考研数三真题及解析.docx

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考研数三真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题

（1）设生产函数为QALK,其中Q是产出量,L是劳动投入量,K是资本投入量,而

A,α,β均为大于零的参数,则当Q=1时K关于L的弹性为

（2）某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万.若以Wt表示第t年

的

工资总额（单位：

百万元），则Wt满足的差分方程是___

k111

（3）

设矩阵

1

k

1

1

A

则k

=

A

1

k

1

且秩（）=3,

1

1

1

1

k

（4）设随机变量X,Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫

不

等式PX-Y

6.

（5）

设总体X服从正态分布

N（0,0.2

2

）,而X1

X2

的简单随机样本，则随

X15是来自总体X

X12

X102

机变量Y

2

X112

X152服从___分布，参数为_______

二、选择题

（1）

设函数f

（x）的导数在x=a处连续,又limf

'（x）

1,则（）

x

ax

a

（A）x=a是f（x）的极小值点.

（B）x=a是f（x）的极大值点.

（C）（a,f（a））是曲线y=f（x）的拐点.

（D）x=a不是f（x）的极值点,（a,f（a））也不是曲线y=f（x）的拐点.

x

1（x21）,0

x

1

（2）

设函数

其中

2

gx

在区间

（0,2）

内

（）

g（x）

f（u）du,

f（x）

1（x1）,1

则（）

0

x

2

3

（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续

a11

a12

a13

a14

a14

a13

a12

a11

0

0

0

1

（3）设A

a21

a22

a23

a24

B

a24

a23

a22

a21

P1

0

1

0

0

a31

a32

a33

a34

a34

a33

a32

a31

0

0

1

0

a41

a42

a43

a44

a44

a43

a42

a41

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1等于（）

P2

1

0

其中A可逆,则B

0

0

0

0

0

1

（A）

A1PP12

（B）P1A1P2（C）P1P2A1

（D）P2A1P1.

（4）设A是n阶矩阵，α是n维列向量

.若秩

A

秩（A），则线性方程组（）

T

0

（A）AX=α必有无穷多解

（B）AX=α必有惟一解.

（C）

A

X

（D）

A

X

必有非零解.

T

0

0仅有零解

T

0

0

y

y

（5）将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于（）

（A）-1

（B）0

（C）

1

（D）1

2

三、（本题满分5

分）

设u=f（x,y,z）有连续的一阶偏导数,又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两式确定:

e

xy

x

x

zsint

du

xy2和e

0

t

dt,求

dx

四、（本题满分6

分）

已知f

x

在

（?

∞

+

∞

内可导

且lim

'（）

x

cx

求c的值

.

（）

）

）

lim[f（x）

f（x

1）],

x

fx

elim（

x

x

c

x

五、（本题满分6

分）

求二重积分

1（x2

y2）

的值,

其中D是由直线yx

y

=?

1

及x

围成的平面区域

2

y[1xe

=,

=1

]dxdy

D

六、（本题满分7

分）

已知抛物线y

px2

qx（其中p<0,q>0）在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴

所围成的平面图形的面积为S.

求出此最大值

（1）问

p和q为何值时，达到最大

?

（2）

.

S

七、（本题满分6

分）

设f（x）在区间[0,1]

1

上连续,在（0,1）

内可导,且满足f

（1）

k3xe1

xf（x）dx,（k1）.

0

证明：

存在ξ∈（0,1）,

使得f'（

）

2（1

1）f（

）.

八、（本题满分7

分）

已知f

（x）满足fn'（x）

fn（x）xn1ex（

为正整数）且f

（1）

e,求函数项级数

n

n

n

n

i

1

fn（x）之和.

九、（本题满分9

分）

1

1

a

1

AX

β有解但不唯一

设矩阵A

1

a

1

1

.已知线性方程组

试求:

=

a

1

1

2

（1）a的值;

（2）正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

十、（本题满分8分）

设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，Aij是A

aij

nn

中元素aij的代数余子式（i,j

n

n

Aij

=1,2,,n），二次型f（x1,x2,xn）

xixj.

i1

j1

A

（1）记A（x1,x2,

xn）,把f（x1,x2,

n

n

Aij

xixj.写成矩阵形式，并证明二次型

xn）

A

i1

j1

f（X）的矩阵为A1;

（2）二次型g（X）XTAX与f（X）的规范形是否相同？

说明理由.

十一、（本题满分8分）

生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少

箱,才能保障不超载的概率大于0.977.（Φ

（2）=0.977,其中Φ（x）是标准正态分布函数）.十二、（本题满分8分）

设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x,y）|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，

试求随机变量U={X?

Y}的概率密度p（u）.

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题

（1）【答案】

【使用概念】设yf

x在x处可导，且fx

0，则函数y关于x的弹性在x处的值为

1

【详解】由QALK

，当Q1时，即ALK

1，有K

AL,于是K关于L的弹性为：

（2）【答案】1.2Wt12

【详解】Wt表示第t年的工资总额，则Wt1表示第t1年的工资总额，再根据每年的工资总

额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得Wt满足的差分方程是：

（3）【答案】-3【详解】

方法1：

由初等变换（既可作初等行变换，也可作初等列变换）.不改变矩阵的秩，故对A进行初等变换

可见只有当k=?

3时，r（A）=3.故k=?

3.

方法2：

由题设r（A）=3，故应有四阶矩阵行列式A0.由

解得k=1或k=?

3.当k=1时，

可知，此时r（A）=1，不符合题意，因此一定有k=?

3.

