华师数学建模作业.docx
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华师数学建模作业
数学建模作业
一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）
表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：
小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.
表1.17某地一年中10天的白昼时间
日期
1月1日
2月28日
3月21日
4月27日
5月6日
白昼时间
5.59
10.23
12.38
16.39
17.26
日期
6月21日
8月14日
9月23日
10月25日
11月21日
白昼时间
19.40
16.34
12.01
8.48
6.13
解：
根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x，以白昼时间为因变量y，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。
选择函数
作为函数值。
根据表1.17的数据，推测A,b和
的值，作非线性拟合得
，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。
二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）
继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？
“两秒准则”是否足够安全？
对于安全车距，你有没有更好的建议？
解
（1）按照2.2节中的“汽车刹车距离”案例，“两秒准则”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是K1的取值不同。
D～前后车距（m）；
v～车速（m/s）；
K1～按照“两秒准则”，D与v之间的比例系数（s）.
于是“两秒准则”的数学模型为：
D=K1*v；（K1=2.0）;（1.0）
已经知道，刹车距离的数学模型为
d=
v+
;;（1.1）
比较（1.0）与（1.1）式得
d-D=（
+
v-
）v;
所以当
+
v-
>0时，即前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全；
+
v-
<0时，可以为是不够安全。
代入
=0.75，
=0.082678，
=2.0，计算得到当车速超过15.11889m/s时，“两秒准则"就不够安全了。
（2）
下面的程序及图像也是很好的证明。
源程序：
v=（20:
5:
80）.*0.44704;
d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334
22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418
20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];
d2=0.3048.*d2;
K1=1.1185;k1=0.75;k2=0.082678;d=d2+d1;
plot（[0,40],[0,2*40],'--k',[0,40]）,holdon
plot（0:
40,polyval（[k2,k1,0],0:
40）,':
k'）
plot（[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2）,holdoff
title（'比较刹车距离实测数据、理论值、两秒准则'）
legend（'两秒准则','刹车距离理论值',...
'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2）
xlabel（'车速v（m/s）'）,ylabel（'距离（m）'）
（3）
根据汽车的最高速度一般不超过120km/h（约33.3m/s），k2=0.082678,k1=0.75,
33.3*k2+k1=2.753177s+0.75s=3.5s,所以我认为可以采取“3.5秒准则"。
这在理论上和实际上都是比较安全的。
三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）
继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
解：
（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为
，则生猪饲养的天数t发生的相对变化
是
的多少倍，即定义t对c的灵敏度为
S（t,c）=
因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为
S（t,c）=
=
×
①
由课本上可知t=
②
所以t=
-
所以t是c的减函数
为了使t﹥0，c应满足rp（0）-gω（0）-c>0
结合①②
可得S（t,c）=—
=－
=－2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2%。
（2）同理
（1）总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为
S（Q,c）=
×
③
Qmax=
④
结合③④得
Qmax=－
=－
=－4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%
四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）
某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：
（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；
（2）如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？
会灭绝吗？
如果每年只捕获1只呢？
（3）在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？
解：
①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得
xk+1=（1+r）xk,k=0,1,2…
其解为等比数列
xk=x0（1+r）k,k=0,1,2…
当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为
年较好中等较差
0100100100
110210196
210310191
310510287
410710283
510910379
611110376
711210472
811410469
911610566
1011810663
1112010660
1212210758
1312410755
1412610852
1512810950
1613110948
1713311046
1813511044
1913711142
2014011240
2114211238
2214411336
2314711335
2414911433
2515211532
（1）在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；
（2）在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；
（3）在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。
②若每年捕获3只,b=－从上可以得出结论：
3，则列式为
Xk+1=（1+r）xk－b
则山猫在25年内的演变为
年较好中等较差
0100100100
1999893
2979585
3969378
4959072
5938866
6928560
7908354
8898049
9877743
10867539
11847234
12837029
13816725
14796421
15786217
16765913
17745610
1873546
1971513
2069480
216746-3
226543-6
236340-9
246137-11
255935-14
由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。
同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为
年较好中等较差
0100100100
110110095
21019989
31029984
41039879
51049875
61049770
71059766
81069662
91079659
101079555
111089551
121099448
131109445
141119342
151119339
161129236
171139234
181149231
191159129
201169126
211179024
221189022
231198920
241208818
251218816
如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。
③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=（1+r）xk-1+b,k=0,1,2…
这时xk=xk-1=60，r=-4.5%，代入上式得b≈3
五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）
某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.
