第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示.docx
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第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示
第一节曲面的显式方程和
隐式方程
一、由显式方程表示的曲面
设DR2是有界闭区域，函数
f：
D，R连续。
我们称函数f的图
像
3
G（f）={（x,y,z）Rzf（x,y）,（x,y）D}
为一张曲面，它展布在D上，称这个曲面是由显式方程
z=f（x,y）,（x,y）D
所确定的。
通常用匚表示一个曲面。
二、几种常见的曲面
例1在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为a、在xy平面上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为
z=\a2-X2-y2,（x,y）D,其中D={（x,y）:
x2yJa2}，即D是xy平面上以原点为中心、半径为a
的圆盘。
显然，下半球面的方程为
z…\a2-X2-y2，（x,y）D；
同样可给出左半球面、右半球面的方程式。
例2点集
{（x,y,z）:
x,y,z-0,xyz=1}
是R3中的一块等边三角形。
这
块曲面有显式表达
z=1xy，（x,y）D，
其中D={（x,y）:
x,y-0,xy「}。
例3由方程z=axy，（x,y）R2，（常数a0），所确定的曲面称为双曲抛物面。
由于这曲面在在xy平面的上的，第一、第三象限中，在xy平面的上
方，而在第二、第四象限中是在xy平面的下方，因此在原点（0Q0）的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。
例4旋转曲面的方程
1设想在xz平面上有一条显式曲线
z=f（x）,（0£a-x-b）。
如果固定z轴不动，让xz平面绕着z轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面2。
设（x,y,z）匚，它在过点（0,0,z）平行于xy平面的平面上，以（0,0,z）为中心，半径为r的圆周上
（z=f（r））,
222
xy=r，
于是得这个旋转曲面-的方程为
z=f（\‘X2y2）,（D:
a2£x2y2《b2）。
曲线zyf0x）,
称为这个旋转曲面z的发生线。
为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。
例如曲面
z=\X2y2,（x,y）R2，
是一个旋转曲面，这是一个圆锥面;
它的发生线是直线zx,（x-0,厂0）。
曲面
222z=xy，（x,y）R，
是一个旋转抛物面，因为它的发生线是抛物线Z=x2,（x-0，厂0）
2把xz平面上曲线
z二f（x）（f（x）-0,a乞x乞b）
绕x轴旋转一周，那么这条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面:
。
设（x,y,z）匚，它在过点（x,0,0）平行于yz平面的平面上，以（x,o,o）中心，半径为f（x）的圆周上。
显然，曲面匚的方程为
y2z2=（f（x））2，
由此得旋转曲面在z正方向的方程
为z=\'（f（X））2「y2，（x,y）D，其中d是旋转曲面在xy平面的投影区域，
D-{（x,y）f（x）乞厂f（x）,a岂x岂b。
例如把xz平面上曲线z\a2-x2，绕x轴旋转一周，所得旋转曲面方程为x2y2Z2二a2。
二、曲面的隐式表示
例如，{（x,y,z）:
x?
y?
z?
「a?
=0}表示中心在原点，半径为a的球面，这个球面上的点完全可以用方程X?
y?
z?
-a?
=0的解（X,y,z）来表示。
一般地，设三元函数F定义在
3
区域DR,区域D中所有满足方程
F（x,y,z）=0，⑵
的点集组成一张曲面，称为由方程
（2）所确定的隐式曲面。
222
xyz
例如，訐匸二「「°表示椭球面；
7abc7
z?
-（x?
y?
