全国高中数学联合竞赛A卷试题含答案.docx
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全国高中数学联合竞赛A卷试题含答案
2019年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：
本大题共8小題，每小题8分，满分64分。
1•已知正实数a满足aa=（9a）8a,则loga（3a）的值为
2•若实数集合｛1，2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则X的值为
2019年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）如图，在锐角厶ABC中，M是BC边的中点。
点P在厶ABC内，使得AP平分∠BAC直线MP与厶ABRAACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E证明：
若
DE=MP贝UBC=2BP
—、（本题满分40分）设整数aι,a2…,a20i9,满足1=aι≤a2≤…≤a20i9=99记f=（a^+a^+…+a20192）-（a1a3+a2a4+a3a5+…+a2017a2019）.
求f的最小值f0∙并确定使f=f0成立的数组佝,a2,∙∙∙,a2019）的个数
三、（本題满分50分）设m为整数，≥2.整数数列a1,a2,…满足：
a1,a2不全为零，且对任
意正整数n,均有an+2=a∏+1-ma∏.
证明：
若存在整效r,s（r>s≥2）使得ar=as,=a1,则r-s≥.
四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面。
某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合。
试求最小的正整数n,满足条件：
若E至少有n
个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任
意两个二元子集的交为空集
2019年全国高中数学联合竞赛一试（A卷》
参考答案及评分标准
1.评阅试雜时.请依据本评分标准•填空屋只设*分和O分两档，其他各般的评闽.请严格按照本即分标准的评分档次給分P不得堆加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步•正甌在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分.解答题中第9小AU分为一个档次■第KhH小题$分为一个档次，不得増加其他中间档次.
一、填空题；本大题共8小込每小题8分.满分64分.
I.己知正实数“满足=则IOM3①的們为・
W：
Ih条件l3S59^—.故5α=>fi）a∙a=atfl•所WIogJ3d）=—・
2.若实数集合}I.2J.λ∣的处大兀索勺用小元索Z密⅛于该集合的所付元盘之和，则T的值为・
解：
1K⅛χ>0.则凰大•凰小元衣Z羌不超过max{3∕∙而所有元董之和大:
Inax{3,x∣.不符合条件.故*V0■即N为最小元索.3-x=6÷x.解
3.平而"J坐折系4；足唯位向氐向越満足二；=2・叫可≤平皿对任童实血成立.则Pl的取值范用足-
答案：
∣√5.2√5∣.
M：
不妨JQe=（U））-由Fae=2.耐设Cf=（2.$）•姻对任意实数f∙仃
这笞价T4+?
<5|j|.解得μ∣∈[U4]>即√∈[U6].
于是Pl=√4+7∈[√5.2金]•
4.R为椭関I、的长轴顶点，F,F为】5勺两个焦点.I^I=4.∣.4Γ∣=2÷√3,P为1•上■点•满处∣PE∣∙∣M∣=2・则△/"：
/的曲枳为.
答案，I.
解：
不妨设平面I•询坐标系屮「的标准方程为4+4=∣（λ>A>0）.
（TΛ*
根据条件ft∣2fl=∣.IΛ∣≡i4.a±Jaz—Λ2⅛∣JΛ∣=2÷>A.∏IS∣λ=2.ft=I,H.∣f∕∣=2√α∙-A2=2j3.
由椭阴定义知IM|十IMl=加=4•结仟|P£|・∖PF∖"紂
|?
£f十IPFIl=（∣∕1f∣+∣PFOi-2∣ff∣∙∣PΓ∣=l2=∣^.
所以厶EPF为Il«1.进而EVtF=1∙∣∕^∣∙∣PΛ∙∣=I.
5.的.2.3.…』）中碗机选岀一个数S崔-L-2-3∙∙∙∙.-10中勃机选岀一
个豺∙Uh"心；整除的槪率为・
**∙Iooe
M：
数组（""JHilOj=IOO忡導悅帑的选法・
考虑真中便a2÷∕>½3廉除的迭法数N•
若“帔3協除.则b也被3整除・此时“上各冇3种选法•这祥的（Gb）冇护=9组.若口平被3醱除∙K∙∣√≡l（m□d3）.从iΛjft≡Km（Xl3）.此时αU7选法./>有4种选法•这样（Kj（tf,Λ）^7x4≡28fa.