报告：
摘要：
本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通过最佳的基金使用计划来提高每年发给学生的奖金。
首先，计算在只有银行存款的条件下，按照收益最大化原则，把基金存入银行使每年发放的奖金数目尽可能多，由于银行存款的期限最长为五年，所以把奖金发放制定成为期五年的发放计划，第六年即可划入下一个五年周期的奖金发放计划中。
在满足基金使用要求的情况下，每年存入银行的各种存款的数目可以根据约束条件计算，然后分析银行存款和投资并存情况下各种资金的分配情况。
存款与投资同时存在的情况。
在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配，通过灵敏度分析得出：
奖学金发放对投资的灵敏度较高。
根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应将基金大量用投资。
在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。
鉴于学校奖学金基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学基金分为两部分：
一部分用于保证奖学金的发放；一部分用于投资。
20万可分为两部分，分别作为存款和投资资本。
一方面银行存款以20万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资0万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为0.1万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线的交点即为奖学金均衡点，此时，存款与投资的比例较为合适，接着分析投资风险，通过分析得出奖学金发放最优的基金使用方式。
关键词：
动态优化资金合理分配投资收益率
一、问题分析
在只有存款的条件下，可利用迭代法进行计算，用上一年到期存款发放奖学金，发放奖学金后的余额作为剩余资金重新进行下期存款，得出每年应发放的奖学金最大数目及存入下期存款的种类。
对于存款与投资同时存在的情况下，由于投资有收益率为负的情况，次种投资可看作为不存在的投资期限作简化处理，应为投资收益率为动态数据，因此无法进行精确计算，只能进行近似计算，在这种情况下将投资的平均收益率作为投资收益，这样不仅可以降低风险系数，简化计算。
经过以上简化，在银行存款和投资并存的情况下，可以将投资看作是特殊的存款，这样可以利用与第一种情况相同的方法进行计算，这样计算出的基金使用方式比较合理，风险比较低，可以保证奖学金的发放。
基于以上的条件将银行存款和投资并存的情况更详细的分析，把基金分为两部分，一部分用于投资，一部分用于存款，观察存款变化时，奖学金变化的情况。
以次得到更稳健的资金利用方法。
二、模型建立
为了尽可能的资金被充分利用，模型中总是把扣除奖学金后所余的现有资金全部用来存款或投资。
由于银行存款和投资最大期限不大于五年，而本问题面对的是一个六年的基金投资计划，所以针对目标情况，做五年期的投资存款计划，模型中对相应的参数做了相应的处理。
第一种情况下只有银行存款，可以简单的将各种条件转化为约束条件，求出最优解，并将最优解作为只有存款条件下基金使用方案，在此把它看作是模型一。
在二种情况下，投资作为一种选择出现使问题复杂化，问题显得非常复杂，因此将问题简化显得非常有必要，把平均投资收益率看作投资的收益率不失为一种很好的方法，这样不仅可以简化模型的复杂性，还可以较好的反映问题的实质。
在这种情况下可以求出最优的基金使用模型。
三、符号说明
：
计划中第n年投资于存款存期为j年的资金j=1,2,3,5
：
计划中第n年投资于投资1周期为t1的资金t1=1,3,5.
