高考数学压轴专题上海备战高考《平面向量》单元汇编及解析.docx
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高考数学压轴专题上海备战高考《平面向量》单元汇编及解析
最新】高中数学《平面向量》专题解析
【答案】C
【解析】
【分析】
根据av在bv方向上的投影定义求解.
【详解】
选C.
【点睛】
本题考查av在bv方向上的投影定义，考查基本求解能力
A．①④B．①②④C．①②⑤D．③⑥
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.
【详解】
对于①：
零向量与任一向量平行，故①正确；
rrrr
对于②：
若ar//br，则abR，必须有br0r，故②错误；
rrrrrrrr
对于③：
abcabc，a与c不共线，故③错误；
uuuruuurr
BCCA0，则A,B,C为一个三角形的三个顶点，也可为
错误；对于⑥：
一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.
综上：
①④正确.
故选：
A.
【点睛】
本题考查的知识要点：
向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．
uuuvuuuv
3．已知菱形ABCD的边长为2，ABC60，则BDCD（）
A．4B．6C．23D．43
【答案】B
【解析】【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．
【详解】
如图所示，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题
4．已知
a,b是平面向量，满足|a|4，
|b|1且|3ba|
2，则cosa,b的最小值是
（）
11
7
15
315
A．
B．
C．
D．
16
8
8
16
【答案】
B
【解析】
【分析】
设uOuuAr
ruuurr
a，OB3b，利用几何意义知
B既在以O为圆心，
半径为3的圆上及圆的内
部，又在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.【详解】
uuurruuurr
设OAa，OB3b，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由|3brar|2，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B只能在阴影部分区域，要cosar,br最小，则ar,br应最大，
222
OA2OB2AB2cosBOA
本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题
rrab
所以
a在b方向上的投影为r4
故选：
D.
【点睛】
本题考查向量的投影，属于基础题
C．N,P,Q三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可
【详解】
由平面向量共线定理可知
又因为uMuuNur与uNuQru有公共点N,所以M,N,Q三点共线.
故选:
B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键
属于中档题、常考题型
vvvvvv
8．已知平面向量a,b的夹角为3，且|a|2，|b|1，则a2b（）
3
1
A．4B．2C．1D．
6
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解.
【详解】
rr2r2r2rrrr
由题意，可得|a2b|2|a|24|b|24ab444|a||b|cos34，所以|ar2br|2，故选B.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9．已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则
uuruuuurPC（PB
uuur
PD）的最小值为
（）
1
3
A．1
B．3
C．
D
．
2
2
答案】A
【解析】
【分析】
建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．
【详解】
建立如图所示坐标系，
设P（x,y），则A（0,0）,B（2,0）,C（2,2）,D（0,2），所以
uuuruuuruuur
PC（2x,2y）,PBPD（2x,y）（x,2y）（22x,22y），
1
2
3
y
2
2
3
x
2
3uuruuuuruuur
所以当xy3时，PC（PBPD）的最小值为1.
故选：
A．
【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
2xy010．已知点A2,1，O是坐标原点，点Px,y的坐标满足：
x2y30，设y0uuuruuur
zOPOA，则z的最大值是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.
【详解】
2xy0解：
由不等式组x2y30可知它的可行域如下图：
y0
QA2,1，Px,yuuuruuur
zOPOA2xy，可图知当目标函数图象经过点B1,2时，z取最大值，
故选：
C.
【点睛】
uuuruuuruuuruuuruuur
AB，BC3BD,|AD|1，则ACAD的值为（）
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题
A．1
B．2
C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
uuuruuur
uuur
uuur
uuur
由题意转化
ACAD
（AB
3BD）
AD，
利用数量积的分配律即得解.
【详解】
uuur
uuur
uuur
11．在VABC中，AD
QAD
AB
，BC
3BD,|AD|1，
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
uuur
AC
AD
（AB
BC）
AD（AB
3BD）
AD
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur2
AB
AD
3BD
AD
3AD3
故选：
C
【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an+a（n∈N*，a为常数），若平面内的三个不共uuuruuura1005OAa1006OB，A，
O点，则S2010等于（）
uuuruuur
a1005OAa1006OB，及三点A，
答案】A
解析】
分析】
uuur
根据an+1=an+a，可判断数列{an}为等差数列，而根据OC
B，C共线即可得出a1+a2010=1，从而根据等差数列的前n项和公式即可求出S2010的值.【详解】
由an+1=an+a，得，an+1﹣an=a；∴{an}为等差数列；
uuuruuuruuur
由OCa1005OAa1006OB，所以A，B，C三点共线；∴a1005+a1006=a1+a2010=1，
201011005.
2010a1a2010
∴S2010
2
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
uuuv
2uuuv
2
uuuv
uuuv
2
uuuv
2uuuv
则：
BD
2BC
AC
AB
AB
AC，
3
3
3
3
uuuv
uuuv
uuuv
uuuv
2
uuuv
2
uuuv
1uuuv
2uuuv
AD
AB
BD
AB
AB
AC
1AB
2AC
3
3
3
3
uuuv
uuuv
1
uuuv
2uuuv
2uuuv
2
uuuv
∴AD
BD
AB
AC
AB
AC
3
3
3
3
84223cos
993
22
9.故选A．【点睛】
本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．
D靠近点B），
14．如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点
过E作AD的垂线，垂足为F，则uAuFuv（）
3uuuv
1uuuv
2uuuv
1uuuv
A．AB
1AC
B．
AB
1AC
5
5
5
5
4uuuv
8uuuv
8uuuv
4uuuv
C．AB
AC
D．
AB
AC
15
15
15
15
【答案】D
【解析】
【分析】
设出等腰直角三角形ABC的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得
uuur4uuur
cosDAE，由此得到AFAD，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将
uuur4uuuruuuruuur
AFAD表示为以AB,AC为基底来表示的形式
5
【详解】
设BC6，则ABAC32,BDDEEC2，
AD
AE
BD2
BA2
2BD
π
BAcos
4
10，cosDAE
10104
4
5
210
AF
AF
4
uuur
4uuur
所以
，所以
AF
AD.
AD
AE
5
5
uuur
uuur
1uuur
uuur1
uuuruuur
2uuur
1uuur
因为AD
AB
BC
AB
ACAB
AB
AC，
3
3
3
3
uuur
4
2uuur
1uuur
8uuur4
uuur
所以AF
2AB
1AC
8AB4
AC.
5
3
3
15
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