝14－m，
∴周长l＝2（OH＋OS）
＝2（5＋14－m）
＝－2m＋38．
二、强化训练
1.一张正方形纸片经过两次对折，并在如图位置上剪去一个小正方形，打开后是（ ）
2、
3．如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（）
4.如图，长方形纸片ABCD中，AD＝9，AB=3，将其折叠，使其点D与点B重合，折痕为EF，那么DE和EF的长分别为（）
A．4，
B．4，2
C．5，
D．5，2
5．将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线MN上，如图中
的点B'，若AB＝
，则折痕AE的长为（）．
A
B
C2D
6.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于
（）．
（A）2cm（B）3cm
（C）4cm（D）5cm
7、将一正方形纸片按图5中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（）
ABCD
8.如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D,C分别落在AB上的D'、C'处，折痕为EF．若CD=3cm，EF=4cm，则AD'十BC'=cm．
9.如图，将ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，AB'交DC于点M，求证：
折叠后的重叠部分（即△MAC）是等腰三角形．
参考答案
1.B
2．
3．Ｃ4．C5．C6．B7．B8．2
9．∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠ACM，
又∵∠BAC=∠CAB'
∴∠CAB'=∠ACM，∴AM=CM
∴△MAC是等腰三角形
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