离散数学王元元答案.docx
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离散数学王元元答案
离散数学王元元答案
【篇一：
离散数学习题十、十一、十二、十三参考解答】
立当且仅当g是完全图。
1.设g是一个（n，m）简单图。
证明：
m≤cn
2
证明：
（1）先证结论：
m≤cn
（d（v））≤n﹒max（d（v））≤n（n-1）。
根据握手定理，g图边的上限为max（m）≤n（n-1）/2,所以
2
m≤cn。
2=〉g是完全图
（2）m=cn
因为g具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么g的总度数就小于上限值，边
2g是完全图=〉m=cn
因为g是完全图，所以每个结点的点度为n-1,总度数为n（n-1），根据握手定理，图g
数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，g的每个结点的点度都为n-1，g为完全图。
2。
■的边数m=cn
2.设g是一个（n，n+1）的无向图，证明g中存在顶点u，d（u）≥3。
3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来:
（1）（3，2，0，1，5）；
（2）（6，3，3，2，2）（3）（4，4，2，2，4）；（4）（7，6，8，3，9，5）
解：
除序列
（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在
（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：
序列中每个数字ai对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画（ai-1）/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以
（2）为例说明：
（6,3,3,2,2）对应图g的点集合v={v1,v2,v3,v4,v5}
每个结点对应的环数（6/2,（3-1）/2,（3-1）/2,2/2,2/2）=（3,1,1,1,1）
将奇数3，3对应的结点v2,v3一组，画一条连线
其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
■
证明：
图的点度数是一组非负整数{d（v1）,d（v2）…d（vn）}，那么这组数的算术平均值一定大于等于其中的最小值，同时小于等于其中的最大值。
对应到图的术语及为：
最大值为?
，最小
2mn
≤?
。
5．证明定理10.2。
【定理10.2】对于任何（n,m）有向图g=（v，e），
2mn
≤?
。
■
d+u+d?
u=2m,d+u=d?
u=m
u∈v
u∈v
u∈v
u∈v
证明：
有向图中,每条有向边为图贡献一度出度，同时贡献一度出度，所以总出度和总入度相等，并和边数相等。
因此，上述关系等式成立。
■
6．设g是（n，m）简单二部图，证明：
m≤
4n2
证明：
本题目，我们只需要说明n阶的简单二部图的边数的最大值=
n24
设n阶的简单二部图，其两部分结点集合分别为v1，v2,那么|v1|+|v2|=n。
此种情况下，当g为完全二部图时，有最多的边数，即max（m）=|v1||v2|,变形为，max（m）=（n-|v2|）|v2|.此函数的最大值及为n阶二部图的边的上限值，其上限值为当|v2|=n/2时取得。
及max（max（m））=
n2
所以4
n阶二部图（n,m）,m≤
n2
■4
7.无向图g有21条边，12个3度数结点，其余结点的度数均为2，求g的阶数n。
10．判断图10.29中的两个图是否同构，并说明理由。
图10.299-1.15图
解：
题中两个图不同构，因为左边图的唯一3度点有2个1度点为其邻接点，而右图唯一的3度点只有1个1度点为其邻接点。
因此这两个图不可能同构■
13.设有向图d=v,e如下图10.31所示。
（1）在图中找出所有长度分别为1，2，3，4的圈（至少用一种表示法写出它们，并以子图形式画出它们）。
（2）在图中找出所有长度分别为3，4，5，6的回路，并以子图形式画出它们。
解：
（1）
（2）子图略
长度为三的回路：
ae1ae1ae1a,ae1ae3de2a,ae4be7ce5a,ae4be8ce5a
长度为四的回路：
aaaaa，aaada，aabe7ca,aabe8ca,abe7cda,abe8cda
长度为五的回路：
aaaaaa,aaaada,aaabe7ca,aaabe8ca,aabe7cda,aabe8cda,aadada,aaae4be7ce5a,aaae4be8ce5a,adae4be7ce5a,adae4be8ce5a■
15.若u和v是图g中仅有的两个奇数度结点,证明u和v必是连通的。
证明：
反证法，假设u和v不连通，那么他们必然分布于此图的两个连通分支中。
那么它们将分别是各连通分支中唯一的奇数度结点。
根据握手定理，一个图中奇度点的个数为偶数。
而两个连通分支中，奇度点的个数为奇数。
矛盾。
矛盾的产生，是由于假设不连通导致的，因此，题设结论成立■
17.设（n,m）简单图g满足m2n?