37
因此*=9十28=≡37∙F是所求概率为二.
100
6.对任盘闭（XfIiH・fl]Ml/<示函数」∙=Mir在/上的Q大（t'[.若IE数α满
足Λ∕lυβl=2Λ∕lιfjβl・则“Wlfft为.
VJkt或Fjr•
612
M：
假如OVd∙≤专・则曲Il:
效園数图像性质得OVMlM=SinmSMχa∣∙与条件不符.
因此«>y・此时MMd=丨，故Mb.纽=!
，F是存在菲负烙数R・使紂
2Λπ÷-s<α<2（∕<2Aλ⅛-π•①
66
且①中两处"≤w至少有一处取到零号.
”*=0时•得“=丄JT或加=匕注・经检脸・a=^π.-π均満足糸件・
66612
-1U>1时.fllT∙2A∙7Γ-t-^r<2∣2jt7r+~r∣・故不存在満足①的“.
综上.“的值为丄兀或匕帀・
612
7.如图.正方体ABCd-EFCH一个截而纾过顶点A9C及投EF上一点K∙OIE方体分成体枳比为3:
1的两都分，则黑的值为・
Ar
答第√3.
脈记料为蔽面所6：
Tm.延—不交•「点尸•则P
在α上•故直线CPα与他BMF的交练设CP与甩?
交于点J割四边形AKLC为裁面•
因平而.4眈平ITTT而K"∙HAK9Bl∖CL点尸∙^ABC-KI-L7^
0.不舫设正方体梭长为l∙则正方体休枳为l∙讎合条件^^ABC-KFLtfJ休积y=}∙
4r
紗—烷=鈴唱=倉臓到Ps
分别足棱钳Γ-IfiC1I稜推P-KFL的高•『址
化简得3∕,=l∙故Λ=ψ•从而^γ=⅛=7=√3.
√3A?
PKh
R将6个救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成个8位效睛位不为0人则产生的不同的8位数的个数为•
答案：
498.
解：
将2,0∙L9.20,19¾ιvfG（4＜为（）的捋列的全体记为儿
⅛＞liM≡5x5∙=6CO〈这里及以下.M表示有限集Xβ⅛元索个数〉・
V2的肓一项是0∙HJ的后一项建9的排列的全体记为5：
A屮2的后一顼是0∙但I的后一项不是9的It列的全体记为r：
A中I的后一项是9∙但2的后一项不是0的排列的全体记为D•
⅛to∣β∣=4?
.∣β∣÷（c∣=5!
.∣Λ∣+∣D∣=4×4!
＞β∏∣B∣=24,∣C∣=96t∣D∣=72・
由P中排列产生的毎个8{⅛βl,恰对应〃中的2x2=4个禅列（这样的排列中.20可与-IOM互换.!
9可IJML9H互换）•类似地.由「或D中推列产生的每个8位数•恰对应（7或。
中的2个排列•因此満足条件的&位数的个数为
∣j∖（5∪c∪D）∣÷l^l⅛Si^
Λ
二解签船本大33共3小SL满分S6分.解答应写岀文字说明、证明过程或漏算步骤.
9∙CJ*βM分16分）W处中.BC≈aiCΛ≈b.Λli≈c.若乃是Q与G的等比中项∙HSin^½sin（β-^）I-JSmCw中项.求CCfiB的fit
解：
因/＞是0«的等比中顼.故存在彳＞0,满足
2sιnA=sin（Ii—J）-f∙SinC≡Sin（J?
—4）∣+sin（β⅛A）=2$inBCoSA.
结合JIL余弦定理•衍
Ul“‘+C2—tt*=IaC•
将①代入并化前・可¾1∕÷√-1≡2^.即74-<+>∙所以
进而
12分
16分1».<*«»分2（）分）在T而坐标系中，恻兌与地物红「」•—&恰仃一个公共点.且圆Jl与二轴相切于「的轨点F.求圆。
的半径.
鹏易知「的議点F豹坐标为（1・0）・设BId的半径为r（r>O）∙由对称性•不妨徙d任M轴上方与X轴梆切FF.故G的方程为
U-l）2+（y-r）2=r.
=F代入①并化纵+/-2σ=r0.皿然y>O,故
5分根器条件.心）恰有一个正数解该Nfi对应。
与「的唯一公共点.