）=0表示锥面。
四、曲面的切平面和法向量
设P。
=（Xo,yo,z。
）D是隐式曲面
（2）上的一点，任意作一条过点P0的曲面上的曲线：
，设：
有参数方程
X=X（t）,y=y（t）,z=z（t）
并且参数to对应着点Po，将参数方程的三个分量代入
（2），得到一个关于t的恒等式
F（x（t）,y（t）,z（t））=0，
对上式双方在点to处求导，得到
FF:
F
—（Po）x（to）—（Po）y（to）—（Po）z（to）=0
xyz
用向量的内积来表示，上式乃是
药Po），石（po吃（Po）妙o），畑，如）=0，这表明：
曲线：
在点Po的切向量与向量
（cF&FcF
吓心药血），石（Po），存町（3）
垂直，由于：
是曲面上过点Po的任一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这表明：
曲线上过点Po的任何
曲线在点Po的切线是共面的。
这个平面称为曲面
（2）在Po的切平面，
而向量（3）称为曲面
（2）在点Po处的一个法向量，所以，曲面
（2）在点Po处的切平面的方程是
FFF
（x’（po）（y-r（po）（…。
匸（小0（4）
这里（x,y,z）是切平面上的流动坐标。
曲面在一点处的法线方程亦可写出。
例如：
考察球面
F（x,y,z）=x2y2z2-a2=0，在点（Xo，yo，Zo）处，由（3）可得法向量（Xo,yo,Zo），这是一个指向球外的法向量，可以叫做外法向量。
为了求球的切平面方程，
由（4）可得
（X-Xo）Xo（y-y°）y°（z-z°）Zo二o，
注意到（Xo,y°,z°）是球面上的点，
X。
2
y。
2
Z0
a2
上式又可写作
++2
XX。
yy。
zz。
=a；
例考察椭球面
222
F（x,y,z）二
xyz
1
222abc
在点p。
=（冷』0,%）处，
法向量
（cFdFcF
吓（Po）=—（P。
）,一（P。
）,一（P。
）
ICX門cz
=（2x^如2zg）
（a2，b2，c2），
切平面
第（x-x。
）普（y-y。
）智z-zcp。
abc'
注意到（Xo，y°,z。
）是椭球面上的点,上式又可写作
孕x琴y今"1
abc
例由方程F（x,y）二。
所确定的隐函数厂f（x）,xI。
F（x,y,z）二
在点Po二法向量
在F（x,f（x））=O,xI中对x求导得
:
F；:
F
£p（x）=°，
（i‘f（X））（£‘*）=o，（两向量正交）；
r（x）=（1,f（x））正是曲线r（x）=（x,f（x））的切向量，（二兰）曲线r（x）=（x,f（x））的法向x:
y
量。
切线方程为
cFdF
（x-xo=（xo，yo）"yo）弓（Xo,小0。
例椭圆或双曲线
22八1=oa2b2，
（xo,y°）处的的法向量
切线方程为
汁1。
五、显式曲面的切平面和法向量
曲面-：
z=f（x,y）,（x,y）D,
令F（x,y,z）二z-f（x,y）,
则此曲面的方程为
F（x,y,z）=z-f（x,y）7,（X,y）D;
任取（xo，yo）wD，再置zo=f（xo,yo）,依（3）可得曲面的一个法向量
:
f:
f
（一&区』0）'-*%%）1）（5）
由（5）看出：
这法向量的第三个分量为1,所以它同z轴的正向的夹角不超过-，可以称（5）为上法向量,相应地
:
f:
f
（（x°,y°）,（Xo,y°）Q）
xy
可称为曲面z=f（x,y）的下法向量，这两个法向量只是有相反的方向，所以它们都是垂直于过
Po=（xo,y°,z。
）的切平面。
这时切平面的方程为
'（x°,y°）（x-X。
）'（xo,y°）（y-y。
）（z-z。
）=0
.x；:
y
z-f（x°,y。
）'（X。
，y°）（x-X。
）'（x。
，y°）（y-y。
）,
excy5
六、对隐式曲面F（x,y,zp。
在一定条件下，可以解成显式曲面。
例如，^（5）7,FC1。
补充：
平面方程，
平面的法线方向
由两个曲面相交的曲线的切线
方程和法平面方程
设曲面11:
F（x,y,zp。
与曲面
12:
G（x,y,zp。
的交线为-。
p。
=（Xo,y°,z。
）
设为曲线：
在Po处的切向量，
则有'F（Po）=0,
'G（Po）=0
记m八F（Po）,n2=G（Po）,法平方向程由此可写出切线方程和处的
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