1（n?
2）,证明g必是连通图。
构造一个m=
1n2
1
?
1（n?
2）的非连通简单图。
ｉ
集合分成两个点集，|v1|=1，|v2|=n-1,构成如下的有两个分支的非连通简单图，g1=（1，0），g2=kn-1,满足题设条件■
18.设g是阶数不小于3的连通图。
证明下面四条命题相互等价:
（1）g无割边；
（2）g中任何两个结点位于同一回路中；
（3）g中任何一结点和任何一边都位于同一回路中；（4）g中任何两边都在同一回路中。
证明：
（1）=〉
（2）
因为g连通，且g无割边，所以任意两个结点u,v，都存在简单道路p=u…wv.又因为g无割边，所以，删除边wv后，子图依然连通，即w,v存在简单道路p’,以此类推，可以找到一条核p每条边都不相同的p’’=v…u,这样p和p’’就构成了一条回路。
（2）=〉（3）
因为g中任意两个结点都位于同一回路中，所以任意结点u,和任意边e的两个端点v1,v2都分别在两个回路c1，c2中，如果c1=c2=u…v1…v2…u,那么将回路中v1…v2,用v1v2=e替换，就得到新的新的回路，并满足要求。
如果c1≠c2，c1=u…v1…u,c2=u…v2…u,那么构成新的道路p=u…v1…u…v2…u,在其中将重复边剔出掉，得到新的回路c3，其中包含v1,v2结点，可以将回路中v1…v2用v1v2=e替换，就得到新的新的回路，并满足要求.
（3）=〉（4）
对任意两条边e1,e2其端点分别为u1,u2,v1,v2。
根据（3）存在回路c1=u1…v1v2…u1,c2=u2…v1v2…u2。
那么可以形成新的闭道路p=u1…v1v2…u2…v1v2…u1,在其中将重复边剔出到，得到新的回路c3，其中包含e2和u1,u2结点，可以将回路中u1…u2用u1u2=e1替换，就得到新的新的回路，包含e1,e2,满足要求.
（4）=
（1）
因为任意两条边都在同一回路中，所以不存在割边。
假设边e是割边，那么删除此边，图不连通，分支中的任何一对不在同一分支中的边，不能构成回路，与条件矛盾。
所以，g中无割边■
19.设g=（v,e）是点度均为偶数的连通图。
证明:
对任何?
?
∈v,?
?
（g?
?
?
）≤2?
?
（?
?
）。
证明：
g-v最多产生d（v）个奇数度点，又因为每个连通分支中奇数度点的个数是偶数，即g-v的连通分支最少有两条边和v相连，所以总连通分支数小于等于d（v）/2■
21.证明:
在非平凡连通图g中,e为割边的充要条件是它不包含于g的任何圈中。
证明：
1）e为割边=〉e不包含于g的任何圈中假设e包含在某一圈ci中，那么删除此边，但边关联的两个邻接点依然连通，所以没有破坏原图的连通性。
因此不是割边，矛盾。
所以假设不成立，既e不包含于g的任何圈中；2）e不包含于g的任何圈中=〉e为割边
假设e为割边，那么删除此边，生成子图依然连通。
e关联的两个邻接点有基本道路存在，此基本道路连同e构成一个圈。
与题设矛盾。
所以假设不成立，既e为割边。
根据1），2）可知，题设结论成立■
1
23.证明:
在具有n（n≥2）个结点的简单无向图g中，至少有两个结点的度数相同。
证明：
此题可用鸽笼原理，因为n个结点的简单无向图g中，结点的度数只可能是0，1，2…n-1这n个数，又因为如果有结点的度数为0，那么就不可能有结点的度为n-1，反之也然。
所以n个结点，最多有n-1种度数，其中必有至少两个结点的度数相同■
24.设g是?
?
≥2的简单图。
证明:
g中必有长度至少为?
?