考虑M≡⅛^√v>θ）的锻小值•
32丫
从而
IIiT均位不*,rΛKllr2十4=y'十g+扌十~∙≥4J」*（寸•
∕ω>5^∙i6
15分
当HK当r2=J•即V≡半时•/（y）IUj*JM小值字.
由②有解i∣fiflr>±∕i.义倒δ∏r∙>字.闵八口副P连绩变化.U.V-"半,十寸上均有解.与解的
唯一性矛腑.
20分
U.（本用欄分20分）弥-个足数效列匚；为“仃趣的”.r：
IZIhI.n对任慝正筆故刃・均有4；：
・|+2匚二讪+二：
=0∙求用大的轧数（、・使得时一切仃理的故列匕」及任总正整数”八ZMfk÷r.+∙∙→rβ,∣>C.
K：
嘉世仃趣的!
Z数数列二|・力纳地υΓ⅛!
lr^（）（∕reN,）.由余件为
維待字S=二^返1（疋、・）.因此曽钊=SFLL^l=sf,故k.l=l-∣l⅛≡^Zr（WeNe）•
=^r进而有
2-
记TWMI*4亠+∙∙∙÷rWI（WJ∈N*）・%=2$（$eN［时.种H②可御
_才如FI=
IO分
7L≥l-∣十彳I-£|二”-i十二”IA芈-亡
当加=2$+1（$€、°）时.由①、②町知
ISlI=S右VJ^TS=∑∑l^-∣+∙^l∙
丄n■A«s-fl-A«*>
-UlI-I-Z∣+I∣÷-24∣=^^∙
当”1=1时・片=k∣=iA半・
15分
以上发勒匚=£満足婆求.
另•方而・当r1=I.Z24=.r24>l=⅛⅛Ik∈N*）时.拐验证知
辄」为何趣的数刘.此IM
■
A≡l
20分
=l∙πl-I+72（∙iA+
2019年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）
參考答案及评分标准
说明，
1.评阅试堆时，请产格按照本評分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只曼JS路合理、步：
》正确•在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分川分为一个档次■不得增加其他中何档次・
—<（本M分40分）如18中∙M堆〃「边的中乩点尸任
内•使得AP^^JJiAC.∣τ⅛A∕P与P、^A（T的外按岡分別郴交J
H∖（Ψ∏ΓXllZHDlt,=LiiΛP=Z国为HM≈CMILEA/=EV•所以RF=CEaBFHCE・
Γ⅛LF=ZCEWMBDP.进IrIJIiJ）=BF・20分
7.DE≈SIP.SPHEM=FM・
「•堆征等腰ABDF中•由对称性彻AP=BM■从而Bc=2SM=2BP∙
40分二•（本Je満分40分〉i⅛整¾δip∏2√∙∙1CJ2Mi.⅞足I=α∣W幻W…S込吓=购・记/=@；+“；i•十%）-（ala3十fl2σ4÷u∕ι5+…+Gxwj）・求/的垠小血人.并确定伙r=人成立的数组％」的个數.
解：
由条件知
2（Λ1
2/=Qf÷λ2+<⅛m+⅛h∙4工阿=-©）：
•①
β>l
：
OI*
ΣU∙2-fl.）=十SHK・②
illΓtf1,u2及％-（JJG≡1,2,∙∙∖2016）均为菲负整数•故有<>al.at>a2・^⅛∙2~at∕≥¾≠2~aΛi≡h厶…，201®.于昱
Oi十十52g∙,-©•≥o∣十创十
*■!
IO分
ιhφ>②得
2∕≥Λ2φp+ff>∣∣+（亦-¾∣f）2+λ3H÷‰*
结合“则=99及α20nι>«2On>0,町加
/≥τ（2αa>∏+（99-α2017）5+α爲十塚）
=（α20l7-49）2÷7400>7400・③
20分另一方而.令
αl≡α2≡τ...≡αmα-I.Jzt■30分以下孑迟③的取尊条件•此HI^I=αxιlt=49.且②屮的不警式均
Il∏f∕l=^=∣.λik7,€：
OJI（I=L2.•••■2016）•
因Jlkl=GI≤βy≤∙∙∙≤fl2t∣l=49,I丄対毎个&（1≤*≤49）tfl1.∙αj.∙∙∙.ffxn,l,戛少仃两项筹于*∙这也是③IR零的充分*什・
M毎个Λ（1≤Λ≤49）.‰υ<⅛-⅛¾l中等Titt琐数为I十叫.则叫为止於数OIL（1+wl）÷（1⅛∕r2）+∙∙∙+（l÷π4^）≡2018∙RP
+肪：
4・・•+/1.=1969・
该力租的疋整效解仙./、….心）的纽数为也且毎组解-x∙i应•个便④収零伯数组（LS…山和」.故便∕≡=√;成工的数细（％0;■…∙％J宵c£个.
