大学力学专业考试题.docx
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大学力学专业考试题
质点运动学
1．1一质点沿直线运动，运动方程为x（t）=6t2-2t3．试求：
（1）第2s内的位移和平均速度；
（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；
（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．
1．2一质点作匀加速直线运动，在t=10s内走过路程s=30m，而其速度增为n=5倍．试证加速度为
，并由上述数据求出量值．
1．3一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g=10m·s-2．问：
（1）矿坑有多宽？
他飞越的时间多长？
（2）他在东边落地时的速度？
速度与水平面的夹角？
1．4一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt=-kv2，k为常数．
（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为
；
（2）试证在时间t内，船行驶的距离为
．
1．5一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：
θ=2+4t3．求：
（1）t=2s时，它的法向加速度和切向加速度；
（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？
（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
1．6一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m·s-1，方向与水平线夹角为30°而斜向下，此后飞机的加速度为a=20
m·s-2，方向与水平前进方向夹角为30°而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？
在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？
1．7一个半径为R=1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动．一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A．在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在Δt=2.0s内下降的距离h=0.4m．求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度．
1．8一升降机以加速度1.22m·s-2上升，当上升速度为2.44m·s-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：
（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；
（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离．
1．10如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v2．今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？
运动定律与力学中的守恒定律
（一）牛顿运动定律
2．1一个重量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度
运动，
的方向与斜面底边的水平约AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
2．2桌上有一质量M=1kg的平板，板上放一质量m=2kg的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为μk=0.25，静摩擦因素为μs=0.30．求：
（1）今以水平力
拉板，使两者一起以a=1m·s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；
（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？
2．5如图所示，质量为m的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角θ）及线中的张力T．
（1）小车沿水平线作匀速运动；
（2）小车以加速度
沿水平方向运动；
（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成φ角；
（4）用与斜面平行的加速度
把小车沿斜面往上推（设b1=b）；
（5）以同样大小的加速度
（b2=b），将小车从斜面上推下来．
2．6如图所示：
质量为m=0.10kg的小球，拴在长度l=0.5m的轻绳子的一端，构成一个摆．摆动时，与竖直线的最大夹角为60°．求：
（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？
此时绳的张力多大？
（2）在θ<60°的任一位置时，求小球速度v与θ的关系式．这时小球的加速度为多大？
绳中的张力多大？
（3）在θ=60°时，小球的加速度多大？
绳的张力有多大？
2．7小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下h高度时，它的速率多大？
（要求用牛顿第二定律积分求解）
2．8质量为m的物体，最初静止于x0，在力
（k为常数）作用下沿直线运动．证明物体在x处的速度大小v=[2k（1/x–1/x0）/m]1/2．
2．9一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v（t）；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
2．10如图所示：
光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
2．11如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
（二）力学中的守恒定律
2．13一个质量m=50g，以速率的v=20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
2．14用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？
设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
2．15如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？
C开始运动时的速度是多少？
（取g=10m·s-2）
2．16一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？
2．17如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇的拉力总是平行于路面．雪橇的质量为m，它与路面的滑动摩擦因数为μk．当把雪橇由底端拉上45°圆弧时，马对雪橇做了多少功？
重力和摩擦力各做了多少功？
2．18一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功；
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？
2．19如图所示，物体A的质量m=0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s=3m．弹簧的倔强系数k=400N·m-1．斜面倾角为45°．求当物体A由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？
2．20一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：
碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
2．21如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
2．22一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？
（2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
（3）物体到达B时对槽的压力．
[
2．23在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离。
2．24如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
2．25证明行星在轨道上运动的总能量为
．式中M和m分别为太阳和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
（三）刚体定轴转动
2．26质量为M的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
2．28一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．
半圆绕AA`轴的转动惯量为
2．29如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
[
2．30飞轮质量m=60kg，半径R=0.25m，绕水平中心轴O转动，转速为900r·min-1．现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力
，可使飞轮减速．闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算．
（1）设F=100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？
这段时间飞轮转了多少转？
（2）若要在2s内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力F？
2．31一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力F=98N拉绳，如图（a）所示．已知飞轮的转动惯量I=0.5kg·m2，轴承无摩擦．求
（1）飞轮的角加速度．
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能．
（3）将重力P=98N的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果．
2．32质量为m，半径为R的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示．盘与水平面的摩擦因数为μ，圆盘从初角速度为ω0到停止转动，共转了多少圈？
2．33一个轻质弹簧的倔强系数为k=2.0N·m-1．它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为m1=80g的物体相连，如图所示．定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为r=0.05m，质量为m=100g．先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手．求物体m1下降h=0.5m时的速度多大？
忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑．
2．34均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度ω绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2．B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A轮的重量由B轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素
为μ，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？
2．35均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为ω0，转动时受到空气的阻力．阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k．试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半．设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m．
2．36一个质量为M，半径为R并以角速度ω旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，如图所示．假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上．
（1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能．
2．37两滑冰运动员，在相距1.5m的两平行线上相向而行，两人质量分别为mA=60kg，mB=70kg，它们速率分别为vA=7m·s-1，vB=6m·s-1，当两者最接近时，便函拉起手来，开始绕质心作圆周运动，并保持二者的距离为1.5m．求该瞬时：
（1）系统对通过质心的竖直轴的总角动量；
（2）系统的角速度；
（3）两人拉手前、后的总动能．这一过程中能量是否守恒？
机械振动
4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.06m，且向x轴正向运动．求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t=T/4时物体的位置、速度和加速度；
（3）物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．
4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：
（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？
已知周期为T；
（2）振动表达式；
（3）画出旋转矢量图．
4．3有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规定向下为正方向．
（1）t=0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程；
（2）t=0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程．
4．4质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按
的规律作振动，式中t以秒（s）计，x以米（m）计．求：
（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；
（2）振动的速度、加速度的最大值；
（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；
（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．
4．5两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．
4．6一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m=1.68×10-27kg，振动频率v=1.0×1014Hz，振幅A=1.0×10-11m．试计算：
（1）此氢原子的最大速度；
（2）与此振动相联系的能量．
4．7如图所示，在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物，若使平板在竖直方向上作上下简谐振动，周期为0.50s，振幅为2.0×10-2m，求：