+1的圈。
【篇二：
离散数学】
txt>第一部分课程总论
一、课程简介
课程名称：
离散数学
英文名称：
discretemathematics离散数学：
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学的核心课程。
以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象是有限个或无限个元素。
离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译理论、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断、机器定理证明等课程紧密相关。
是一门重要的基础课程。
教学内容：
数理逻辑、集合论、代数结构与布尔代数、图论和在计算机中的应用共五部分。
其中第五部分不做考试要求，不占计划内学时，可在第三学期安排讲座课讲授。
教学要求：
通过该课程的学习，培养和锻炼抽象思维和缜密概括的能力，为专业基础课和专业课的学习打下坚实的理论基础。
4学时/周?
16周=64学时
二、适用对象
本课程教学教案主要针对计算机科学与技术本科专业
三、学习要领
概念（正确）：
必须掌握好离散数学中大量的概念
判断（准确）：
根据概念对事物的属性进行判断
推理（可靠）：
根据多个判断推出一个新的判断
四、离散数学与计算机的关系
第一部分数理逻辑
计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物
第二部分集合论
集合：
一种重要的数据结构
关系：
关系数据库的理论基础
函数：
所有计算机语言中不可缺少的一部分
第三部分代数系统
计算机编码和纠错码理论
数字逻辑设计基础
计算机使用的各种运算
第四部分图论
数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础
五、教材及主要参考书
教材：
左孝凌、李为鑑、刘永才，离散数学，上海科学技术出版社，1982年9月第1版。
参考书：
[1]王元元、张桂芸，离散数学导论，科学出版社，2002
[2]kennethh.rosendiscretemathematicsanditsapplications（fourthedition）,机械工业出版社（华章），2001
[3]王元元、张桂芸，计算机科学中的离散结构，机械工业出版社，2004
[4]bernardkolman,robertc.busby,sharonross,discretemathematicalstructures（fourthedition）,高等教育出版社，2001
[5]孙吉贵杨凤杰欧阳丹彤李占山，离散数学，高等教育出版社，2002
[6]马振华，离散数学导引，清华大学出版社，1993
[7]王树禾，离散数学引论，中国科技大学出版社，2001
[8]andrewsimpon著冯速译离散数学导学机械工业出版社2005
第二部分课程内容与要求
《离散数学》为计算机科学与技术专业的一门重要基础理论课。
它以研究离散量的结构和相互关系为主要目标。
离散数学的内容十分丰富和广泛，本课程选择与计算机科学中相关的最基本最重要的数学课题进行系统的论述，为研究计算机科学提供理论基础和工具，为学习有关专业课，如数据结构、操作系统、编译原理、人工智能等，作必要的数学准备。
同时，通过离散数学的学习，培养学生抽象思维和逻辑推理的能力。
课程内容对每一个从事计算机技术的人都要求掌握和了解。
因为在形式证明、验证、密码学的研究与学习中要有理解形式证明的能力；图论的概念被用于计算机网络、操作系统和程序设计语言的编译系统等领域；集合论的概念、关系代数等在软件工程
和数据库中也会用到。
总之，为了适应计算技术的要求及将来的发展，学生需要对离散结构有比较深入的理解。
000本课程教学内容注重培养学生抽象思维能力和逻辑推理的能力。
在教学中把教改、教研最新的研究成果及本学科最新发展成果引入教学，不断地修改和调整教学内容，取得了良好的效果。
第一篇数理逻辑
逻辑学（logic）
是一门研究思维形式及思维规律的科学。
数理逻辑（mathematicallogic）
是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。
其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体系来刻划,并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律。
数理逻辑又称符号逻辑、现代逻辑。
命题逻辑
一、学习目的与要求
本章目的是介绍命题逻辑的基本概念。
掌握利用命题逻辑表示自然语言，描述概念、判断和推理。
建立初步的语言形式化方法。
二、知识点
1．命题的概念、表示方法；联结词的逻辑意义。
2．命题公式的递归定义，自然语言翻译成命题公式