40分=UC4：
m分轴分）设刖为整数∙M∣22•経数数列d14∙…满居al.u2不全痛・鬓对任«>均Igm
证明：
若存化整ftr⅛ι（r>.v>2）便得鸳=atSB叫.JMf-J≥∣m∣.
证明：
不紡设如陽互JiU否虬若yj≡=M>l∙则牛与牛互瓠并且用d（J
字学■*■…代宀厶…•条件匂结论均不改变）.
daa
lħ?
&列迷推关系知
σ1=α∣=σ4=∙∙∙（mod∣m∣）.①
以下证明:
对任癒畫敷λ>3.有
O（I≡α3-（α∣+（π-3>αj）m（mod∕τr）•②
IO分前实上•当JI・3时②显优成立.^mn≈k时②成立C其中A为来个XT2的张故）•注恿到CD.fι≡x.1≡≡jnι□d√）.结合归纳載设知
αw∣=QA—ma*、≡a2—阿+（⅛-3>αj）m-m<>2
=a2-（^l+<Λ-2）u2）（∏*>Jmj）•
l!
∣i∕J=*+l时②也成辽•阿此②对任意整S（M>3均成立•20分
注阪⅛αl≡a2时•②对n=2也成立•
设fH⅛rl^（r≥jp>2）•满⅛αr=αj=αl・
^αl=α,.由②对“22旳戒立.可知
U：
_（□）+（r—3）勺）劝≡af=4It三α2_（q÷（.v-；）込）加（modm2）.
叩Ul+（/•—3）as≡αl+（J—3）ai（n⅛>d∣∕HI）∙Wl
（FT）α,≡0（π）θd∣√n∣）・@
^aI≠α2∙⅛]or≡≡βs≡β∣*α1•故r>s>3∙业时山F②对n>3^｝成立.故类似可知③仍成立.30分
找们证明“”用！
£累・
事实卜•・K⅛x>Λm存在一个公共索因fP.则由①術P为吆O3.5…的公IMJ.而碍心互素•故p∖a2.这IJar≈a9=Syf
闵此•由③^r-S=O（n*κl∣w∣）.Xr>s.所Wr-S>∣∕w∣.
50分四、CWM分利分）设卩堆空间中2019个点构成的集合•其中任童四点不共仏菜叫点2何连有线段，记E为这歧线段构成的集合・试求垠小的止整数M.満足条件，/；£至少右〃个元素∙WJA--定您冇908个二元「集.JE中抵个:
元子集屮的两条线段右公共菇点.Fi任意两个二元子集的交为空集.
解：
为了釵述力便・称-个田中的苗条相邻的边构成•个“加”.
先证MJr个引理:
设O=（F上）是一个简单用・且O是逢適的.的G含仃个两购无公辰边的如（这UIS]农示实数C的幣数潮分，.
别理的证明T对£的元耒个数忙阳纳证明・^IrI=O.1.2.3时.结论M∙然咸工.FiftIKttlZ∣≥4.片且鉛论任|£|较小时均成立.只需证阴.在G屮可Uii取衲条边a.b^fS.一个角.任G中耐去“4这两条边民剩F的怕含冇一个连通分丈包含|£|-2条边.对这个逢通分支应用啊纳假设即为结论成立.
考的中的敞长賂F;vipj.∙∙vi,其中vl.v,t...,r1½互不相同的廉点.因为G连讷•故23.
怖形h灰中3幻“∙Wh⅛ηvt∣⅛•个你OΦIM去这轉条边・若片处还有蹌三条
边•则辆卜的罔足连迥的I若U处仅行被刑尖的两条边•划片成为血立点・心
连IflL总Z茫剁下的图屮仃一个连通分支含什A卜2，E边・
悄形2：
<∣cg（vl）≡].de^（ι∖>≈2.IMIVIv2tvp>l&'个加.花<7中IH公这两条边后・V"、都成为孤*点，从余的点互和连通・国此何一个连通分支含右IE卜2条边.