：
计划中第n年投资于投资2周期为t2的资金t2=2，5
：
存款中存储周期为j年的实际收益率。
N:
奖学金发放数目。
M：
初始时某大学所获基金的总额。
：
投资周期为t1的收益率。
：
投资周期为t2的收益率。
四、模型求解
第一种情况：
只有银行存款的条件下，银行存款的存入方式及存入年限。
①银行税后年利率如下表
存期
1年
2年
3年
5年
税后年利率
2.4%
3%
3.6%
4.1%
②终期银行利率如下表
存款种类
一年
两年
三年
五年
终期收益率
1.024
1.06
1.108
1.205
在只存款不投资的情况下，根据我们的模型设计和符号约定，最佳的基金使用计划应该满足以下方程组：
则在只有存款的情况下，第二年存入银行的钱数为：
第二种情况：
在可存款也可投资的情况下，首先根据假设和最大收益的原则，资金在这种情况下是不允许闲置的，即在同一时间内要么存入银行要么投资。
其次。
因为投资是有风险的，投资收益率为正态分布函数，因此，投资收益率用平均投资收益率。
据此，可以得到彝族方程来刻画这种情况下的最佳基金使用计划。
（为了充分利用基金，基金将被充分的用于存款和投资，因为只有这样才能使利润最大化。
）
（第二年可用于投资与存款的基金和，与模型一相同，应发奖学金遵循奖学金数目的既定关系。
）
（第三年初可用于投资和存款的基金和）
（第四年关于投资与存款的基金和）
（第五年可用于投资和存款的基金和）
五、运算数据
模型的数据运算主要采用matlab软件进行求解。
现在不再求解。
六、建议
对上述两个模型的分析可知，只对捐款进行定期的整存整取风险最低，但奖学金发放的年限也是最少的。
对于第二种情况对捐款进行划分，一部分用来投资，一部分用来存储，具有一定的风险，但收益较为可观。
对于风险敏感的投资者，存款是最稳健的模型；对于风险爱好者，将资金全部用于投资，模型二为首选。
我认为院领导在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配。
通过灵敏度分析得出：
奖学金发放对投资的灵敏度较高。
根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应将基金大量用于投资。
在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。
鉴于学校奖学基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学金分为两部分：
一部分用于奖学金的发放；一部分用于投资。
20万元可分为两部分，分别作为存款和投资资本。
一方面银行存款以20万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资0万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为0.1万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线的交点即为奖学金均衡点，此时，存款与投资的比例较为合适。
解：
记养老金第k月末银行帐户余额为
元，
则列式得：
因为r≠0，所以
由于月利率为.y=0.3%，月支取b=1000元和本金总额
=100000元，必然满足
。
所以
单调衰减，而且衰减的越来越快，直到
=0为止。
=0即
若养老金用到80岁，则由
得
所以，如果在60岁存入100000元，每月支取1000元，到120月即70岁恰好用完。
如果每月支取1000元，用到80岁，则在60岁时存入170908元。
七、教材302页第7章习题7第1题（满分10分）
对于不允许缺货的确定性静态库存模型，做灵敏度分析，讨论参数
、
和r的微小变化对最优订货策略的影响.
解
（1）考虑每次订货的固定费用p1发生的相对为△p1/p1,则最优订货周期
ΔT*发生的相对变化ΔT*/T*是△p1/p1的多少倍，即定义p1对T*的灵敏度为
因为△p1→0，所以重新定义p1对T*的灵敏度为
①
由课本上可知
②
③
②中对p1求导式和②式代入①得
S（T*，p1）=0.5
同理得
S（Q*，p1）=0.5
S（T*，p2）=－0.5
S（Q*，p2）=－0.5
S（T*，r）=－0.5
S（Q*，r）=0.5
八、教材302页第7章习题7第2题（满分10分）
习题7第2题.某配件厂为装配线生产若干种部件.每次轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）.同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付库存费.今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，库存费每日每件1元.如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，请制定最优生产计划.
解：
由EOQ公式计算得：
所以，最优生产周期为10天，每次生产1000件。
九、教材303页第7章习题7第3题（满分10分）
某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收，每天能产生5包，在商场后院存放的费用是每包每天10元.另一家公司负责将这些纸包运送到回收站，要收取固定费用1000元租装卸车，外加运输费每包100元.请制定运送纸包到回收站的最优策略.
解：
设第n天送纸包到回收站。
由公式计算得：
所以，最优运货日期
为6天，运货量
为30包。
十、教材303页第7章习题7第4题（满分10分）
某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗.旅馆每天有600条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来收取这些脏毛巾，并换成洗好的干净毛巾.清洗店清洗毛巾的标准收费每条2元，但是如果旅馆一次给清洗店至少2500条毛巾，清洗店清洗毛巾的收费为每条1.9元.清洗店每一次取送服务都要收取上门费250元.旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条0.1元.旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢？
解：
由题意得
很明显，这时属于不允许缺货的模型，所以每单位时间的总费用
①
当且仅当T=T*是C取得极值的必要条件
C＇（T*）=－（p1/T*2）+（p2r/2）=0
解得T*=
≈2.883
即是
在（0,2.883）内单调递减，在（2.883，+∞）内递增，考虑到T*=1,2,3,4……
又因为当最优订货量Q*﹤2500时，p0=2,当Q*≥2500时，p0=1.9，
我们把p1=250，p2=60，r=600，T*=2,3,4,5,6代入①式分别得
T*（天）
C（元）
2
1385
3
1373.3
4
1402.5
5
1340
6
1361.6
因为C值在（5，+∞）内是单调递增的，所以从上表可知当T*=5时，每天的平均费用为1340元，达到最小值
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