（4）【答案】112

【所用概念性质】切比雪夫不等式为：

P

XE（X）

D（X）

2

期望和方差的性质：

E（XY）

EX

EY；D（XY）

DX2cov（X,Y）DY

【详解】把XY看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.

故

E（XY）EXEY220

又相关系数的定义：

cov（X,Y）

（X,Y）

DY

DX

则

cov（X,Y）（X,Y）DXDY

（

0.5）1

4

1

所以由切比雪夫不等式：

（5）【答案】F；（10,5）

X

【所用概念】1.F分布的定义：

F

n1

其中X~

2（n1）

Y~

2（n2）

Y

n2

n

2.

2分布的定义：

若Z1,,Zn相互独立，且都服从标准正态分布

N（0,1），则Zi2~2（n）

i1

3.正态分布标准化的定义：

若Z~N（u,2），则Zu~N（0,1）

【详解】因为Xi

N（0,22）i1,2,,15，将其标准化有Xi0

Xi

N（0,1），从而根据卡方

2

2

分布的定义

由样本的独立性可知，

故，根据F分布的定义

故Y服从第一个自由度为二、选择题

（1）【答案】[B]

【详解】

2

2

2

2

X1

X10

与X11

X15

相互独立.

2

2

2

2

10，第二个自由度为5的F分布.

方法1：

由limf

'（x）

1,知

xax

a

又函数

f（x）的导数在x

a处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极

限等于函数在这一点的值，所以f（a）0，于是有

即f（a）

0，f（a）1

0

，根据判定极值的第二充分条件：

设函数

f（x）在x0处具有

二阶导数且f（x0）

0，f

（x0）0，当f（x0）

0时，函数f（x）在x0处取得极大值.知

xa是f（x）的极大值点，因此，正确选项为（B）.

方法2：

由lim

f'（x）

1,及极限保号性定理：

如果

limf

x

A，且A

0（或A0），那么

xa

xa

xx0

存在常数

0，使得当0

xx0

时，有f

x

0（或f

x

0），知存在x

a的去

心邻域，在此去心邻域内

f

'（x）

x

a时f（x）

0；当

x

0.于是推知，在此去心邻域内当

a

xa时f

（x）0.又由条件知f（x）在x

a处连续，由判定极值的第一充分条件：

设函数

f（x）在x0处连续，且在x0的某去心

领域内可导，若x

x0

x0

时，f（x）

0，而

xx0,x0

时，f（x）

0，则f（x）在x0处取得极大值，知

f（a）为f（x）的极大值.因

此，选（B）.

（2）【答案】（D）

【详解】应先写出g（x）的表达式.

当0

x1时，f（x）

1（x2

1），有

2

当1

x2时，

f（x）

1

1），有

（x

3

1x3

1x,

0

x

1

即

g（x）

6

2

2

1x1

1

x

2

2

3

6

因为

limg（x）

lim

1x3

1x

x1

x

1

6

2

且

g

（1）

2

1

1

1

2，

2

3

6

3

2，limg（x）

lim

2

1

x1

2

2，

3

x1

x1

3

6

3

所以由函数连续的定义，知g（x）在点x1处连续，所以g（x）在区间[0,2]内连续，选（D）.

同样，可以验证（A）、（B）不正确，0

x1时，g（x）

1x3

1x

1x2

1

0，单调增，

6

2

2

2

所以（B）递减错；同理可以验证当1

x

2

1

2

1

，单调增，

2时，g（x）

x

1

x10

3

6

3

所以g0gx

g2，即0g

x

5与选项（A）无界矛盾.

6

（3）【答案】（C）

【详解】由所给矩阵A,B观察，将A的2,3列互换，再将A的1,4列互换，可得B.根据初等

矩阵变换的性质，知将A的2,3

列互换相当于在矩阵A的右侧乘以E23，将A的1,4列互换相

当于在矩阵A的右侧乘以E14，即

1

0

0

0

0

0

0

1

AE23E14B，其中E23

0

0

1

0

，E14

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

由题设条件知P1E14,P2

E23，因此B

AP2P1.

由于对初等矩阵E

ij

有，Eij

1

P1

P,P1

P

Eij，故1

12

2.

因此，由BAPP，及逆矩阵的运算规律，有

21

B1

AP2P1

1

1P21A1

PP12A1.

P1

（4）【答案】（D）

【详解】由题设，A是n阶矩阵，是n维列向量，即

T

A

是n1

是一维行向量，可知T

0

阶矩阵.显然有秩

A

秩（A）nn1,即系数矩阵

A

非列满秩，由齐次线性

T

T

0

0

方程组有非零解的充要条件：

系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组

A

X

T

0

0

y

必有非零解.

（5）【答案】A

【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以

XY

n，从而Y

nX

，

故

DY

D（n

X）

DX

由方差的定义：

DX

EX

2

（EX）2，所以

n2

2nEX

EX2

n2

2nEX

（EX）2

EX2

（EX）2

DX

）

由协方差的性质：

cov（X,c）0（

c为常数）；

cov（aX,bY）

abcov（X,Y）

cov（X1

X2,Y）

cov（X1,Y）

cov（X2,Y））

所以

cov（X,Y）

cov（X,n

X）cov（X,n）cov（X,X）0

DXDX

由相关系数的定义，得

（X,Y）

cov（X,Y）

DX

1

DXDY

DXDX

三【变限积分求导公式】[

f（x）

g（t）dt]x

g[f（x）]f（x）

a

【详解】根据复合函数求导公式，有

du

f

fdy

f

dz.

（*）

dx

x

ydx

z

dx

在exy

x