3．真值表的构造、命题公式等价的概念。
4．重言式与蕴涵式的定义、逻辑意义，逻辑等价与逻辑蕴涵的意义和证明方法。
常用的逻辑等价公式和逻辑蕴涵公式。
5．命题公式的对偶式、合取范式、析取范式、主合取范式、主析取范式。
逻辑小项、逻辑大项。
任给公式化为析取范式、任给公式化为主析取范式、任给公式化为合取范式、任给公式化为主合取范式。
6．命题逻辑的推理理论，主要的推理方法：
真值表法、直接证明法、间接证明法。
常用推理规则：
p规则、t规则、cp规则。
7．命题逻辑的应用示例。
三、要求
1．识记
命题表示方法、真值判断、命题公式的递归定义。
2．领会
联结词真值确定、翻译、命题公式的等价性和蕴涵性证明、任给公式化为析取范式、任给公式化为主析取范式、任给公式化为合取范式、任给公式化为主合取范式。
3．简单应用
命题逻辑推理规则，命题逻辑设计简单的开关电路。
四、主要内容
第1章命题逻辑
命题逻辑，也称命题演算，记为ls。
它与谓词逻辑构成数理逻辑的基础，而命题逻辑又是谓词逻辑的基础。
数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究推理的学问。
因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
命题逻辑是研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系。
1.1命题与联结词
１.命题的概念
所谓命题，是指具有非真必假的陈述句。
而疑问句、祈使句和感叹句等因都不能判断其真假，故都不是命题。
命题仅有两种可能的真值—真和假，且二者只能居其一。
真用1或t表示，假用0或f表示。
由于命题只有两种真值，所以称这种逻辑为二值逻辑。
命题的真值是具有客观性质的，而不是由人的主观决定的。
?
如果一陈述句再也不能分解成更为简单的语句，由它构成的命题称为原子命题。
原子命题是命题逻辑的基本单位。
?
命题分为两类：
第一类是原子命题，原子命题用大写英文字母p，q，r?
及其带下标的pi，qi，ri，?
表示。
第二类是复合命题，它由原子命题、命题联结词和圆括号组成。
２.命题联结词
定义1.1.1设p表示一个命题，由命题联结词┐和命题p连接成┐p，称┐p为p的否定式复合命题，┐p读“非p”。
称┐为否定联结词。
┐p是真，当且仅当p为假；┐p是假，当且仅当p为真。
否定联结词“┐”的定义可由表1.1.1表示之。
由于否定”修改了命题，它是对单个命题进行操作，称它为一元联结词。
定义1.1.2设p和q为两个命题，由命题联结词∧将p和q连接成p∧q，称p∧q为命题p和q的合取式复合命题，p∧q读做“p与q”，或“p且q”。
称∧为合取联结词。
当且仅当p和q的真值同为真，命题p∧q的真值才为真；否则，p∧q的真值为假。
合取联结词∧的定义由表1.1.2表示之。
?
?
定义1.1.3设p和q为两个命题，由命题联结词∨把p和q连接成p∨q，称p∨q为命题p和q的析取式复合命题，p∨q读做“p或q”。
称∨为析取联结词。
?
【篇三：
离散数学教学大纲（耿素云、屈婉铃）】
xt>【课程名称】离散数学（discretemathematics））
【课程代码】08012007
【适应专业】数学与应用数学
【授课对象】普通本科
【课程简介】离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。
以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标。
离散数学课程主要介绍命题逻辑等值演算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑的基本概念、一阶逻辑等值演算与推理、集合代数、二元关系、函数、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图等内容。
教学原则是注重理论、方法和实例的有机结合，努力使学生对于离散数学课程逐渐形成较为完整的知识体系，对于一些概念、性质、方法有更加深刻的理解，建立正确的形式逻辑和辩证逻辑，提高分析问题、解决问题的能力。
【教学目标】通过离散数学的学习，能够掌握集合的概念、运算及应用，集合内元素间的关系以及集合之间的关系，掌握图论学科的基本理论知识和相关应用，不仅能为学生的专业课学习及将来从事的软、硬件开发打下坚实的基础，同时也能培养他们抽象思维和严格逻辑推理能力。
【参考学时】72学时
【参考书目】
1．屈婉玲，耿素云编著：
《离散数学》，北京，高等教育出版社，2008年
2．左孝凌等编著：
《离散数学》，上海，上海科技文献出版社，2003年
3．蔡英编著：
《离散数学》，西安，西安电子科技大学出版社，2007年
4．王元元编著：
《离散数学导论》，北京，科学出版社，2005年
【教学内容】
?
第一单元命题逻辑的基本概念
?