（1）平板到最低点时，重物对平板的作用力；
（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物跳离平板？
（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物跳离平板？
4．9如图所示，质量为10g的子弹以速度v=103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数
k=8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：
（1）振动的振幅；
（2）振动方程．
4．11装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系数为k=50N·m-1，滑轮的转动惯量J=0.02kg·m2，半径R=0.2m，物体质量为m=1.5kg，取g=10m·s-2．
（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；
（2）将物体m用手托起0.15m，再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动；
（3）确定物体m的振动周期；
（4）取物体m的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体m相对于平衡位置的位移为x，写出振动方程．
4．12一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．
4．13重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．
4．14质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k=25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：
（1）振幅；
（2）位移多大时，动能恰等于势能？
（3）经过平衡位置时的速度．
4．15两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如图所示，求：
（1）两个简谐振动的位相差；
t/s
x/cm
5
0
1
2
3
4
-5
x1
x2
图4.15
（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．
4．16已知两个同方向简谐振动如下：
，
．
（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；
（2）另有一同方向简谐振动x3=0.07cos（10t+φ），问φ为何值时，x1+x3的振幅为最大？
φ为何值时，x2+x3的振幅为最小？
（3）用旋转矢量图示法表示
（1）和
（2）两种情况下的结果．x以米计，t以秒计．
4．17质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：
，
．式中x和y以米（m）计，t以秒（s）计．
（1）求运动的轨道方程；
（2）画出合成振动的轨迹；
（3）求质点在任一位置所受的力．
4．18将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率．
4．20三个同方向、同频率的简谐振动为
，
，
．
求：
（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；
（2）合振动由初始位置运动到
所需最短时间（A为合振动振幅）．
机械波
5．1已知一波的波动方程为y=5×10-2sin（10πt–0.6x）（m）．
（1）求波长、频率、波速及传播方向；
（2）说明x=0时波动方程的意义，并作图表示．
5．2一平面简谐波在媒质中以速度为u=0.2m·s-1沿x轴正向传播，已知波线上A点（xA=0.05m）的振动方程为
（m）．试求：
（1）简谐波的波动方程；
（2）x=-0.05m处质点P处的振动方程．
5．3已知平面波波源的振动表达式为
（m）．求距波源5m处质点的振动方程和该质点与波源的位相差．设波速为2m·s-1．
5．4有一沿x轴正向传播的平面波，其波速为u=1m·s-1，波长λ=0.04m，振幅A=0.03m．若以坐标原点恰在平衡位置而向负方向运动时作为开始时刻，试求：
（1）此平面波的波动方程；
（2）与波源相距x=0.01m处质点的振动方程，该点初相是多少？
5．5一列简谐波沿x轴正向传播，在t1=0s，t2=0.25s时刻的波形如图所示．试求：
（1）P点的振动表达式；
（2）波动方程；
（3）画出O点的振动曲线．
5．6如图所示为一列沿x负向传播的平面谐波在t=T/4时的波形图，振幅A、波长λ以及周期T均已知．
（1）写出该波的波动方程；
（2）画出x=λ/2处质点的振动曲线；
（3）图中波线上a和b两点的位相差φa–φb为多少？
5．7已知波的波动方程为y=Acosπ（4t–2x）（SI）．
（1）写出t=4.2s时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的波峰的位置，该波峰何时通过原点？
（2）画出t=4.2s时的波形曲线．
5．8一简谐波沿x轴正向传播，波长λ=4m，周期T=4s，已知x=0处的质点的振动曲线如图所示．
（1）写出时x=0处质点的振动方程；
（2）写出波的表达式；
（3）画出t=1s时刻的波形曲线．
5．9在波的传播路程上有A和B两点，都做简谐振动，B点的位相比A点落后π/6，已知A和B之间的距离为2.0cm，振动周期为2.0s．求波速u和波长λ．
5．10一平面波在介质中以速度u=20m·s-1沿x轴负方向传播．已知在传播路径上的某点A的振动方程为y=3cos4πt．
（1）如以A点为坐标原点，写出波动方程；
（2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程；
（3）写出传播方向上B，C，D点的振动方程．
5．11一弹性波在媒质中传播的速度u=1×103m·s-1，振幅A=1.0×10-4m，频率ν=103Hz．若该媒质的密度为800kg·m-3，求：
（1）该波的平均能流密度；
（2）1分钟内垂直通过面积S=4×10-4m2的总能量．
5．12一平面简谐声波在空气中传播，波速u=340m·s-1，频率为500Hz．到达人耳时，振幅A=1×10-4cm，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强？
此时声强相当于多少分贝？
已知空气密度ρ=1.29kg·m-3．
5．13设空气中声速为330m·s-1．一列火车以30m·s-1的速度行驶，机车上汽笛的频率为600Hz．一静止的观察者在机车的正前方和机车驶过其身后所听到的频率分别是多少？
如果观察者以速度10m·s-1与这列火车相向运动，在上述两个位置，他听到的声音频率分别是多少？
5．14．一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m·s-1速率向右运动．在其右方有一反射面相对地面以65m·s-1的速率向左运动．设空气中声速为331m·s-1．求：
（1）声源在空气中发出的声音的波长；
（2）反射回的声音的频率和波长．
5.15S1与S2为两相干波源，相距1/4个波长，S1比S2的位相超前π/2．问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的振幅如何？
在S2外侧各点的振幅如何？
5.16两相干波源S1与S2相距5m，其振幅相等，频率都是100Hz，位相差为π；波在媒质中的传播速
x
S1
x
S2
O
l
度为400m·s-1，试以S1S2连线为坐标轴x，以S1S2连线中点为原点，求S1S2间因干涉而静止的各点的坐标．
5.17设入射波的表达式为
，在x=0处发生反射，反射点为一自由端，求：
（1）反射波的表达式；
（2）合成驻波的表达式．
5.18两波在一很长的弦线上传播，设其表达式为：
，
，用厘米、克、秒（cm,g,s）制单位，求：
（1）各波的频率，波长、波速；
（2）节点的位置；（3）在哪些位置上，振幅最大？
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