怖形3：
（Ieg（VI）=I.dcg（vj>3∙HJJ几」•——T氟则：
H小；
趣一个你圧G中ft两紺儿成为抵…£相理如因此有一个逢通分支含^|£|-2条边.
IW形4：
dcg（vl）=1∙dcg（v2>≥3τib∖IjVJ个Mnbb•••■和相^β∙IhT^理最长路.故If的邻点均征怡…电之中.WIvlV2.'∙J7j⅛∙个你征G中8»去这两条边.別片戛孤土点.若“处仪位边叫，则刪公所述边信"也足滋立点，而Jg条点互相连通.若”处还冇兀他边",・3≤f≤A.所述边后.除几外K余
点⅛l∣iiS⅛i-总之•斜F的图中有一个连迪分支含<|£|-2条边.
引理获证.20
冋到原勢題中的F和E可石作一个l¾G=<Γt^）.
杵先述明λ≥279S.
设*λ=IVPVIrv⅛・任VI宀严宀冲•市先旳曲连边∙IMM去其中15条Hl815⅛JiA<）1个点^rljCfrtra見连通图.再4⅛崭余^2019-61=1958个点配破979对•何对两点之何连_条
=907个两两无公如边
边•则圉G中一共连了18154979=2794条线段.由上述构迫町见.G中的任何
-•个角必须便用片'•…■仏相连的边,因此至笔Ii
：
。
・啟謫足婴求的I、小F2795・W
另一方而•若I叩279S∙可任創別去若干条边•只考^∣Ei≡2795的倩形•设G有上个连通分丈・分谢有mi,∙∙∙,m4个点.及环….白条边.卜Iki证明%∙∙∙.0j"至多TT979个奇数・
反证法r假设环…•勺中有至少980个奇数•由于屮…g=2795是奇数•故环…心中至少仃981个奇数•故Λ≥98U不妨迎％%∙∙∙,⅜M都址奇It显然%叫•…∙"⅛nN2・
令w≡υι9ll+∙∙∙→∕Mi≥2.则ffC^≥ς（l≤ι≤980）.≥tf,fl+-+et.故
1W-O
2793=∑mlt∙-1
利用组含Sl的凸性∙l!
μ*Lv≥r≥3.仃c：
；~c；%w加由9⑷个2以及一个刘构成PhCl£C;¾CWJ（JAtfl.F是
«1
Cl⅛£c；≤C：
+98OC∙=269l<2795•
ml
这与①才・肝・从両％…宀中望多有979个奇数.40分
対毎个直通分支应用引理•町知G中角存N个两柄疋公具边的％J∙Jl中
N=£闫2£（£丐_咖）=1*（2705・97专=908.
50分
烁上・■所求最小的〃绘2795.
3•平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足•=2,且*2≤5对任意实数t成立，
则的取值范是
4•设A,B为椭圆Γ的长轴顶点。
E,F为Γ的两个焦点，=4,=2+一,P为Γ上一点，
满足=2,则APEF的面积为
5•在1,2,3,∙∙∙,10中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,…,-10中随机选出一个数b,则a2+b被3整
除的概率为6.对任意闭区间I,用MI表示函数y=sinx在I上的最大值。
若正数a满足M【o,旬=2M[a,2a],则a
的值为
7•如图，正方体ABCD-EFGH勺一个截面经过顶点AC及棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3:
1的两部分，
贝y—的值为
8•将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0）,则产生的不同
的8位数的个数为
二、解答题：
本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
9.（本题满分16分）在厶ABC中，BC=a,CA=b,AB=C若b是a与C的等比中项，且SinA是Sin（B-A）与SinC的等差中项，求CosB的值。
2
10.（本题满分20分）在平面直角坐标系XOy中，圆Ω与抛物Γ:
y=4x恰有一个公共点，且圆Ω与X轴相切于Γ的焦点F求圆Ω的半径
11・（本题满分20分）称一个复数列｛Zn｝为“有趣的”，若=1,且对于任意正整数n,均有4Zn+12+2ZnZn+1+Zn2=0•求最大的常数C使得对一切有趣的数列｛Zn｝及任意正整数m,均有|Z1+Z2:
+…+Zm|≥Co
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