1命题与联结词
2命题公式及其赋值
?
基本要求：
1．深刻理解5种常用联结词的涵义，并能准确地应用它们将基本复合命题及复合命题
符号化；
2．分清“相容或”与“排斥或”；
3．深刻理解命题公式的赋值、成真赋值、成假赋值，从而准确地判断出公式的类型。
?
重点、难点：
蕴涵联结词与析取联结词；真值表。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
4学时
?
第二单元命题逻辑的等值演算
?
1等值式
2析取范式与合取范式
3联结词的完备集
?
基本要求：
1．深刻理解等值式的定义；
2．熟练应用基本等值式及置换规则进行等值演算；
3．深刻理解极小项、极大项的定义，名称、下角标与成真赋值的关系，会求主析取范式与主合取范式。
4．会将任何命题公式等值地化成某联结词完备集中的公式。
?
重点、难点：
等值式的定义；极大项与极小项。
?
教学方法提示：
讲授法
参考学时：
8学时
?
第三单元命题逻辑的推理理论
?
1推理的形式结构
2自然推理系统p
?
基本要求：
1．熟练掌握判断推理是否正确的不同方法，如真值表法、等值演算法、主析取范式法等；
2．牢记自然推理系统p中各条推理规则的内容及名称；
3．熟练掌握在自然推理系统p中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法。
?
重点、难点：
推理的形式结构；推理规则。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
4学时
?
第四单元一阶逻辑基本概念
?
1一阶逻辑命题符号化
2一阶逻辑公式及其解释
?
基本要求：
1．掌握一阶逻辑的命题符号化；
2．理解谓词公式与解释。
?
重点、难点：
个体词、谓词、量词；谓词公式及其解释。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
4学时
?
第五单元一阶逻辑等值演算与推理
?
1一阶逻辑等值式与置换规则
2一阶逻辑前束范式
3一阶逻辑推理理论
?
基本要求：
1．深刻理解一阶逻辑中的重要的等值式；
2．熟练使用置换规则、换名规则、代替规则；
3．准确地求出给定公式的前束范式；
4．深刻理解一阶逻辑推理系统的定义，牢记各条推理规则，特别是要正确使用4条推理规则。
?
重点、难点：
一阶逻辑等值式与置换过则、换名规则、代替规则；一阶逻辑推理系统。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
8学时
?
第六单元集合代数
?
1集合的基本概念
2集合的运算
3有穷集的计数
4集合恒等式
?
基本要求：
?
1．熟练掌握集合的两种表示法；
2．能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系；
3．熟练掌握集合的基本运算；
4．掌握有穷集合的计数方法；
5．掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法。
?
重点、难点：
集合的基本概念和运算；集合元素中的计数问题。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
6学时
?
第七单元二元关系
?
1有序对与笛卡儿积
2二元关系
3关系的运算
4关系的性质
5关系的闭包
6等价关系与划分
7偏序关系
?
基本要求：
1．理解有序对、二元关系、集合a到b的关系、集合a上的关系（包含空关系、全域关系、小于等于关系、整除关系、包含关系等）的定义；掌握笛卡儿积的运算和性质；
2．熟练掌握关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法；
3．熟练掌握关系的定义域、值域、逆、右复合、限制、像、幂的计算方法；
4．熟练计算集合a上关系r的自反闭包、对称闭包和传递闭包；
5．熟练掌握判断关系五种性质的方法，并能对关系的自反、对称、反对称、传递性给出证明；
6．熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及等价关系与划分的对应性质；
7．熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图等概念。
?
重点、难点：
二元关系的运算；关系的闭包；等价关系与划分；偏序关系。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
14学时
?
第八单元函数
?
1函数的定义与性质
2函数的复合与反函数
3双射函数与集合的基数
?
基本要求：
1．掌握函数的基本概念；
2．熟练计算函数的值、像、完全原像；
3．会判断和证明函数的单射、满射、双射的性质；
4．给定集合a和b，会构造从a到b的双射函数；
5．会计算复合函数、双射函数的反函数。
?
重点、难点：
函数的复合与反函数；双射函数与集合的基数。
?
教学方法提示：
讲授法
?
参考学时：
8学时
?
第九单元图的基本概念
?
1图
2通路与回路
3图的连通性
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